蹺蹺板系統干擾補償的分層滑模控制策略研究

姜 堃,張井崗,沈云亮,邵雪卷

(1.山西晉中理工學院智能制造與車輛學院,山西 晉中 030600;2.太原科技大學電子信息工程學院,山西 太原 030024)

0 引言

蹺蹺板系統是一個典型的欠驅動系統,具有明顯的非線性、強耦合性和不穩定性[1]等,是檢驗控制算法的理想試驗平臺。蹺蹺板系統的平衡控制原理與船舶平衡控制、飛行器姿態調整等實際系統有著很大的相似性。因此,對蹺蹺板系統控制策略的研究有著重要的理論和實踐意義。

文獻[2]以狀態空間形式導出了帶有狀態反饋的蹺蹺板系統簡化線性動力學方程。文獻[3]利用拉格朗日方程建立了蹺蹺板系統數學模型。文獻[4]針對蹺蹺板系統提出了一種基于模糊邏輯和協調器補償的控制方法,并進一步提出了一種基于遺傳算法的比例積分微分(proportional integral differential,PID)控制策略[5]。文獻[6]提出了一種用單一模糊輸入變量代替切換線的設計方法,大幅縮減了模糊規則數。但模糊控制器的設計通常受限于設計人員的經驗,且由于非線性系統的不確定性以及外部干擾作用,模型的建立常存在不匹配的情況。

滑模控制(sliding mode control,SMC)的強魯棒性使其對非線性系統有較好的控制效果。但在未知干擾作用下,為保證系統穩定,SMC通常需要保守設計較大的切換增益。文獻[7]提出了一種基于未知擾動估計的切換增益自適應算法。文獻[8]實現了對蹺蹺板模型的解耦,并通過徑向基函數神經網絡(radial basis function neural network,RBFNN)對系統受到的不確定干擾進行自適應逼近補償。但以較少控制量來控制較多狀態的欠驅動系統相當困難,且難以保證滑模面的收斂性。此外,神經網絡樣本訓練是一個耗時的過程,過多的隱含層神經元也會使控制器設計變得復雜。基于干擾觀測器的SMC律則簡潔且易于設計。文獻[9]提出了一種基于變增益超螺旋SMC和自適應模糊擾動觀測器的復合控制策略,以提高雙軸機載光電穩定平臺在外部干擾影響下的跟蹤性能。

考慮到實際工程中難以通過求導獲取加速度信號的問題,本文設計了一種不包含系統狀態二階導信息的指數收斂干擾觀測器,以對系統干擾進行估計補償;針對蹺蹺板系統強耦合、欠驅動的特性,引入分層SMC,并通過模糊規則的設計實現切換增益自適應調節;在Matlab仿真環境和Quanser試驗平臺下,進行了SMC算法以及基于指數收斂干擾觀測器干擾補償的切換增益自適應模糊分層滑模控制(observer-fuzzy hierarchical sliding mode control,Obv-FHSMC)算法的仿真和試驗,以檢驗所提復合控制算法在應用于蹺蹺板系統平衡控制時的有效性和可行性。

1 蹺蹺板系統動力學建模

蹺蹺板系統主體由小車、滑動導軌以及蹺蹺板倒三角體組成。其平衡機制是通過小車沿導軌運動改變系統重心,使蹺蹺板趨近并保持平衡。本文將蹺蹺板系統抽象成質點小車和勻質倒三角結構體的組合。蹺蹺板系統簡化模型如圖1所示。

圖1 蹺蹺板系統簡化模型

本文定義xc(t)為小車偏離平衡點的位移、θ(t)為蹺蹺板傾斜角度、F(t)為小車驅動力、d(t)為蹺蹺板系統受到的干擾力、Dtr為小車軌道高度、Dce為系統重心高度、Msw為小車蹺蹺板系統質量、Mcr為小車質量、Jsw為系統轉動慣量、Beq為小車齒輪等效阻尼系數。

本文根據拉格朗日方程建立蹺蹺板系統動力學模型。根據圖1建立的XOY坐標系,蹺蹺板結構體重心位置(Xsw,Ysw)和小車重心位置(XC,YC)分別為:

(1)

(2)

系統總動能T為:

(3)

本文定義X軸為零勢能點,則系統總勢能Vpe為:

Vpe=McrgYC+MswgYsw=Mcrg[xc(t)sinθ(t)+
Dtrcosθ(t)]+MswgDcecosθ(t)

(4)

本文取拉格朗日算子L=T-Vpe,并忽略蹺蹺板繞軸心轉動的摩擦力、空氣阻力,所建立的拉格朗日方程為:

(5)

式(3)、式(4)代入式(5),可得:

(6)

求解式(6),并在系統平衡點處通過求解雅可比矩陣將模型線性化[10],可得:

(7)

(8)

2 復合控制算法設計

蹺蹺板系統控制結構如圖2所示。

圖2 蹺蹺板系統控制結構框圖

蹺蹺板系統主體呈現倒三角形,下方只有單一支點而整個結構的重心在上方。這就使得其本質是一個不穩定系統,在面對干擾時極為敏感。當控制小車產生位移時,由于蹺蹺板整體的結構特性,勢必會引起蹺蹺板傾斜角度的變化,導致整個系統表現出很強的耦合性。此外,控制系統要求通過單一輸入量(即電機對小車的驅動力),來實現對小車位移以及蹺蹺板傾斜角度等多個變量的控制。這樣的欠驅動特性也是蹺蹺板系統平衡控制的一大難點。

針對蹺蹺板系統的上述特性,本文提出一種指數收斂干擾觀測器與切換增益模糊自適應分層SMC相結合的復合控制策略。

2.1 指數收斂干擾觀測器設計

系統狀態空間表達式如下。

(9)

式中:aij、bij分別為A、B矩陣對應位置的元素。

(10)

設計干擾觀測器的一般思想,是用估計輸出與實際輸出的差值對估計值進行修正,即:

(11)

(12)

則:

設計改進后的干擾觀測器為:

(13)

由式(13)可得:

(14)

設觀測誤差為:

則:

(15)

式(14)代入式(15),可得:

(16)

2.2 分層SMC算法設計

本文將式(9)轉化成以下標準形式:

(17)

由式(17)可知,小車位移與蹺蹺板傾角的運動構成了一個四階非線性耦合欠驅動系統。為此,本文考慮引入分層滑模方法來控制該系統。控制目標為[x1,x2,x3,x4]→[xo1,xo2,xo3,xo4]。其中:xoi為各狀態變量的期望值,是常量。針對式(17)所描述的蹺蹺板系統,本文將其看作兩個2階子系統的耦合。兩個子系統分別為小車系統(x1,x2)和蹺蹺板傾角系統(x3,x4)。

狀態誤差為ei=xi-xoi,i=1,2,3,4。所構造的第一層滑模面為:

(18)

式中:c1>0、c2>0均滿足Hurwitz條件。

對式(18)求導,可得:

(19)

根據Filippov等效控制理論,將式(9)代入式(19),可得兩個子系統在其各自滑動平面上的等效控制量:

(20)

(21)

為保證各子系統能分別進入其各自的滑動平面,并沿各自滑動平面作滑模運動,必須使總滑模控制律中包含各子系統的等效控制量[11]。為此,本文設計的總滑模控制律為:

u=ueq1+ueq2+usw

(22)

式中:usw為系統在趨近階段的切換控制量。

所構造的第二層滑模面為:

s=αs1+s2

(23)

式中:α為常數。

α滿足:

(24)

式中:α0>0。

(25)

式(9)、式(22)代入式(25),可得:

ueq2+usw)+b21d]+[a41x1+a42x2+a43x3+(c2+

a44)x4+b41(ueq1+ueq2+usw)+b41d]=αb21(ueq2+usw+

(26)

(27)

(28)

2.3 切換增益調節系數的模糊自適應設計

滑模控制律中,等效控制可以使系統狀態保持在滑模面上運動;切換控制則可以迫使遠離滑模面的系統狀態向滑模面作趨近運動,以保證SMC的魯棒性。如果切換控制的切換增益較小,則系統狀態趨近滑模面時的速度較小,引起的系統抖振也較小;如果切換控制的切換增益較大,則系統狀態到達滑模面時的速度也較大,引起的抖振也相應變大。

因此,切換增益調節系數的調節原則應為:當系統狀態距滑模面較遠處時(或者說受到較大干擾時),宜選取較大的切換增益調節系數,以保證快速趨近;當系統狀態在滑模面附近時(或受到的干擾較小時),宜選取較小的切換增益調節系數,以減弱抖振[12]。為此,可以通過設計模糊規則來實現切換增益的自適應調節。

本文將式(27)設計的切換控制量改進如下。

(29)

式中:μ為切換增益調節系數,μ≥0。

模糊邏輯系統的設計過程如下。

①確定模糊系統的輸入變量為s,并以μ作為輸出變量。

②定義模糊集合及其隸屬函數。本文對s定義Z、N和P三個模糊集,對μ定義Z、P兩個模糊集。Z、N和P分別表示“零”“負”和“正”。根據實際情況,通過比例因子將模糊集論域統一為[-1,1]。s中的N、P模糊集采用梯形隸屬函數,Z模糊集采用三角形隸屬函數。μ的兩個模糊集均采用梯形隸屬函數。

③模糊規則的設計。基于切換增益調節系數的調節原則,為保證s→0,模糊規則制定為:

ifs(t) isNthenμisN

ifs(t) isZthenμisZ

ifs(t) isPthenμisP

第二行規則表示當沒有干擾(系統狀態處于滑模面上)時,μ=0。此時,控制律不包含符號函數,系統保持滑模運動。第一、第三行規則表示,系統受到干擾時,μ≠0。此時,控制律中切換控制量增大,系統進行趨近運動。

④解模糊。本文采用重心法進行解模糊。

綜上所述,通過模糊系統的輸出,即切換μ的自適應變化,可以實現對切換增益的調節,從而削弱系統抖振。

2.4 穩定性分析

本小節將逐步證明所構造的兩個分層滑模面的穩定性以及系統的李雅普諾夫穩定性。在此先給出分析過程中涉及到的兩個引理。

①Barbalat引理1。

②Barbalat引理2。

2.4.1 第二層滑模面s的穩定性分析

式(29)代入式(26),可得:

(30)

定義閉環系統的李雅普諾夫函數為:

(31)

則:

(32)

式(30)代入式(32),可得:

(33)

對式(33)兩邊同時取積分,則:

(34)

因為V(t)≥0,所以有:

(35)

從而可得:

V(0)<∞

(36)

以下將進一步分析,在s=0全局漸近穩定的前提下,s1和s2的漸近穩定性。

2.4.2 第一層滑模面s1、s2的穩定性分析

根據Barbalat引理2,本文要證明t→∞時的s1、s2平方可積,即:

(37)

由式(36)可知:

(38)

(39)

由于s=αs1+s2,且式(24)中的α選取保證了αs1s2≥0,即αs1與s2同號。結合式(39),可得:

(40)

(41)

3 仿真與試驗

3.1 仿真及分析

在Matlab環境下,針對蹺蹺板系統,本文分別采用傳統SMC算法和Obv-FHSMC算法進行仿真驗證。

蹺蹺板系統各參數取值為:Msw=3.6 kg;Dt=0.125 m;Jsw=0.395 kg·m2;Beq=4.3 N/(m/s);DC=0.058 m;MC=0.57 kg。

系統干擾及觀測器的估計曲線如圖3所示。

圖3 系統干擾及觀測器的估計曲線

由圖3可知,估計曲線僅在個別局部區間上與實際干擾曲線存在較小誤差,整體上與干擾曲線保持一致。這體現了所設計干擾觀測器良好的收斂精度和對干擾的精確估計能力。Matlab環境下蹺蹺板平衡控制仿真曲線如圖4所示。

圖4 Matlab環境下蹺蹺板平衡控制仿真曲線

由圖4可知,增加了干擾補償的Obv-FHSMC曲線相較于SMC曲線,系統到達平衡狀態所需要的時間更短;在4～6 s、9～10 s以及13～14 s區間上,與相同區間下的較大外部干擾相對應,SMC曲線大幅偏離了平衡位置,而Obv-FHSMC曲線僅在平衡位置附近作小幅波動。這體現了Obv-FHSMC算法具有更強的抗干擾能力和更快的收斂速度。

SMC算法和Obv-FHSMC算法的控制器輸出曲線對比如圖5所示。

圖5 控制器輸出曲線對比

由圖5可知,具有切換增益模糊自適應調節的Obv-FHSMC曲線抖動程度更低。這在一定程度解決了傳統SMC算法在未知大干擾下切換增益過大的問題。

3.2 試驗及分析

本文采用Quanser公司提供的蹺蹺板系統試驗平臺。試驗時先將蹺蹺板和小車置于平衡位置,啟動試驗裝置;待蹺蹺板系統保持平衡狀態后向導軌施加不同方向的干擾力,以檢驗控制算法的抗干擾能力。

Quanser試驗平臺下蹺蹺板系統實時控制響應曲線如圖6所示。

圖6 Quanser試驗平臺下蹺蹺板系統實時控制響應曲線

Quanser試驗平臺下控制器輸出曲線如圖7所示。

圖7 Quanser試驗平臺下控制器輸出曲線

由圖7可知,具有切換增益模糊自適應調節的Obv-FHSMC算法曲線的抖動程度更低。這能夠在一定程度上解決傳統SMC算法在未知大干擾下的抖振問題。

試驗在10 s、24 s、36 s左右對蹺蹺板系統施加不同程度、方向的干擾力。雖然兩種算法在受到干擾影響時都偏離了平衡位置,但增加了干擾補償的Obv-FHSMC響應曲線相比于SMC響應曲線收斂速度更快(收斂時間縮短約28%),且Obv-FHSMC響應曲線的偏離程度和波動幅值也均小于SMC響應曲線。

4 結論

針對蹺蹺板這類不穩定、強耦合的欠驅動系統,本文將外部擾動對蹺蹺板系統平衡控制的影響納入考慮,在Simulink仿真環境以及Quanser試驗平臺下,驗證了基于指數收斂干擾觀測器干擾補償的切換增益模糊自適應分層SMC算法在應用于蹺蹺板系統平衡控制時的有效性和可行性。為應對蹺蹺板系統耦合欠驅動特性,本文采用了分層SMC算法,并通過模糊規則的設計實現了切換增益的自適應調節;為提高蹺蹺板系統的抗干擾能力,設計了一種指數收斂干擾觀測器對系統受到的外部擾動等不確定因素進行估計補償,實現了未知大干擾下蹺蹺板系統的平衡控制。此外,該干擾觀測器不需要系統狀態變量二階導信息,解決了實際工程中難以通過求導獲得加速度信號的問題。本文所提出的復合控制策略也可以應用于類蹺蹺板平衡控制的實際系統中。