測量電源電動勢和內(nèi)阻實驗中“等效替代”的正確理解及應(yīng)用

李旭斌

“測量電源電動勢和內(nèi)阻”是電路中的學(xué)習(xí)難點，同學(xué)們可能會對以下問題產(chǎn)生疑惑：什么是等效電源？ 等效的依據(jù)是什么？ 電流表相對電源的內(nèi)、外接法對電源電動勢和內(nèi)阻的測量帶來怎樣的影響？ 如何從理論上進行分析？ 新、舊電池對電源電動勢和內(nèi)阻的測量帶來怎樣的影響？ 我們是選擇新電池還是舊電池進行實驗？ 當(dāng)缺少電壓表或電流表時，如何根據(jù)伏阻法、安阻法的特性圖像獲得電源電動勢和內(nèi)阻相關(guān)信息？ 下面針對這些問題進行詳細(xì)分析．

１ 等效電源的選取依據(jù)

伏安法測量電源電動勢和內(nèi)阻的原理是閉合電路歐姆定律E＝U ＋I(xiàn)r，通過測量電源兩端的電壓（路端電壓）U 、通過電源的電流I，便可得到電源的電動勢E 和內(nèi)阻r，電路圖有兩種，如圖１所示．

圖１所示兩種電路接法的區(qū)別主要是電流表所處的位置不同，甲圖中電流表相對電源外接，同學(xué)們可以想到將電源和電壓表視為等效電源，實驗中實際測量的是等效電源的電動勢和內(nèi)阻，但這么判斷的依據(jù)是什么呢？ 如圖１Ｇ甲所示，電壓表所測量的電源路端電壓U 是準(zhǔn)確的，但電流表測量的電流I 并不是通過電源的電流．考慮到電壓表不是理想電表，電壓表內(nèi)阻存在分流，因此電流表測得的電流值比實際通過電源的電流偏小，從而產(chǎn)生系統(tǒng)誤差．如果將電源和電壓表視為整體，電流表測量通過該整體的電流是準(zhǔn)確的，這樣獲得的路端電壓和電流數(shù)據(jù)都是準(zhǔn)確的，這個整體就是等效電源，實驗測量的就是該等效電源的相關(guān)量．

同理，圖１Ｇ乙中電流表的測量結(jié)果是準(zhǔn)確的，但由于電流表的分壓作用，電壓表的測量值小于電源兩端的電壓，產(chǎn)生系統(tǒng)誤差．如果將電源和電流表視為整體，電壓表測量該整體的路端電壓是準(zhǔn)確的，這樣獲得的路端電壓和電流數(shù)據(jù)都是準(zhǔn)確的，這個整體就是等效電源，實驗測量的就是該等效電源的相關(guān)量．

２ 兩種接法對電源電動勢和內(nèi)阻測量結(jié)果的影響

考慮到實驗測量的是等效電源的電動勢和內(nèi)阻，設(shè)等效電源的電動勢和內(nèi)阻分別是E′和r′，電源的電動勢和內(nèi)阻分別是E 和r，則E′和r′是測量值，E 和r是真實值，它們的區(qū)別體現(xiàn)了兩種接法對電源電動勢和內(nèi)阻測量結(jié)果的影響．

根據(jù)前面的分析，所測的電源電動勢就是電源的開路電壓，圖１Ｇ甲和乙中的等效電源分別如圖３Ｇ甲和乙所示，當(dāng)兩個等效電源處于開路狀態(tài)下，圖３Ｇ甲中的電源仍有電流通過，并未實現(xiàn)真正的開路，電壓表實際測量的是路端電壓，因此有E′＜E;同理，圖３Ｇ乙中的電源沒有電流通過，實現(xiàn)了真正的開路，等效電源兩端電勢差為實際電源電動勢，因此有E′＝E．

在測量等效電源短路電流過程中，需要把等效電源進行短接，圖３Ｇ甲中等效電源短接后，電壓表被短路，流過電源的電流為真實的短路電流，因此圖３Ｇ甲的短路電流測量值是準(zhǔn)確的;同理，圖３Ｇ乙中等效電源短接后，由于電流表存在內(nèi)阻，流過電源的電流比理論上的短路電流小，因此圖３Ｇ乙的短路電流測量結(jié)果偏小．

最后，根據(jù)UＧI 圖像中兩點確定一條直線，結(jié)合開路電壓（電動勢）測量值與真實值的關(guān)系，短路電流測量值與真實值的關(guān)系，便可確定兩種接法對電源電動勢和內(nèi)阻測量結(jié)果的影響．

圖４中的實線代表電源的UＧI 圖像（真實圖像），虛線代表等效電源的UＧI 圖像（測量圖像）．當(dāng)電流表相對電源外接時，由E′＜E 得到電源電動勢的測量值（等效電源的電動勢）小于電源電動勢的真實值，短路電流的測量值等于短路電流的真實值，由此得到圖４Ｇ甲的UＧI 圖像;當(dāng)電流表相對電源內(nèi)接時，由E′＝E 得到電源電動勢的測量值（等效電源的電動勢）等于電源電動勢的真實值，短路電流真實值大于測量值（等效電源的短路電流），由此得到圖４Ｇ乙的UＧI圖像．

綜上，電流表相對電源外接構(gòu)成電壓表與電源并聯(lián)的等效電源，其電動勢測量結(jié)果偏小，即E′＜E，根據(jù)圖像斜率的絕對值代表內(nèi)阻，可知內(nèi)阻測量結(jié)果偏小，即r′＜r;電流表相對電源內(nèi)接構(gòu)成電流表與電源串聯(lián)的等效電源，其電動勢測量結(jié)果準(zhǔn)確，即E′＝E，內(nèi)阻測量結(jié)果偏大，即r′＞r．

例１ （２０２０年北京卷）用圖５所示的甲、乙兩種方法測量某電源的電動勢和內(nèi)電阻（約為１Ω）．其中R 為電阻箱，電流表的內(nèi)電阻約為０．１Ω，電壓表的內(nèi)電阻約為３kΩ．

（１）利用圖５Ｇ甲實驗電路測電源的電動勢E 和內(nèi)電阻r，所測量的實際是圖６中虛線框所示“等效電源”的電動勢E′和內(nèi)電阻r′．若電流表內(nèi)電阻用RA 表示，請你用E、r 和RA 表示出E′、r′，并簡要說明理由____．

（２）某同學(xué)利用圖像分析甲、乙兩種方法中由電表內(nèi)電阻引起的實驗誤差．在下面選項中，實線是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)（圖５Ｇ甲：U ＝IR，圖５Ｇ乙：I＝UR）描點作圖得到的UＧI 圖像;虛線是該電源的路端電壓U 隨電流I 變化的UＧI 圖像（沒有電表內(nèi)電阻影響的理想情況）．

下列選項中，對應(yīng)圖５Ｇ甲電路分析的UＧI 圖像是____;對應(yīng)圖５Ｇ乙電路分析的UＧI 圖像是____．

（３）綜合上述分析，為了減小由電表內(nèi)電阻引起的實驗誤差，本實驗應(yīng)選擇圖５中的____．

（１）等效電源的開路電壓就是電源的電動勢，因此E′＝E;等效電源的等效內(nèi)阻滿足r′＝RA＋r，因此r′＞r．

（２）圖５Ｇ甲電路對應(yīng)的等效電源開路電壓（電動勢測量值）就是電源電動勢，因此E′＝E，等效電源的短路電流小于電源短路電流，因此選C;圖５Ｇ乙對應(yīng)的等效電源開路電壓（電動勢測量值）小于電源電動勢，因此E′＜E，等效電源的短路電流就是電源的短路電流，因此選A．

６ 小結(jié)

伏安法測量電源電動勢和內(nèi)阻的難點是分析導(dǎo)致系統(tǒng)誤差的原因，其關(guān)鍵在于找“等效電源”．對于電流表相對電源外接的情形，電壓表測量結(jié)果準(zhǔn)確而電流表測量結(jié)果偏小，由此電壓表的分流導(dǎo)致了系統(tǒng)誤差，若將電源與電壓表視為等效電源，則電壓表和電流表的測量結(jié)果均準(zhǔn)確，由此實驗測得的伏安圖像是等效電源的UＧI 圖像，等效電源的開路電壓為電源的路端電壓，等效電源的總電阻小于電源內(nèi)阻，由此實驗測得的電源電動勢小于電源真實電動勢，實驗測得的電源內(nèi)阻要小于電源真實內(nèi)阻．

對于電流表相對電源內(nèi)接的情形，電流表測量結(jié)果是準(zhǔn)確的，而電壓表測量結(jié)果偏小，由此電流表的分壓導(dǎo)致了系統(tǒng)誤差，若將電源與電流表視為等效電源，則電壓表和電流表測量結(jié)果均準(zhǔn)確，由此實驗測得的伏安圖像是等效電源的UＧI 圖像，等效電源的開路電壓等于電源的電動勢，等效電源的總電阻大于電源內(nèi)阻，由此實驗測得的電源電動勢等于電源真實電動勢，實驗測得的電源內(nèi)阻大于電源真實內(nèi)阻．

在拓展應(yīng)用方面，同學(xué)們應(yīng)善于使用戴維寧定理將復(fù)雜的二端有源網(wǎng)絡(luò)等效為一個恒壓源，或使用諾頓定理將復(fù)雜的二端有源網(wǎng)絡(luò)等效為一個恒流源，以簡化問題的分析．