車輛荷載作用下斜拉索參數振動分析

路一鳴,劉 敏

(1. 中國建筑上海設計研究院有限公司,上海 200333; 2. 哈爾濱工業大學 土木工程學院,黑龍江 哈爾濱 150090)

0 引言

隨著中國建造的迅猛發展,眾多大跨度橋梁應運而生?，F代斜拉橋能夠方便人們出行,復雜的結構體系也使其具有良好的結構性能。隨著斜拉橋跨度增加,斜拉橋的結構剛度減小,斜拉索的長度和柔度增大,極易引起斜拉索的大幅值參數振動。對于斜拉索參數振動的理論研究,WARNITCHAI等[1]將斜拉索的垂度曲線簡化為二次拋物線并施加索端位移激勵,斜拉索的響應出現了二次和三次非線性耦合,證明拉索和整體結構之間存在1∶1和1∶2共振;LILIEN等[2]不考慮斜拉索垂度,將斜拉索簡化為張緊弦,以實際案例為基礎分析斜拉索發生參數振動的可能性,并指出超長斜拉索自振頻率較低,極有可能發生參數激勵;基于有限元模擬的方法,于巖磊等[3]建立斜拉網殼有限元模型,分析了結構中拉索發生參數振動的可能性以及影響因素,并對“拍”現象進行理論分析;李永樂等[4]建立斜拉橋和斜拉索的有限元模型,考慮車橋耦合的因素,對車輛荷載作用下斜拉索的參數振動進行分析。目前針對斜拉索的參數振動研究,以理論和實驗分析為主,基于有限元模擬的參數振動研究較少,且索端施加的多為規律的荷載激勵,索端施加隨機外部荷載的情況研究較少。

本文針對車輛荷載作用下斜拉索的參數振動進行研究,對斜拉橋全橋模型和斜拉索的有限元模型進行動力特性分析。在斜拉橋全橋模型上施加車輛荷載,提取斜拉索索端位移響應施加于斜拉索模型,分析斜拉索參數振動受車輛荷載的影響情況。

1 工程概況及全橋有限元模型

該超大跨徑斜拉橋為半漂浮體系斜拉橋,主航道長度為1088 m,閉口鋼箱梁含風嘴寬度為41 m,中心線處梁高為4 m。索塔高度為300 m,塔柱呈倒Y型。斜拉索采用1770 MPa平行鋼絲,最長拉索長度為577 m。該斜拉橋主跨結構布置如圖1所示。

圖1 斜拉橋主跨結構布置Fig.1 Structural arrangement of main span of cable-stayed bridge

基于某超大跨度斜拉橋的設計資料,采用空間桿系的建模方法建立全橋有限元模型,BEAM188單元用于定義主梁、主塔、橋墩以及剛性橫梁,LINK10單元用于定義斜拉索,MASS21單元用于定義集中質量,并用彈簧單元COMBIN37模擬黏滯阻尼器,將阻尼器按照工程實際放置于斜拉橋的主塔和主梁之間,最后采用CP耦合命令準確模擬橋梁各結構構件之間的連接方式以及邊界條件,全橋有限元模型如圖2所示。

圖2 全橋有限元模型Fig.2 Full-size finite element model of the bridge

斜拉索在超大跨度斜拉橋的荷載傳遞中起到了至關重要的作用,它作為橋塔和主梁之間的重要連接構件,使得橋塔和主梁在隨機的外部荷載激勵下能夠均衡受力,所以斜拉索的受力和應變情況需要在有限元模型中進行準確模擬,本文采用初應變迭代法[5]進行斜拉索的索力調整[6]。列舉了多條斜拉索調整索力之后的索力誤差,如表1所示。

表1 索調后斜拉索的索力誤差Table 1 Cable force error after several cable adjustment

2 全橋動力特性分析

模態分析[7]是研究結構動力特性的一種常用方法,文中采用分塊蘭索斯法對斜拉橋進行動力特性分析,得到全橋多階頻率及振型特征,根據JTG/T 3360-01—2018《公路橋梁抗風設計規范》[8]給出的經驗公式,計算得到斜拉橋一階對稱豎彎以及一階對稱扭轉的頻率值,與數值模擬結果相仿。斜拉橋主要模態頻率及對應的模態振型如表2和圖3所示。

表2 斜拉橋模態分析結果Table 2 Modal analysis results of cable-stayed bridge

圖3 主要模態陣型圖Fig.3 Major mode shapes

3 斜拉索模型建立和模態分析

按照斜拉索所在位置分為江側斜拉索Ji(i=1～34)和岸側斜拉索Ai(i=1～34),從橋塔向兩側索編號逐漸增大。斜拉索J34是斜拉橋的最長拉索,以J34為研究對象建立斜拉索有限元模型。索J34長577 m,成橋恒載索力值(塔端)為6810kN,成橋恒載索力值(梁端)為6590kN,拉索面積為1.9597×10-2m2,無應力狀態下的均布質量為102.03kg/m,彈性模量為1.95×1011Pa,本文采用趙海霞等[9]提出的等效彈性模量法的簡化公式,得到了考慮垂度效應之后J34的等效彈性模量1.8738×1011Pa。采用索單元LINK10建立斜拉索模型[10],拉索兩端采用固定約束。A點表示斜拉索與橋塔的連接點,B點表示斜拉索與橋面主梁的連接點,O點表示斜拉索的中點,節點坐標系用小寫字母x、y、z表示,斜拉索的位移響應用大寫字母X、Y、Z表示。x向表示橫橋向,y向表示順橋向,z向表示豎向。X向表示斜拉索的面外位移,Y向表示沿著索軸線產生的面內位移,Z向表示垂直于索軸線產生的面內位移。斜拉索模型如圖4所示。

JTG/T 3360-01—2018《公路橋梁抗風設計規范》[8]給出了斜拉索的頻率估算公式,與有限元模態分析得到的斜拉索各階頻率相近,驗證斜拉索模型及模態分析的正確性,模態分析結果和斜拉索對應的模態振型如表3和圖5所示。

表3 斜拉索有限元模型模態分析Table 3 Modal analysis of the finite element model of the stay cable振型階數有限元頻率值/Hz理論計算頻率值/Hz模態振型情況一階0.2250.225面外一階對稱二階0.2530.226面內一階對稱三階0.4590.450面內二階反對稱四階0.5000.450面外二階反對稱五階0.6890.675面外三階對稱六階0.6900.675面內三階對稱

圖5 斜拉索J34各階模態振型曲線Fig.5 Mode shape curves of each mode of the stay cable J34

4 簡諧激勵下斜拉索參數振動

在斜拉索J34兩端施加頻率為0.2532 Hz(索J34的一階自振頻率)的規律正弦激勵,采用完全法進行瞬態分析[11],正弦激勵幅值A=0.25 m,時間間隔Δt=0.1 s,計算步數n=5000,忽略阻尼的影響。如圖6所示,當斜拉索所受外部激勵頻率與斜拉索基頻呈1∶1的關系時,斜拉索會產生非常大的位移響應,斜拉索中點面內豎向位移響應高達所施加正弦激勵幅值的40倍,此時激起了斜拉索的一階主共振,發生“拍振”。由圖6(b)可知,幅值達到最大時對應的頻率值為0.254 Hz,與索一階自振頻率相近。拍振的發生是由于在索端施加的正弦激勵頻率與斜拉索基頻相近, 但由于斜拉索自身的振動并不是單一的簡諧波形振動,且斜拉索在阻尼及外部條件的作用下振動呈衰減趨勢,所以斜拉索主共振的激勵幅值隨時間延長也會相應減小。由此分析得出,當斜拉索所受外部頻率激勵很小,但是外部激勵頻率與斜拉索基頻呈1∶1關系時,產生的位移響應不可忽視。

圖6 正弦激勵下斜拉索中點Z方向的位移幅值時程Fig.6 Time history of displacement amplitude in the Z direction at the midpoint of the stay cable under sine excitation

5 施加車輛荷載后斜拉索的參數振動

5.1 基于車橋耦合建立振動方程

車橋耦合振動[12],指的是車輛在橋面上行駛時,二者產生的位移響應會相互影響,是車輛和橋梁相互性的一個力學作用。車輛對橋梁有重力作用、阻尼力作用、慣性力作用,這些力除了重力,阻尼力和慣性力都是會發生改變的。采用Newmark-β法建立車橋耦合系統的運動方程[13],橋梁和車輛的振動方程見式(1)～式(2):

(1)

(2)

通過建立車橋之間的位移協調和受力平衡條件,得到車橋耦合系統的運動方程為

(3)

式中 :Mbv(t)為車橋耦合系統的廣義質量矩陣;Cbv(t)為系統的阻尼矩陣;Kbv(t)為系統的剛度矩陣;δ分別為車輛的各自由度以及橋梁廣義模態坐標組成的列向量;Fbv(t)為系統的廣義荷載列向量。

5.2 考慮橋面不平順因素

在實際工程中,橋面不平順通常是由于外部環境、溫度、施工和交通重復荷載等不可避免的因素導致的。根據不同的區別要素可以分為動態和靜態不平順、水平和高低不平順。動態不平順和靜態不平順的區別要素在于橋面上有無荷載,水平不平順和高低不平順的區別要素在于橋面的不平順方向。

本文應用美國六級譜模擬橋面的高低不平順,表達式為

(4)

式中:SV(Ω)為高低不平順橋面譜密度[cm2/(rad/m)];k為安全系數,取0.25;AV為粗糙度常數(cm2·rad/m),美國六級譜取0.0339;ΩC為截斷頻率(rad/m),美國六級譜為0.8245;Ω為橋面高低不平順譜的空間頻率(rad/m)。

高低不平順樣本與功率譜密度曲線如圖7所示。

圖7 美國六級譜模擬橋面高低不平順樣本與功率譜密度曲線Fig.7 Sample of bridge deck irregularity simulated by American six-level spectrum and power spectral density curves

5.3 車輛荷載作用下全橋振動分析

建立車輛模型存在多種模型簡化方法[14]:移動荷載模型、移動集中質量模型、移動均布質量作用模型、移動質量加彈簧的作用模型。前3種簡化方法單純地考慮了車輛的荷載或者質量,而現在車輛普遍安裝有彈簧減振裝置,所以本文采用車輪加彈簧加質量的方法模擬車輛。

在ANSYS中實現車橋耦合主要有3種方法:位移耦合法、生死單元法和位移接觸法。本文采用位移耦合法實現車橋耦合,采用CP命令模擬車輛在橋面上的行進過程。車輛模型的上下質量用質量單元MASS21模擬,上下質量之間的彈簧單元用COMBIN14模擬。利用ANSYS完全法進行瞬態分析時,采用Rayleigh阻尼假定,表達式如下:

C=αM+βK

(5)

式中:α、β分別為質量阻尼系數、剛度阻尼系數;M、K分別為結構質量矩陣、結構剛度矩陣。

質量阻尼系數和剛度阻尼系數不是已知的,通過正交性原理,任一階模態阻尼比ξi、自振頻率為ωi滿足以下公式:

(6)

(7)

JTG B01—2014《公路工程技術標準》[15]規定高速公路的設計速度不宜低于100 km/h,受地形、地質等條件限制時,可以選用80 km/h。根據不同的天氣情況,超大跨度斜拉橋經常會采取不同的限速標準,最高時速不得超過設計速度100 km/h。為保證本文分析結果的可靠性,取3組時速進行分析,分別取80、100、120 km/h的行進速度,得到3組索J34梁端節點的位移時程曲線以及頻譜圖,如圖8～圖10所示。

圖8 速度為80 km/h時最長索J34索端位移時程及頻譜曲線Fig.8 Displacement time history and spectrum curve of cable end of the longest cable J34 at the speed of 80 km/h

圖9 速度為100 km/h時最長索J34索端位移時程及頻譜曲線Fig.9 Displacement time history and spectrum curve of cable end of the longest cable J34 at the speed of 100 km/h

圖10 速度為120 km/h時最長索J34索端位移時程及頻譜曲線Fig.10 Displacement time history and spectrum curve of cable end of the longest cable J34 at the speed of 120 km/h

圖11 車輛時速與索端頻率的關系曲線Fig.11 Curve of the relationship between vehicle speed and cable end frequency

分析圖8～圖10的位移時程曲線可知,隨著車輛行進速度的增加,斜拉索梁端節點發生最大位移響應的時間點隨之提前,在不同車速情況下,位移時程曲線的形狀是相同的,產生的最大豎向位移沒有太大變化,表明車輛的行駛速度對斜拉索梁端節點位移響應影響不大。分析3條頻譜曲線可得,隨著車輛行進速度的增加,索端位移響應的主要頻率成分增大,但是主要頻率仍遠小于斜拉索的一階頻率,所以當橋面上的車輛按照限速要求正常行駛時,斜拉索不會發生主共振或者參數共振。如圖11所示,斜拉索索端位移響應頻率與車輛時速呈線性增長的關系,所以若車輛速度超過該橋限定時速,斜拉索索端位移激勵頻率將進一步接近斜拉索的一階固有頻率,這時斜拉索便會產生巨大的位移響應,這也是橋梁上限制最高時速的原因之一。

6 結論

本文利用有限元軟件ANSYS對某超大跨度斜拉橋及其拉索進行有限元分析,將有限元分析結果對比先前研究數據以及理論計算值,得到正確的斜拉橋和斜拉索有限元模型,驗證了當在斜拉索端部施加規律的正弦激勵且激勵頻率為斜拉索一階固有頻率時,斜拉索發生一階主共振。

考慮車橋耦合以及橋面不平順因素,采用完全法進行瞬態分析,用位移耦合法實現車橋耦合,建立上質量-彈簧-下質量的車輛模型,在該超大跨度斜拉橋的限制時速范圍內,分析車輛在多組行駛速度下,斜拉索是否會發生主共振或者參數共振。分析得出,雖然斜拉索索端頻率與車輛時速呈線性增長的關系,但是若車輛在橋梁所規定的時速范圍內行駛,斜拉索索端位移響應的主要頻率成分遠小于斜拉索的一階固有頻率,不會激起斜拉索的共振。