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——由一道高三復(fù)習(xí)題引發(fā)的教學(xué)思考

江蘇省徐州市第三中學(xué)(221000) 郭滕珞

北京師范大學(xué)鹽城附屬學(xué)校(224007) 郝文華

1 題目描述

在近期的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考中,偶遇一道解析幾何客觀題,因題目較為常規(guī),且較簡單,再加上所帶班級學(xué)生整體基礎(chǔ)較弱,自主學(xué)習(xí)能力不強.因此,筆者在備課時沒有對該題進行細(xì)細(xì)斟酌、深入思考,直接按照常規(guī)思路進行解答.但在授課過程中,在筆者的引導(dǎo)與鼓勵下,班級多名同學(xué)提出別解,精彩紛呈,出乎意料.

題目: 已知雙曲線C:=1,F1,F2分別為左、右焦點,P為曲線C上的動點,若∠F1PF2的平分線與x軸交于點M(1,0),則|OP|為()

本題的解答涉及到雙曲線的定義以及角平分線的性質(zhì),考慮到為焦點三角形,因此,筆者采用余弦定理進行解決:

詳解: 由題意可知a=2,c=3,|F1M|=c+1=4,|F2M|=c-1=2 不妨設(shè)P在右支上,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得,又|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=8,|PF2|=4,在ΔPF1F2中,由余弦定理得cos ∠PF1F2=,進而

2 別解呈現(xiàn)

學(xué)生1: 雙曲線的第二定義

學(xué)生2: 等面積法

學(xué)生3: 向量法

學(xué)生4: 利用極化恒等式

學(xué)生5: 利用中線長公式

學(xué)生6: 利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

學(xué)生7: 利用距離公式(隱形圓)

設(shè)P(x,y),由|PF1|=8,|PF2|=4 得(x+3)2+y2=64,(x-3)2+y2=16,兩式相加得x2+y2=31,即,|PO|=.

3 教學(xué)思考

3.1 精心預(yù)設(shè),精彩生成

日常教學(xué)中,教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”是相互促進、辯證統(tǒng)一的關(guān)系,準(zhǔn)確把握問題的預(yù)設(shè)與生成,是課堂教學(xué)的需要,也是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課程改革的需要.預(yù)設(shè),主要在于教師的精心備課及課堂行動,影響著課堂教學(xué)的氛圍及效果;生成,來源于學(xué)生思維的主動性和開創(chuàng)性,決定著課堂教學(xué)的靈活性及開放度.沒有預(yù)設(shè)的課堂會變得雜亂無章,沒有生成的課堂會過于封閉和呆滯,預(yù)設(shè)與生成應(yīng)相輔相成,融合統(tǒng)一.因此,教師在教學(xué)實踐中,應(yīng)多方面考慮課堂的不確定性,對可能的問題做好應(yīng)對的彈性預(yù)案,不能過于死板,方法過于單一.同時,教師還要不斷提升自己的教學(xué)專業(yè)素養(yǎng),設(shè)置對學(xué)生思維有啟發(fā)作用的問題情境,及時捕捉不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),關(guān)注課堂變化,以提高課堂效率.

3.2 創(chuàng)設(shè)包容、開放的課堂氛圍

教學(xué)中,教師應(yīng)鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生積極思考,不可用自己的思想禁錮學(xué)生的思維,應(yīng)給學(xué)生留有充足的思考與討論的時間,培養(yǎng)學(xué)生主動思考、獨立思考的能力.波利亞的《怎樣解題》中提到:“一個重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一個重大的問題,但在求解任何問題的過程中,也都會有點滴的發(fā)現(xiàn),……并享受到發(fā)現(xiàn)的喜悅”.因此,教師要有耐心,不可急于告訴學(xué)生答案,應(yīng)尊重學(xué)生的不同見解,學(xué)生的新發(fā)現(xiàn)往往正是一個重要問題探索的起點,教師應(yīng)包容學(xué)生的“失誤”,利用師生的“失誤”催生新的教學(xué)生態(tài),當(dāng)然這也是課堂教學(xué)應(yīng)有的原生態(tài).教師應(yīng)營造寬松、愉快的教學(xué)氛圍,給學(xué)生發(fā)言、板演、展示的機會,創(chuàng)建師生的“眾言堂”,避免教師的“一言堂”.

3.3 加強解題指導(dǎo),鼓勵一題多解

對于解題教學(xué),不是單純的解法展示與呈現(xiàn),應(yīng)注重思維習(xí)慣的培養(yǎng)、思想方法的形成、解題策略的總結(jié),不可就題論題、為講題而講題,應(yīng)鼓勵一題多解、解后反思.波利亞的《怎樣解題》中提出,“如果讓學(xué)生獨自面對問題而得不到任何幫助或者幫助的不夠,那么他很可能沒有進步”.解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,加強解題指導(dǎo),應(yīng)把“尋找思路”的思維過程作為解題教學(xué)的核心,以數(shù)學(xué)解題思路及步驟的發(fā)生、發(fā)展過程為載體,在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷解題的思維進展,在此過程中進一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、提高解題能力、提升學(xué)科素養(yǎng).