核主泵機械密封可靠性Bayes分析的適應性

高燈，孫見君，張玉言

(南京林業大學機械電子工程學院，江蘇南京 210037)

核主泵利用流體動壓型機械密封防止反應堆內含放射性、高溫或高壓冷卻流體的泄漏，其可靠性對核電站的安全穩定運行具有舉足輕重的作用[1]。為了確保系統安全、穩定、可靠運行，運行商常定期更換在役機械密封件，并記錄下這些未失效機械密封的相關數據。如何利用無失效數據去估計核主泵機械密封可靠性一直為工程技術人員所關注。

無失效數據研究可以追溯到1979年MARTZ和WALLER[2]的研究。大多數無失效數據研究主要集中在置信限法和結合先驗信息的Bayes類方法上，面向航天發動機、船舶、電子元器件、軸承等高可靠性要求產品。韓明、沈繼紅、宋永剛等[3-5]結合Bayes理論探討了產品壽命服從指數分布的可靠性評估方法。SONG和CAO[6]給出了先驗分布為Gamma分布結合Bayes模型的失效概率標準平方誤差損失函數。JIANG等[7]將函數凹凸性和Bayes理論相結合，給出了Weibull分布下，失效概率區間的估計值。金光和沈靜[8]針對小樣本無失效衛星活動部件可靠性評估問題，提出一種Bayes信息融合技術，充分利用不同型號相似活動部件數據，來提高評估精度。高攀東、蔡忠義、姜祥周等[9-11]探討了E-Bayes估計與多層Bayes估計應用在其他高可靠性產品的優劣性。傅惠民等[12]提出一種可靠性評估和壽命預測的方法，旨在提高壽命實驗中出現極少失效數據場合下的預測精度。該方法缺陷在于需知道Weibull分布形狀參數的下限。賈祥等人[13]給出了產品服從Weibull分布的一般可靠性分析步驟。

上述研究為Bayes類方法拓展至重要裝備的機械密封可靠性評估提供了有益借鑒。肖麗麗等[14-15]針對核主泵機械密封可靠度評定問題，通過最優置信限法估計可靠性參數，并探討了影響參數估計值的主要因素；之后基于配分布曲線法和修正似然函數法分析了參數估計值和給定時間的可靠度估計值，并指出了2種方法的不同適用范圍。置信限法得出的結果往往較為“保守”，不夠精確，而Bayes類方法可以有效彌補置信限的“保守”問題，但卻因先驗信息的不同而有差別，從而影響了可靠度評估的精度。可見，Bayes理論應用于核主泵機械密封可靠度評估仍需更多的探討。

本文作者擬通過搜集到的大亞灣核主泵機械密封的故障數據，確定其可靠度分布；結合配分布曲線法建立基于Bayes理論的核主泵機械密封可靠性評估模型；最后，通過故障數據確定的可靠度分布參數做無失效仿真算例，探究先驗分布參數對E-Bayes估計和多層Bayes估計精度的影響。研究成果可為進一步開展基于Bayes理論的核主泵機械密封可靠性評估工作奠定基礎。

1 大亞灣核主泵機械密封小樣本數據可靠度分布的確定

為確定搜集到的大亞灣核主泵機械密封故障數據所服從的壽命分布類型，文中分別采用常見的指數分布和Weibull分布對數據進行擬合，通過擬合優度確定壽命分布類型，從而為后續基于無失效數據核主泵機械密封可靠度評估提供一個參照。

1.1 數據來源

搜集到的核主泵機械密封數據來源于文獻[16]，保留故障退出的數據，去除正常退出的情況，篩選得到核主泵機械密封的壽命數據，見表1。

1.2 可靠度分布的確定

圖估計法是工程上常用的直觀易懂、簡單易行的方法，該方法適用于樣本容量不大的場合。當樣本數量為n時，通過可靠性試驗可以得到n個故障時間，然后將故障時間按照依次增加的順序排列為t1，t2，…，tn。當樣本容量有限時，對應的各故障時刻的累積分布F(ti)可由公式(1)[17]近似計算。

(1)

由式(1)可以計算得到n個數據對，即(t1，F(t1))，(t2，F(t2))，…，(tn，F(tn))。 當通過線性化處理，使累積故障概率F(ti)與t具有直接或者間接的線性關系時，可初步認為壽命數據來源于這種分布。累計失效概率見表2。

(1)指數分布擬合

當產品的壽命時間滿足指數分布時，對指數分布函數F(t)=1-e-λt進行線性變化，可以得到：

(2)

設Y=ln(1/(1-F(t)))，X=t，則Y和X呈線性關系，λ是斜率。Y和F(t)一一對應的關系擬合結果如圖1所示。

圖1 指數分布擬合Fig.1 Exponential distribution fitting

由擬合的直線可知，λ=-0.000 14。擬合結果：F(t)=1-e0.000 14t。

(2)Weibull分布擬合

當產品的壽命時間滿足Weibull分布時，對Weibull分布函數F(t)=1-exp{-(t/η)m}進行線性變化，m為形狀參數，表征瞬時失效率隨時間的變化率，η為尺度參數，表征失效速率的變化快慢，將Weibull分布函數進行變形，可以得到：ln ln{1/[1-F(t)]}=mlnt-mlnη，設Y=ln{ln{1/[1-F(t)]}}，X=lnt，則Y和X呈線性關系，直線的斜率為m，此時軸上的截距為lnη。擬合結果如圖2所示。

圖2 Weibull分布擬合Fig.2 Weibull distribution fitting

擬合結果：

F(t)=1-exp(-(t/12 632)1.8)

(3)

(3)擬合優度比較

求出直線回歸方程后，用擬合優度K2作為衡量匹配后直線效果好壞的標準。K2越接近1(或越大)，則表明所匹配的直線效果越好。擬合優度結果見表3。

表3 擬合優度計算對比

比較結果可知，Weibull分布擬合效果最佳。所以認為大亞灣核主泵機械密封可靠度服從Weibull分布，把該分布當作基準(見式(4))。

R(t)=exp[-(t/12 632)1.8]

(4)

2 基于配分布曲線法的核主泵機械密封可靠性分析

2.1 先驗分布為Beta分布的Bayes方法

Bayes方法中先驗分布所含未知參數確定困難時，通過引用先驗分布的參數作為超參數，對超參數再給出一個先驗，最后綜合信息得到可靠性參數的Bayes估計。當試驗中機械密封并無失效，且需滿足在(0，ti)內機械密封失效概率較小的可能性大，較大的可能性小，此時可選Beta分布作為失效概率pi的共軛先驗分布。根據Bayes理論，pi的先驗概率密度[17]為

(5)

a，b取不同值時，Beta分布有很大區別，b越大，Beta分布概率密度函數尾部越細，Bayes估計的穩健性越差；當0

分別選取超參數a、b在定義域上的均勻分布作為其先驗分布[17]：

(6)

根據Bayes理論，得pi的多層先驗分布[19]為

(7)

2.2 失效概率估計方法

2.2.1pi的E-Bayes估計

π(pi|b)=b(1-pi)b-1，0

(8)

又超參數b為先驗分布在區間(1，c)上的均勻分布，則在平方損失下，pi的E-Bayes估計[18]為

(9)

2.2.2pi多層Bayes估計

同樣，pi的先驗由式(8)給出，超參數b的先驗分布取區間(1，c)上的均勻分布，則pi的多層先驗密度函數[20]為

(10)

由似然函數和先驗概率密度函數，可得平方損失下，pi的多層Bayes估計[20]為

(11)

2.3 加權最小二乘法的參數估計

(12)

(13)

由此不難得到：

(14)

(15)

最終可求得時刻τ處的可靠度估計：

(16)

3 仿真算例分析

為比較E-Bayes方法和多層Bayes方法的優劣，以大亞灣核主泵機械密封可靠度函數為基準，通過將2種方法估計出的可靠度與原始可靠度的平均相對誤差來比較優劣。表4給出了6個任務時間(h)的原始可靠度。

表4 原始參數下的可靠度

為了討論c對E-Bayes方法和多層Bayes方法評估精度的影響，運用Monte Carlo法生成服從Weibull分布的隨機數，產生該組數據的原始數據為m=1.8，η=12 632，得到一組無失效數據如表5所示。

表5 仿真核主泵機械密封無失效數據樣本

表6、表7給出了E-Bayes方法和多層Bayes方法在不同參數c和不同任務時間下的失效概率。數據表明：c一定時，失效概率隨時間的增加而增加；時間一定時，失效概率隨c的增加而降低。

表6 E-Bayes方法的失效概率估計值

表7 多層Bayes法失效概率估計值

圖4 不同參數c下的尺度參數估計值Fig.4 Estimated values of scale parameters under different parameters c

表8、表9給出了E-Bayes估計和多層Bayes估計的平均相對誤差。結果表明：時間一定時，可靠度隨c值的增加而增加；c值一定時，可靠度隨時間的增加而降低。E-Bayes估計平均相對誤差達到最低時，c=9；多層Bayes估計平均相對誤差達到最低時，c=8。

表8 E-Bayes估計的平均相對誤差

表9 多層Bayes估計的平均相對誤差

圖5示出了E-Bayes估計和多層Bayes估計的平均相對誤差隨參數c的變化曲線。結果表明：參數c=8時，E-Bayes估計和多層Bayes估計產生的平均相對誤差最為接近且均達到較低水平。由此可以推斷：針對核主泵機械密封，先驗分布為Beta分布時，參數c=8時，評估精度達到最佳水平。

圖5 平均相對誤差隨參數c的變化Fig.5 Variation of average relative error with parameter c

4 結論

(1)建立了結合Bayes理論的可靠性分析模型，并通過大亞灣核主泵機械密封運行數據，驗證了c取值適當時結合Bayes理論可靠性分析方法的可行性。

(2)建立的可靠性分析方法的分析步驟：首先通過定時截尾試驗獲得產品的無失效數據，其次根據Bayes理論計算得到產品失效概率的估計值，最后利用加權最小二乘法擬合離散的失效概率點得出參數的點估計，進而得到可靠度估計。

(3)從E-Bayes估計和多層Bayes估計所產生的平均相對誤差來看，c<8時，優先選擇多層Bayes估計；c>8時，優先選擇E-Bayes估計。

(4)針對無失效情形下核主泵機械密封的可靠性分析問題，先驗分布為Beta分布時，參數c=8時，E-Bayes估計和多層Bayes估計所產生的誤差均達到較低水平。