基于響應(yīng)面-遺傳算法的印制電路板參數(shù)識(shí)別

李晨現(xiàn)，高芳清,2，舒文浩

（1.西南交通大學(xué)力學(xué)與航空航天學(xué)院，成都 611756；2.西南交通大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 611756）

引言

機(jī)載電子設(shè)備在工況中都會(huì)受到劇烈的振動(dòng)與沖擊作用，如在衛(wèi)星發(fā)射、汽車加速和高鐵運(yùn)行等過程中。由于電子設(shè)備振動(dòng)引起的焊點(diǎn)破壞、引線斷裂、元器件損壞等會(huì)對(duì)機(jī)械設(shè)備的安全運(yùn)行造成嚴(yán)重影響，為此提高電子設(shè)備的振動(dòng)可靠性與穩(wěn)定性是非常重要的。

研究電子設(shè)備動(dòng)態(tài)特性需要建立準(zhǔn)確的印制電路板(Printed Circuit Board，PCB)有限元模型，關(guān)于PCB 的有限元成型技術(shù)，Pitarresi 等[1]提出了6 種方法：簡(jiǎn)單成型法、總質(zhì)量等效法、總剛度等效法、總質(zhì)量/剛度等效法、局部等效法和直接有限元成型法。王紅芳等[2]對(duì)這6種方法進(jìn)行了對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)總質(zhì)量/剛度等效法具有求解速度快并保持計(jì)算精度高的優(yōu)點(diǎn)。這6種建模方法在PCB 有限元中建模的前提是通過實(shí)驗(yàn)獲取其局部或整體的物理參數(shù)，然而由于PCB 及元器件體積較小且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，物理參數(shù)由靜力學(xué)試驗(yàn)獲取的難度大，因此PCB 用于有限元模型的物理參數(shù)很難通過試驗(yàn)獲取。

針對(duì)難以由試驗(yàn)獲取物理參數(shù)的相關(guān)問題，國內(nèi)外主要發(fā)展了響應(yīng)面法進(jìn)行模型參數(shù)識(shí)別[3-4]。Kazemian 等[5]通過響應(yīng)面法對(duì)光伏熱系統(tǒng)性能進(jìn)行預(yù)測(cè)和優(yōu)化，將系統(tǒng)材料和環(huán)境條件作為操作因素，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)最高電功率和熱功率優(yōu)化。Sai 等[6]使用NSGA-II 遺傳算法對(duì)換熱器進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，驗(yàn)證了NSGA-II 具有良好的收斂性和避免局部最優(yōu)解的能力。孫衛(wèi)青等[7]采用響應(yīng)面全局優(yōu)化技術(shù)對(duì)蜂窩夾層板的蜂窩芯進(jìn)行等效參數(shù)修正，使用徑向基函數(shù)響應(yīng)面模型進(jìn)行自適應(yīng)拉丁超立方采樣，得到基于前6階頻率修正的剪切模量及密度參數(shù)。國內(nèi)外關(guān)于響應(yīng)面法在PCB 有限元模型參數(shù)修正與識(shí)別領(lǐng)域的研究較多。比如，王開山等[8]對(duì)PCBA 進(jìn)行參數(shù)修正，其遺傳算法采用多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行迭代。吳永濤[9]將PCB 視為各向異性材料進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，前兩階頻率誤差降到了5%以下。張梁娟等[10]針對(duì)PCBA 參數(shù)過多的問題，將元器件等效到基板上再通過響應(yīng)面法優(yōu)化模型參數(shù)。

從以往對(duì)于響應(yīng)面法在有限元模型參數(shù)識(shí)別的研究中，可以清晰看出此方法具有易于迭代的特點(diǎn)，能節(jié)約大量試驗(yàn)資源，但也存在對(duì)復(fù)雜模型識(shí)別效率較低和容易出現(xiàn)局部最優(yōu)解的問題。針對(duì)PCBA 元器件和基板內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜導(dǎo)致構(gòu)建響應(yīng)面樣本數(shù)較大的問題[11]，本文使用MRRV-CCD 方法進(jìn)行響應(yīng)面樣本點(diǎn)構(gòu)建。由于常用響應(yīng)面迭代的多目標(biāo)遺傳算法對(duì)多個(gè)修正目標(biāo)識(shí)別誤差會(huì)增大，本文采用NSGA-II 進(jìn)行多目標(biāo)參數(shù)識(shí)別，NSGA-II 適用于模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜的情況，解決了模型復(fù)雜導(dǎo)致樣本點(diǎn)過多的問題。NSGA-II 對(duì)于PCBA 使用工況中常涉及的振動(dòng)模態(tài)有很好的識(shí)別精度，同時(shí)對(duì)較少涉及的頻段也能保持較高精度。

1 基于響應(yīng)面-非支配排序遺傳算法的PCBA模型修正技術(shù)

響應(yīng)面-非支配排序遺傳算法適用于結(jié)構(gòu)分析中響應(yīng)y和其物理參數(shù)xi有復(fù)雜或不確定關(guān)系的情況，通過構(gòu)造顯式超曲面函數(shù)表示其相互關(guān)系，即構(gòu)建多項(xiàng)式響應(yīng)面模型：

式中，RSM為響應(yīng)面函數(shù)，η為待求解的響應(yīng)值，δ(xi)為建模誤差，應(yīng)當(dāng)盡量減小，以便在數(shù)值運(yùn)算中能夠提高計(jì)算效率，從而使用多項(xiàng)式響應(yīng)面模型代替真實(shí)PCBA 模型。通常PCBA 板多項(xiàng)式響應(yīng)面模型構(gòu)建與遺傳算法識(shí)別過程如圖1 所示，主要流程包括：

圖1 響應(yīng)面-遺傳算法識(shí)別技術(shù)流程圖

1）選擇多項(xiàng)式響應(yīng)面識(shí)別參數(shù)，初步確定PCBA 物理參數(shù)變化范圍，利用參數(shù)相關(guān)性分析篩選待識(shí)別重要參數(shù)。

2）由試驗(yàn)設(shè)計(jì)確定多項(xiàng)式響應(yīng)面樣本點(diǎn)，獲取樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)響應(yīng)值，并構(gòu)造響應(yīng)面模型。

3）模態(tài)實(shí)驗(yàn)獲取PCBA 振動(dòng)響應(yīng)特性，結(jié)合響應(yīng)面模型構(gòu)造多目標(biāo)優(yōu)化問題待優(yōu)化函數(shù)。

4）利用NSGA-II 進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，迭代得到Pareto前沿解集，獲取識(shí)別后的參數(shù)。

1.1 相關(guān)性分析試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法

建立多項(xiàng)式響應(yīng)面函數(shù)樣本點(diǎn)通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲取，多參數(shù)樣本點(diǎn)選取常用方法有CCD、Box-Behnken設(shè)計(jì)及D-最優(yōu)設(shè)計(jì)等。本文采用CCD，完整CCD樣本數(shù)n=2k+2k+nc，它包含3部分：1)一個(gè)立方體的2k（k為參數(shù)個(gè)數(shù)）個(gè)頂點(diǎn)的析因部分；2）帶有參數(shù)α的2k個(gè)軸點(diǎn)；3）中心點(diǎn)nc。樣本分布如圖2所示。

圖2 CCD組成部分示意圖

PCBA 內(nèi)部結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，多參數(shù)水平下如當(dāng)k=10 時(shí)，不考慮中心點(diǎn)情況下樣本點(diǎn)n=210+2 ×10+6=1050，顯然樣本點(diǎn)的龐大計(jì)算量違背了響應(yīng)面法識(shí)別高效率的特點(diǎn)。因此，對(duì)于多參數(shù)模型可以采用部分型中心復(fù)合設(shè)計(jì)（Fractional Factorial CCD），12pCCD（p為樣本縮減倍數(shù)）或MRRV-CCD，p=1、2、4設(shè)計(jì)下樣本數(shù)分別需要538、282、154個(gè)；在MRRV-CCD設(shè)計(jì)下樣本數(shù)需要76個(gè)。

模型未知因素過多時(shí)，為提高響應(yīng)面識(shí)別效率需對(duì)仿真模型參數(shù)敏感度進(jìn)行篩選，縮減待識(shí)別因素個(gè)數(shù)，通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲取的樣本點(diǎn)輸入?yún)?shù)k和輸出響應(yīng)y計(jì)算Pearson 相關(guān)系數(shù)考量其相關(guān)性。相關(guān)系數(shù)計(jì)算式為：

式中，rk為Pearson 相關(guān)系數(shù)；X為輸入?yún)?shù)的值；Y為輸出響應(yīng)的值；為輸入?yún)?shù)的平均值；為輸出響應(yīng)的平均值。

通過rk判斷參數(shù)與響應(yīng)值的影響程度，其值趨近于0 代表輸入?yún)?shù)對(duì)輸出響應(yīng)影響相互獨(dú)立，篩選 |rk|大于等于0.1的參數(shù)為待識(shí)別參數(shù)。

1.2 二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型

對(duì)于響應(yīng)面函數(shù)的選擇要求主要有兩點(diǎn)：1）數(shù)學(xué)表達(dá)式能描述輸入?yún)?shù)與輸出響應(yīng)之間的真實(shí)關(guān)系；2）數(shù)學(xué)表達(dá)式未知系數(shù)應(yīng)盡量少，過多的未知系數(shù)會(huì)增加樣本點(diǎn)的數(shù)量。對(duì)于本文PCBA 參數(shù)識(shí)別問題采用二次多項(xiàng)式響應(yīng)面，其計(jì)算公式如下：

式中，βn為待定系數(shù)；n=1,2,3,4；k為待識(shí)別參數(shù)個(gè)數(shù)；xixj為參數(shù)i與j的相互作用效應(yīng)。對(duì)于一些具體問題可以在式（4）中增加xi等高階項(xiàng)。

1.3 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)公式如下：

式中，R2為判斷系數(shù)，其大小表明PCBA 響應(yīng)面值與模態(tài)試驗(yàn)樣本真值相似度，y、yR分別為試驗(yàn)樣本點(diǎn)測(cè)試值及對(duì)應(yīng)響應(yīng)面預(yù)測(cè)值，為試驗(yàn)樣本點(diǎn)真值均值，當(dāng)R2趨近于1時(shí)，表明響應(yīng)面模型能代替原有PCBA 有限元模型計(jì)算；RMSE系數(shù)為響應(yīng)面與有限元仿真相對(duì)均方根誤差，表示響應(yīng)面預(yù)測(cè)值與有限元計(jì)算值間差異程度；當(dāng)RMSE趨近于0 時(shí)，表明響應(yīng)面誤差小。

1.4 非支配排序遺傳算法優(yōu)化求解

響應(yīng)面函數(shù)與模態(tài)試驗(yàn)測(cè)試值誤差建立多目標(biāo)函數(shù)：

式中xR為待識(shí)別參數(shù)，它包含上下限（）。

多目標(biāo)優(yōu)化問題，使用的算法需要有高度魯棒性，避免局部最優(yōu)解出現(xiàn)。因此，Deb 等[12]和路良坤等[13]提出了NSGA-II，此算法是對(duì)NSGA 進(jìn)行的改進(jìn)，是基于快速分類的非支配遺傳算法。本文采用NSGA-II 對(duì)生成的多目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行迭代計(jì)算，并與PCBA 實(shí)際工況PSD 結(jié)合得到識(shí)別后的有限元模型，然后與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

2 案例計(jì)算與分析

圖3 所示為某機(jī)載PCBA 實(shí)物。對(duì)PCB 的ABAQUS 有限元模型進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，簡(jiǎn)化模型如圖4所示。

圖3 PCBA實(shí)物

圖4 PCBA有限元模型

模態(tài)試驗(yàn)平臺(tái)如圖5 所示，通過自動(dòng)力錘激勵(lì)測(cè)量PCBA 動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，采用德國Polytec 公司PSV-500非接觸式激光儀及其配套動(dòng)態(tài)信號(hào)采集工作站獲取PCBA 前6 階模態(tài)參數(shù)并用于后續(xù)響應(yīng)面參數(shù)識(shí)別與驗(yàn)證。

圖5 模態(tài)試驗(yàn)平臺(tái)

2.1 參數(shù)篩選

針對(duì)響應(yīng)輸出值的選取，本文研究PCBA 主要工況為振動(dòng)環(huán)境，因此選擇易于測(cè)量且精準(zhǔn)度高的模態(tài)頻率作為響應(yīng)面輸出值。PCBA 中易于測(cè)量的物理參數(shù)如密度和幾何尺寸不納入修正參數(shù)篩選中。由于不同PCBA 的制造工藝、元器件分布、電路分布均不同，從而導(dǎo)致材料參數(shù)不確定性較大，這是造成PCBA 動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果不準(zhǔn)確的重要因素。因此確定基板及元器件的各3個(gè)軸向彈性模量、3個(gè)泊松比及3 個(gè)平面剪切模量共18 個(gè)參數(shù)為待識(shí)別參數(shù)。

由于影響響應(yīng)值待識(shí)別參數(shù)過多會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)病態(tài)矩陣及龐大的有限元待計(jì)算量問題，因此首先應(yīng)當(dāng)對(duì)18個(gè)參數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析，排除對(duì)響應(yīng)值影響較小的參數(shù)，提高響應(yīng)面構(gòu)建計(jì)算速度。

計(jì)算前6 階模態(tài)頻率，多參數(shù)情況下采用完全CCD 會(huì)花費(fèi)大量計(jì)算資源，因此試驗(yàn)設(shè)計(jì)采用MRRV-CCD，水平參數(shù)選取3 水平即可，根據(jù)相關(guān)PCB研究確定初始參數(shù)水平見表1。

表1 CCD樣本水平表

樣本點(diǎn)設(shè)計(jì)在響應(yīng)面設(shè)計(jì)軟件Design Expert11中進(jìn)行。共建立244 個(gè)樣本點(diǎn)，通過ABAQUS 有限元軟件批量參數(shù)化建模仿真得到樣本點(diǎn)水平與其對(duì)應(yīng)響應(yīng)頻率。計(jì)算出18 個(gè)參數(shù)的Pearson 系數(shù)如圖6所示。

圖6 PCBA各材料參數(shù)與前6階模態(tài)頻率相關(guān)系數(shù)

由圖6 可見，PCBA 基板X向彈性模量Ex、印制電路板Y向彈性模量Ey、印制電路板XY平面剪切模量Gxy、印制電路板XY平面泊松比μxy及元器件XY平面剪切模量Gxy的相關(guān)性均超過0.2，因此將這5個(gè)參數(shù)確定為最終待識(shí)別參數(shù)。

2.2 響應(yīng)面構(gòu)建

相關(guān)性篩選后，構(gòu)建響應(yīng)面的5 個(gè)參數(shù)的因子水平較少，因此采用完全CCD，每個(gè)因素設(shè)計(jì)3個(gè)水平，所取水平值覆蓋整個(gè)區(qū)間，軸向點(diǎn)水平值α=2.236 07，以此試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本點(diǎn)構(gòu)建響應(yīng)面函數(shù)，參數(shù)水平設(shè)置見表2。

表2 完全中心復(fù)合設(shè)計(jì)參數(shù)水平

至此有限元模型前6 階模態(tài)頻率與5 個(gè)修正參數(shù)間的二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型構(gòu)建完畢。圖7所示為PCBA 基板X、Y向楊氏模量Ex和Ey相對(duì)第5 階模態(tài)頻率響應(yīng)面。

圖7 響應(yīng)面示例

由式（4）可知，參數(shù)設(shè)計(jì)空間中任意一點(diǎn)的響應(yīng)均可表示為：

式中，A為響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)矩陣，各階系數(shù)β見表3。

表3 響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)矩陣

通過樣本擬合度檢驗(yàn)，計(jì)算得到R2判斷系數(shù)以及RMSE相對(duì)均方根誤差值，見表4。表4 中可見，當(dāng)R2趨于1 時(shí)，RMSE趨于0，表明響應(yīng)面函數(shù)擬合精度高。

表4 前6階響應(yīng)面判斷系數(shù)

2.3 目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建及NSGA-II算法求解

模型參數(shù)識(shí)別問題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化問題，優(yōu)化目標(biāo)為前6 階響應(yīng)值與前6 階模態(tài)試驗(yàn)值之間的誤差最小。

采用NSGA-II 對(duì)前6 階響應(yīng)值與試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率的差值進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，并利用該算法得到5 個(gè)待修正材料參數(shù)的預(yù)測(cè)值。

通過NSGA-II 求解，初始樣本數(shù)為400，每一代變異概率為0.05，交叉概率為0.90，進(jìn)化代數(shù)為2000代，得到Pareto Front 優(yōu)化解（非劣解）的分布。為了同時(shí)提高PCBA 有限元模型的可靠性和完整性，匹配隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命分析，前6 階模態(tài)頻率在隨機(jī)振動(dòng)PSD譜高功率頻段誤差較小，如圖8所示。

圖8 機(jī)載PCBA航向加速度振動(dòng)試驗(yàn)

將PCBA 有限元模型前6 階模態(tài)頻率各權(quán)重系數(shù)設(shè)置為λ1=0.40、λ2=0.40、λ3=0.05、λ4=0.05、λ5=0.05、λ6=0.05（本文PCBA 機(jī)載工況下隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)譜峰值主要集中在1階模態(tài)頻率周邊范圍內(nèi)），因此評(píng)價(jià)函數(shù)如式（9）所示，前沿組P值最小模型參數(shù)見表5。

表5 NSGA-II識(shí)別參數(shù)

3 識(shí)別參數(shù)試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 模態(tài)頻率對(duì)比

基于2.3 節(jié)由NSGA-II 識(shí)別出的最優(yōu)參數(shù)組合重新建立分析模型，代入有限元模型計(jì)算獲得參數(shù)識(shí)別后模型，仿真與試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率值對(duì)比見表6。由表6可見，NSGA-II識(shí)別的參數(shù)在1階模態(tài)處誤差為0.32%，識(shí)別結(jié)果誤差取絕對(duì)值后的平均值為2.70%，與試驗(yàn)對(duì)比結(jié)果表明參數(shù)識(shí)別方法具備合理性與有效性。

表6 試驗(yàn)與識(shí)別后模態(tài)頻率對(duì)比

3.2 隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比

為了驗(yàn)證識(shí)別后模型用于實(shí)際機(jī)載振動(dòng)環(huán)境下的準(zhǔn)確性，采用隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。試驗(yàn)平臺(tái)為ES-40-370-VT0505 三軸向振動(dòng)臺(tái)，如圖9所示。

圖9 隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)圖

對(duì)PCBA施加圖8所示航向加速度振動(dòng)試驗(yàn)譜，激光測(cè)量采樣頻率為3200 Hz，測(cè)量共65 536 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，數(shù)據(jù)處理后得到元器件及基板共6 個(gè)測(cè)點(diǎn)速度均方根，與有限元模型仿真結(jié)果對(duì)比見表7。在加速度振動(dòng)試驗(yàn)譜的加載下，有限元計(jì)算結(jié)果和隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果非常接近，取絕對(duì)值后的平均誤差為5.83%，表明識(shí)別的參數(shù)值比較準(zhǔn)確，后續(xù)能夠用于實(shí)際工況下疲勞壽命分析計(jì)算。

表7 試驗(yàn)與識(shí)別后隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比

4 結(jié)論

本文通過多因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)和二次多項(xiàng)式響應(yīng)面構(gòu)建，基于模態(tài)頻率的多目標(biāo)函數(shù)和NSGA-II 遺傳算法對(duì)機(jī)載振動(dòng)工況下的PCBA 模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，得到以下結(jié)論：

1）通過最小分辨率V的中心復(fù)合設(shè)計(jì)完成多因素模型的響應(yīng)面樣本點(diǎn)試驗(yàn)設(shè)計(jì)，樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)縮減至244 個(gè)，通過相關(guān)性分析得到基板Ex、Ey、Gxy、μxy和元器件Gxy對(duì)PCBA 前6 階模態(tài)頻率Pearson 系數(shù)均大于0.2。

2）建立了PCBA 模型二次多項(xiàng)式響應(yīng)面函數(shù)模型，通過NSGA-II 迭代前6 階模態(tài)頻率響應(yīng)值與試驗(yàn)值多目標(biāo)函數(shù)，得到適用于機(jī)載振動(dòng)工況下的有限元模型參數(shù)，仿真結(jié)果與模態(tài)試驗(yàn)對(duì)比取絕對(duì)值后的平均誤差為2.70%，與隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)值對(duì)比取絕對(duì)值后的平均誤差為5.83%，參數(shù)識(shí)別后的有限元模型能夠滿足工程實(shí)際需求。

3）本文響應(yīng)面結(jié)合遺傳算法進(jìn)行有限元模型參數(shù)識(shí)別的方法識(shí)別速度較快，試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法同樣適用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的參數(shù)識(shí)別，易于工程應(yīng)用。

4）本文將PCBA 基板簡(jiǎn)化為同種材料，但對(duì)于基板工藝更加復(fù)雜的情況，將其進(jìn)行分區(qū)等效處理識(shí)別精度可能有所提高。