聚焦旋轉變化常識,培養高階思維能力
——一堂“相似三角形”習題課的教學反思

浙江工業大學附屬實驗中學(310023) 賴苗

所謂“常識”,一般指從事各項工作以及進行學術研究所需具備的相關領域內的基礎知識.數學中的“常識”一般就是指定義、定理、公理等基礎知識.特別的,由具體數學解題策略或數學思想方法向一般性思維策略、思維品質的過渡,在很大程度上也可被看成“常識”的回歸.

習題教學立足于教材,是例題、作業題、測試題等的歸納整理,是數學知識一個階段性的總結與反思.它區別于新課的教學.習題教學的著力點在于“常識”——學生已掌握的一些基本圖形,基本結論.習題教學的目標是要把具體數學解題策略或數學思想方法向一般性思維策略、特別是思維品質過渡.這就要求我們教師在授課過程中不是簡單的問題的重復或者再現,而是要在“常識”的基礎上再進行問題的重組設計,為學生整體架構知識體系.一堂好的習題教學課,就是要通過“常識”啟發學生的高階思維,提升學生的思維品質,特別是思維的清晰性、深刻性、靈活性和自覺性等.

這是浙教版九年級上第4 章“相似三角形”的一堂習題教學課的設計思路與反思,與大家分享.

1 習題教學要貼近學生的最近發展區

習題教學要選取合適的例題,要貼近學生的最近發展區,要讓學生在課前的作業中有一段時間的思考.中考題的命制往往比較新穎,難度適合,科學性比較強,適合用于習題的教學.好的載體更能切實有效的培養學生的思維能力.

例1(2021·武漢) 問題提出如圖(1),在ΔABC和ΔDEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=AC,EC=DC,點E在ΔABC內部,直線AD與BE交于點F,線段AF,BF,CF之間存在怎樣的數量關系?

問題探究:

(1)先將問題特殊化如圖(2),當點D,F重合時,直接寫出一個等式,表示AF,BF,CF之間的數量關系;

(2)再探究一般情形如圖(1),當點D,F不重合時,證明(1)中的結論仍然成立.

問題拓展:

如圖(3)在ΔABC和ΔDEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=kAC,EC=kDC(k是常數),點E在ΔABC內部,直線AD與BE交于點F.直接寫出一個等式,表示線段AF,BF,CF之間的數量關系.

有道是“大巧不工”,基礎知識的掌握,基本方法的應用最能展現數學的力與美.作為浙教版九年級下冊相似三角形的一堂習題課教學,學生掌握了特殊三角形、全等三角形的一些“常識”.這些“常識”是我們習題教學立足點,是力量的源泉,在這個基礎之上我們教師再啟發學生去自主探究問題、解決問題,才能使學生有美的享受.

分析過程

(1) 在特殊化問題中落實證明的基本方法,回顧幾何證明的“常識”.例如“等角的余角相等”、旋轉全等這些基礎知識都可以理解為“常識”.如圖2,易得:ΔBCEΔACD(SAS),∴DA=EB,∵EF=,∴DB=DA+,即FB=FA+.

(2)由特殊化問題的證明,轉為一般化問題的探索.首先我們思考一般與特殊之間的聯系是什么? 在點E的位置不斷變化的過程中,ΔBCEΔACD(SAS)保持不變,所以有∠EBC=∠DAC,又CB=CA,類比于特殊化情形下的圖形,可以過點C作GC⊥FC交BF于點G,如圖4,證明ΔBCGΔACF(ASA)即可得FB=FA+.

(3)問題拓展,類比遷移: 線段相等——旋轉全等;線段不等——旋轉相似

表1 旋轉全等與旋轉相似的圖形對比

通過我們多層次、多角度的思考和分析問題,我們復習鞏固了基礎知識,落實了解決問題的基本方法;把全等三角形的常識與相似三角形的常識構建成完整的立體的知識網絡;為啟發學生的高階思維,提升學生的思維品質奠定了堅實的基礎.

2 習題教學要培養學生,歸納、總結、反思的能力

例1 中的問題探究的是AF,BF,CF之間的數量關系,顯然F點位置是解決問題的關鍵所在.那么F點的位置是如何確定的呢?如圖2當BC=AC,EC=DC時,可證BF⊥AD,∠AFC=135°等,如圖3當BC=kAC,EC=kDC時,也可證BF⊥AD,∠BFC=∠BAC等,這樣例1 中的問題可以有更簡潔的表述: 如圖3,已知,∠ACB=∠AFB=90°,BC=kAC,線段AF,BF,CF之間存在怎樣的數量關系?

當k=1時FB=FA+.以k=1 為例,我們從旋轉相似(全等)的角度來看,可以有以下六種方法來證明.

表2 證明結論的六種旋轉的方法

相對于具體的解題策略而言,我們應當更加重視一般性思維策略,重視反思、歸納、總結這幾個環節,也就是重視“常識”的回歸.這樣的教學策略不僅能培養學生的思維能力,加強師生互動,提高課堂教學效率,還能促進學生思維品質的發展.

3 習題教學要培養學生的類比、遷移能力

習題教學首先要避免“題海戰術”,不加選擇的做題只會加重學生的負擔,學習效果較差,思維能力不能得到提高.例1 設置了三個小問題,由特殊位置到一般位置,由特殊三角形到一般三角形,層層遞進,培養了學生的類比、遷移能力.在我們選擇其它配套練習的時候也要緊緊圍繞本堂課教學的重點——幾何證明中的旋轉相似(全等)變化,注重“常識的回歸”,培養學生類比、遷移的能力.

例2(2016·廣州) 如圖6,點C為ΔABD外接圓上的一動點(點C不在弧BAD上,且不與點B、D重合)∠ACB=∠ABD=45°

(1)求證:BD是該外接圓的直徑.

(2)連接CD,求證:=BC+CD.

(3) 若ΔABC關于直線AB的對稱圖形為ΔABM,連接DM,試探究DM2,AM2,BM2三者之間滿足的等量關系,并證明你的結論.

問題的背景似乎不同了,本質卻是相同的.事實上由“圓內接四邊形對角互補”我們可以知道圖2、圖3中A、B、C、F中四點共圓.從以下三個方面可以與例1 進行類比.

類比一: 直角頂點的位置不同,頂點在直角三角形外接圓上移動.

類比二:點F、M在一個特殊的位置

類比三: 通過圖形我們可以直觀的看到問題(2)和問題(3)是相同的結構.

數學的解題策略有時候表現為“頓悟”,數學的思維有個體的差異,有“天時、地利、人和”的或然性.但是不管如何,習題教學要幫助學生學會長時間的思考,只有長時間的思考才能得到詳細的展開和清楚的表述,包括必要的檢驗、理解與改進.也只有這樣才有可能真切的感受到數學的力量和美.

4 習題教學要啟發學生的高階思維

高階思維倡導從淺層次信息的獲取與分析轉向深層次的理解與應用,使學生從強迫式的知識技能習得轉向有意義的思維發展,利于深度學習的發生及智慧教育環境的構建.“長時間的思考”不等于“深層次的理解”,啟發學生的高階思維,如分析、綜合、評價和創造才是習題教學的最終目的.

通過例1 和例2 我們已經解答了∠AFC=135°,∠AFC=45°時FA,FB,FC之間的關系.它們之間又有什么聯系呢? 以問題驅動,我們來探究當∠AFC=α(如圖7)時,FA,FB,FC之間的聯系.

如圖8 以點C為旋轉中心,把CF逆時針旋轉90°至CE,連接EB,EF由余弦定理得:FB2=EF2+EB2-2·EF·EB·cos ∠BEF,FB2=2FC2+FA2-2··FA·cos(α+45°),顯然當α=135°時,FB2=2FC2+FA2-·FA·cos 180°,即FB2=,FB=+FA,當α=45°時,FB2=2FC2+FA2-·FA·cos 90°,即FB2=2FC2+FA2.

由此,通過對一般性問題的探究獲得更深刻的認識.從而很好地實現“化多為少”“化繁為簡”,提升學生的思維品質.我們不是在積累自己的題庫,不應該片面的強調經驗的積累,而應該更加強調反思、歸納、總結,只有這樣才有可能形成高階思維.

例3如圖9,在平面內,線段AB長為a,線段AB外有一動點P,且線段PA長為b,又有一點Q滿足PB=QB,∠PBQ=90°,求AQ的最小值.

分析: 如圖10,要求AQ的最小值,先要找到點Q運動的軌跡.點P在以A為圓心b為半徑的圓上,因為PB=QB,∠PBQ=90°,以點B為旋轉中心,把ΔPAB逆時針旋轉90°得ΔQBA′,易證Q點在以A′為圓心b為半徑的圓上.AQ的最小值為|AA′-A′Q|=.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

顯然,我們可以更加開放的去思考當PB=kQB,∠PBQ=α時,如何求解AQ的最小值.

好的數學問題來自于人們的創造,學生對“常識”了解的越深刻,反思的越徹底,就能和命題者創造性的思維同頻共振,對命題者的意圖就能把握的更準確,對問題的解決就越輕松,就更能感受數學的力和美.習題教學的要落實學生的主體地位,既要幫助學生提升數學思維的品質,更要幫助學生通過數學學習逐步的學會的學習,從而真正成為學習的主人.