立足核心素養的大單元教學*
——“反比例函數”單元教學實踐與思考

廣州市鐵一中學(511441) 楊素玲

中央民族大學附屬中學海南陵水分校(572400) 袁志紅

《義務教育數學課程標準(2022 年版)》[1]提出: 改變過于注重以課時為單位的教學設計,推進單元整體教學設計,體現數學知識之間的內在邏輯關系,以及學習內容與核心素養表現的關聯.朱敏彥[2]認為: 大單元教學應當以單元重要概念或者核心內容為中心,針對學生的實際學情對教學內容進行分析、重組和整合,通過多種形式的教學輔助學生理解知識點.筆者認為單元整體教學可為教材中固有的單元,也可以以知識內容為主題的單元,以基本思想方法為主題的單元,以數學核心素養為主線的單元,以知識的邏輯順序為主線的單元等,構建符合知識發展的邏輯規律,符合學生的認知規律,體現數學核心概念和思想方法的結構體系.反比例函數是人教版教材中初三教學重點與中考熱點,故進行大單元整體教學勢在必行.

人教版第26 章反比例函數的安排如下,第1 課時是反比例函數的概念,第2 和3 課時是反比例函數的圖象和性質,最后是實際應用.我以培養核心素養為目標,整合教材內容,從單元整體教學的角度進行教學調整.第1 課時: 反比例函數的概念,發展學生的抽象思維能力.第2 課時: 經歷由圖象探究性質的全過程,提升學生由圖讀取性質的能力.第3 課時: 數形結合方法專題,提升學生解決函數相關問題的能力.第4 課時: 類比已學函數,用聯系的眼光探究反比例函數所特有的幾何意義.第5 和6 課時: 反比例函數的實際問題.本文重點對前4 個課時進行說明.

1 課時1—感悟反比例函數模型源于生活,發展學生的抽象思維

函數是刻畫現實世界變量之間關系的重要數學模型.在函數領域,反比例函數是繼正比例函數、一次函數和二次函數后,初中學習的最后一類函數,起到深化研究函數的方法、思路與路徑的作用.為讓學生感知反比例函數源于生活,再次理解函數的“單值對應”關系,掌握函數建模的思想,開篇我設計兩個活動,發展學生抽象能力、模型觀念和應用意識.

活動1回顧學過哪些函數,并思考研究函數的思路是什么?

研究思路:

通過這個活動,讓學生對研究函數的思路與途徑有整體的認知,為研究反比例函數作好鋪墊.

活動2你見過生活中的哪些量之間成反比例關系? 請分組討論并舉例說明.

學生舉例匯總:

(1)質量問題:m=ρv,當質量m為定值時,密度ρ和體積v成反比例關系;

(2)電流問題:U=IR,當電壓U為定值時,電阻R和電流I成反比例關系;

(3)行程問題:s=vt,當路程s為定值時,速度v和時間t成反比例關系.

在這個活動中,學生通過分組討論,對反比例關系有更深刻的認識,感受現實生活中存在反比例關系,體會學習反比例函數的必要性.

活動3下面實際問題中,變量間的對應關系用怎樣的式子表示? 它們是函數關系嗎? 上述式子有什么共同特征?你可以用一個式子來表達嗎?

(1)某住宅小區要種植一個面積為1000m2的矩形草坪,草坪的長y(單位: m)隨寬x(單位: m)的變化而變化;

(2) 京滬線鐵路全程為1463km,某次列車的平均速度v(單位: km/h)隨此次列車的全程運行時間t(單位: h)的變化而變化;

(3) 給定一個壓力20N,壓強P(單位Pa) 隨受力面積S(單位:) 的變化而變化.

在這個活動中,學生首先將現實生活中問題抽象為解析式,并判斷是否為函數關系,在運動變化中感受“變量”與“常量”,再次體會函數的“單值對應”關系,最后聚焦共性,觀察總結這類函數的共性,得到概念的本質屬性,發展學生的抽象思維能力和模型分析能力.通過這三個活動,學生對反比例函數的概念有較深的理解,為后續學習其它知識作鋪墊,同時強化函數概念研究的路徑,即實際問題情境→抽象對應關系→判斷是否為函數→歸納→反比例函數解析式,最后讓學生感受新知來源于生活,為解決生活中困境而產生,提升數學應用意識.

2 課時2—經歷由圖象探究性質的全過程,提升學生由圖讀取性質的能力

教材對反比例函數的圖象與性質、應用分兩個課時完成,筆者認為圖象和性質及應用是一個整體,學生應該經歷結合圖象探究性質與應用的完整過程,故我設計一個課時完成圖象和性質及應用的教學,再設計一個課時的數形結合專題解決反比例函數相關問題,強化數形結合思想和分類討論思想,發展學生的創新意識.

本課時,我設計讓學生經歷畫函數圖象并結合圖象探究性質及應用的活動.雖然大部分學生對描點法作圖和探究函數性質已有自己的認知,但反比例函數的圖象是兩支斷開的雙曲線,不能在整個取值范圍內描述增減性,且雙曲線無限與坐標軸接近但不相交,使得學生對畫圖象時可能出現的問題、由圖象探究性質的難度預判不夠,導致問題層出不窮.

活動1回顧描點法畫函數圖象的步驟有哪些? 畫出反比例函數的圖象,并思考畫圖時需要注意什么?

我對學生常見的錯誤進行預判,可能有以下四種: (1)用線段將兩支連在一起;(2)曲線穿破坐標軸;(3)曲線沒有進行延伸(4)用折線段連結圖象.為增加圖形的準確性,在圖象特征不明確的前提下,我建議學生列表時多選一些自變量互為相反數的值,在連線環節讓學生觀察圖象是否為直線,圖象與兩坐標軸有否交點.

活動2觀察圖象,你可以得到哪些性質?

我預判學生的常見錯誤是在整個自變量取值范圍內描述增減性,故引導學生觀察每個分支的變化趨勢,并讓學生判斷能否描述在整個自變量取值范圍內的增減性,最后引導學生發現圖象位置與系數之間的關系及對稱性.同時,積極利用反面案例,讓學生訂正錯誤并警醒自己不再犯類似錯誤,逐漸建立正確的認知.

活動3已知函數y=圖象上兩點P(x1,y1)和Q(x2,y2),請先對自變量x1和x2賦值,再比較函數值y1和y2的大小,最后總結此類問題與二次函數有什么不同之處?

學生賦值后匯總: (1)當x1=1,x2=2 時,有y1______y2;(2)當x1=-3,x2=-2 時,有y1______y2;

(3)當x1=-2,x2=3 時,有y1______y2.

給定自變量的值,比較對應函數值的大小時,二次函數與反比例函數有很大區別,其本質在于二次函數是一條連續的軸對稱的拋物線,而反比例函數是兩支斷開的中心對稱的雙曲線.學生賦值時,容易漏掉第(3)種情況,教師需要提醒學生全面考慮問題,注意分類的完整性.最后通過比較二類函數的不同,建立相互關聯的思想方法,關注到各自的特點,豐富學習經驗,完善知識體系.

活動4請給定圖象或解析式,并判斷系數k的取值范圍;反之,由k的值,確定圖象所在象限.

(1)圖象:

k的取值范圍:____,____.

(2)解析式: 函數y=的圖象在第一、三象限,求k的取值范圍;

函數y=的圖象在第二、四象限,求k的取值范圍.

(3)已知函數y=,當k=2 時,圖象在第____和____象限;當k=-2 時,圖象在第____和____象限.

雙曲線所在位置不僅能通過觀察圖象獲得,也可通過讀取解析式中的系數獲得,本活動旨在建立圖象位置與解析式、系數k之間的聯系,“形”、“式”與“數”的結合促進學生認識問題的本質,深度理解性質.

3 課時3—設置開放性活動,再次利用數形結合思想解決實際問題

數學家華羅庚先生說:“數缺形時少直觀,形少數時難入微;數形結合百般好,一朝分家萬事休.”這句話將數形結合的優勢體現得淋漓盡致.盡管探究性質、應用環節已經用過數形結合思想,但為了讓學生高屋建瓴地認識“數”與“形”結合的優勢、系統性的認知所學函數,將思想方法關聯,完善知識體系,特安排一個課時應用數形結合思想解決函數相關問題,發展學生的模型觀念和創新意識.

活動1類比二次函數,借助反比例函數圖象,利用數形結合,你可以解決哪些問題?

學生回答后匯總問題:

(1)比較大小:____;

(2)系數k的范圍:____;

(3)求自變量的取值范圍:____;

(4)求函數值的取值范圍:____;

(5)不等式或方程的解集:____.

通過這個活動,不僅可以幫助學生回顧二次函數常見的研究問題,而且通過類比,可以讓學生縱向遷移到反比例函數上,幫助學生整體把握所要研究的問題,提升學生利用類比思想提出問題的能力.

活動2借助函數的圖象,先給定自變量的取值范圍,再求函數值的取值范圍,并總結此類問題和二次函數有什么不同?

學生回答后概括:

(1)當1＜x＜2 時,得函數值y的范圍為____;

(2)當x＞1 時,得函數值y的范圍為____;

(3)當x＜2 時,得函數值y的范圍為____.

當給定自變量的一個取值范圍時,反比例函數和二次函數有很大不同.二次函數需要注意對稱軸與自變量取值范圍有三種位置關系,而反比例函數需要注意自變量取值范圍可能涉及一個分支或兩個分支,每個分支都要關注到函數值的左、右端點,學生常漏掉某一分支或某個端點,教師需提醒學生對照“形”找函數值的范圍.通過這個活動,學生感受用數形結合處理不同類型的函數時,每類函數需要關注的“點”不同,但殊途同歸,由“形”描述出函數值范圍.

活動3借助函數y=的圖象,先給定函數值的取值范圍,再求自變量的取值范圍,最后總結此類問題和一次函數有什么不同?

學生回答后概括:

(1)當1＜y＜2 時,得自變量x的范圍為____;

(2)當y＜2 時,得自變量x的范圍為____;

(3)當y＞1 時,得自變量x的范圍為____.

本活動是活動2 的延續,此類問題顯然反比例函數和一次函數差異很大.一次函數是一條連續的自左向右上升(或下降)直線,給定函數值y的范圍時僅涉及到直線的一部分,而反比例函數可能涉及到一個分支或兩個分支,學生解決時會有難度,常漏掉某一分支或某個端點,在試錯后引導學生由“形”找到自變量取值范圍.通過這個活動,學生注意到兩類函數的不同,建立起知識間的聯系,將思想方法關聯,提升學生分析問題和解決問題的能力.

活動4請對系數k1,k2和b進行賦值,觀察反比例函數y1=與一次函數y2=k2x+b的圖象位置有何不同,并解決下面的方程與不等式問題.

(1)若y1=y2,則自變量x=____;

(2)若y1＞y2,則自變量x的取值范圍是____;

(3)若y1＜y2,則自變量x的取值范圍是____.

通過讓學生對系數k1,k2和b進行賦值,嘗試畫出雙曲線與直線所有可能的圖象,歸納出直線與兩支相交、與一支相交或無相交,相交時兩線將坐標平面分成四區,四區中常有兩區符合題意,可由“形”寫出自變量取值范圍.實際操作中,學生不能完整地分類,漏掉一個區或某個端點,試錯后引導學生依據一定順序分類,提升學生分析問題和解決問題的能力.

通過上述五個開放性的活動,讓學生對數形結合方法解決反比例函數相關問題有統領性的認識,與其他函數類比的過程中,讓學生認識到函數問題解決方法是一脈相承的,可用同一方法解決相似問題,完善學生知識網絡,強化數形結合和分類討論思想,發展創新意識和模型觀念.

4 課時4—類比已學函數,用聯系的眼光探究k特有的幾何意義

本節課安排在數形結合專題后,學生已對數形結合解決函數問題有完整性認識,以開放性活動為載體,讓學生深刻理解系數k特有幾何意義,提升提出問題、分析問題和解決問題能力,發展推理能力和創新意識.

活動1正比例函數、一次函數、二次函數的系數分別能決定什么?反比例函數的系數k能決定什么?請探究系數k所特有幾何意義是什么?由原點矩形的面積,你能很快求哪些圖形面積?

通過回顧三個函數的系數對圖象的影響,引出系數k對圖象影響的合理性,同時由解析式變形xy=k探究其幾何意義,由原點矩形的面積得到直角三角形及組合圖形的面積,建立知識的完整性.

活動2請你移動點的位置,將上述三角形和矩形進行等積變換,還可以求哪些圖形的面積?

本活動中,學生很容易想到移動點M或N,構造等積變換的三角形,教師幫學生打開思路,引導學生嘗試移動兩個點,構造等積變換的四邊形,甚至可以移動點P和其它點構造面積放大或縮小的三角形與四邊形.移動點時,提醒學生按照一定方式移動,從而對分類討論認識更加深入,學生的思維更加嚴謹,研究問題時更加注重邏輯性.

以上是反比例函數單元教學設計思路,通過實踐發現,學生對反比例函數的概念、圖象與性質、數形結合解決相關問題及k的幾何意義整體認識水平較好,學生思維邏輯性和完整性得到提升,提出問題、分析問題和解決問題能力得到發展.在培養學科素養的目標下,以核心問題為中心,對教材內容進行重組,通過多種形式的教學手段輔助教學,幫助學生建立新舊知識間聯系,可讓學生深度理解所學知識,發展學科核心素養.