大單元教學視角下章復習課的設計與思考*
——以“不等式與不等式組”為例

段振富 ,賴家美

1.福建省福州教育研究院(350005) 2.福建省福州第十六中學(350007)3.福建省福州教育學院附屬中學(350004)

《義務教育數學課程標準(2022 版)》以下簡稱《2022 版課標》明確提出教學要關注整體性和階段性[1].單元整體教學理念成為落實新課標精神的有效渠道,教師對教學目標設置、教學內容選擇、教學過程設計,都進行整體處理與大單元設計,充分關注學生知識生成、思維發展的整個過程.目前在章起始課、章復習課的教學設計方面都有深入的實踐,并逐步形成科學的操作流程,對一線教學有明顯的幫助和指導.

章復習課要梳理知識脈絡,建立知識框架,形成復習體系,使學生從整體視角感受知識發生發展的過程[2].因此章復習課的教學目標設置要既見“樹”又見“林”,避免出現教學目標層次低、維度缺失、知識結構化不足等問題.章復習課的例題選擇要既能鞏固概念又能啟發學生思考,在生生互動、師生互動中培養學生自主建構本章知識體系結構圖,在大單元視角下如何有效地進行章復習課教學,以使大單元教學理念得以完善,進而實現“育樹成林”的目標,是需要深入研究的問題.現以“不等式與不等式組”章復習課(第1 課時)為例,從大單元教學的視角對章復習課的教學設計進行分析.

1 設計思想

“不等式與不等式組”是在一元一次方程、二元一次方程組的內容基礎上的類比與延續.本章既是前面所學相關知識的拓展,也是后繼學習“一次函數”、“二次函數”相關知識,以及“相等關系與不等關系”、“從函數觀點看二元一次方程組、一元二次方程和一元一次不等式”等內容的基礎,具有承上啟下的作用[3].

章復習課教學設計首先要求教師從課程標準的高度去分析教材的主題(單元)大概念,確定主題(單元)的教學目標,然后在單元(主題)大概念的牽引下,分解單元教學目標,有規劃的分配到每個課時的子目標和子任務中,設置問題串和師生的系列活動來達成單元教學目標,使教學從零散的點狀結構走向具有前后關聯性和系統性的大單元教學.基于此,在進行本章復習課教學設計時,嘗試用“函數觀點”去認識解一元一次不等式,從“數”與“形”兩個方面進行動態分析,以大概念為統領,串聯整合知識要點.“不等式與不等式組”章復習課可分為兩個課時.第1 課時以夯實本章基礎知識為主,整體建構知識體系結構圖,從利用不等式的性質解不等式轉換到從函數視角認識解一元一次不等式,以函數與方程與不等式的關系、數形有機結合的思想為主線,感悟知識之間的內在聯系;第2 課時要體現數學來源于生活最后必須回歸到生活中去,解決生活中的最優化問題,以建模思想為主線,深切感受“數學是研究現實世界數量關系和空間形式的一門科學”[4].

2 教學目標

(1)通過繪制思維導圖的方式構建不等式與不等式組單元知識體系,體會等式與不等式之間的聯系,進一步掌握類比的方法,發展遷移能力.

(2)分別通過自主學習、探究學習、合作學習的方式,對不等式(組)求解過程中的易錯點進行糾錯訓練,分析錯因找到解決的辦法,達到單元復習補缺補漏的目的.

(3)在解決方程和不等式問題的過程中,從大單元視角、以大概念為牽引滲透方程與函數思想,感悟轉化與化歸、數形結合等思想,從“掌握數學知識”到“掌握學習數學的方法”,提升學習能力.

3 教學過程

3.1 繪制導圖,構建體系

師生活動將學生繪制的思維導圖以視頻動畫形式展示(見圖1).重點在體現學生學完章節知識之后,能夠由點到線,由線到面的把本章知識進行融會貫通,形成一個有機的整體,最后教師通過投影展示本章知識體系結構圖(見圖2),目的是為給學生提供一種整體把握本章知識的范式.

圖1

圖2

設計意圖在課前讓學生通過回顧與小結自行梳理本章知識,將所學知識融會貫通,繪制成思維導圖,構建本章知識體系的框架結構圖,培養學生的數學邏輯思維與動手能力.

3.2 互助學習,共同進步

環節1 課前檢測,數據分析(見圖3)

圖3

習題1 解下列方程和不等式,并將不等式的解集表示在數軸上.

習題2 解下列不等式組,并將它們的解集分別表示在數軸上.

設計意圖教師通過智學網試卷進行課前檢測,借助智學網教師端數據分析學生對解不等式與不等式組的掌握情況,透過數據可以發現這4 道題每題設置25 分,可以發現習題1 兩個小題均正確的學生比例為77.8%,習題2 兩個小題都做錯的占比44.4%,通過這樣的數據測試,明確復習方向,從而進行針對性的復習.

環節2 作業點評,歸納小結

練習1 以小組為單位,共同點評以下六位同學的作業(見圖4).

圖4

設計意圖從課前檢測練習中針對性的選取6 位同學作業,前5 份作業出錯的步驟分別對應解不等式的五個步驟:去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1,在糾錯的過程中鞏固解不等式的五個步驟,同學6 是解答工整且正確作業,作為優秀范本.通過生生互動糾錯的環節,讓學生更加明晰解題時的易錯點在哪,這種方式較教師講解更加印象深刻.最后請學生總結解不等式(組)的易錯點,強化對知識點再認識,在表達的過程中也有助于學生內化知識.

3.3 小試牛刀,不斷進步

練習2 解下列不等式(組),并將它們的解集表示在數軸上.

設計意圖在知識梳理之后,及時鞏固糾正錯誤,提高學生對不等式求解的熟練程度,以及在求解的過程中加深對不等式性質的理解.

3.4 似曾相識,串點成線

師:前面環節我們是利用不等式的性質來求不等式的解集,實際上我們還可以利用平面直角坐標系從圖形的角度去認識解一元一次不等式.

練習3 已知二元一次方程2x-y=1.

問題1 完成下表,使上下每對x,y的值是方程2x-y=1 的解:

追問1 ①二元一次方程有多少個解? ②二元一次方程的一組解與上面哪些概念會形成對應關系呢?

問題2 若將二元一次方程的解所包含的未知數x的值對應平面直角坐標系中一個點的橫坐標,未知數y的值對應這個點的縱坐標,這樣每一個二元一次方程的解就可以對應平面直角坐標系中的一個點,請將表格中給出的五個解依次轉化為對應點的坐標,在所給的平面直角坐標系中描出這五個點.

設計意圖基于已有知識經驗,學生能夠從“數”的角度理解二元一次方程的解,故該環節的主要教學任務是引導學生將二元一次方程的解與平面直角坐標系內的有序數對建立對應關系,從而在平面直角坐標系中用點的坐標來對應二元一次方程的解,達到“數”與“形”的結合,幫助學生思維從“一維”向“二維”轉化,為下文借助平面直角坐標系認識解一元一次不等式做鋪墊.

問題3 觀察如圖5 這五個點的位置,你發現了什么?

圖5

追問2 這五個點都在同一條直線上,請思考,這條直線上其它點的坐標是否對應二元一次方程的一組解呢?

追問3 直線外的其它點的坐標呢? 會對應二元一次方程的一組解嗎?

追問4 這條直線上的所有點都對應二元一次方程2x-y=1 的解,那是否可以不解方程,從圖像直接得到二元一次方程的解?

設計意圖問題3 和追問2、追問3 是引導學生將二元一次方程的解與平面直角坐標系內點的坐標建立聯系,從而得到結論:“直線上的所有點的坐標都唯一對應二元一次方程的一組解;反之,二元一次方程的所有解對應的點的坐標,形成的圖象都是一條直線”,使學生由“數”到“形”地初步感知一次函數.追問4 則是前面環節的逆向思維,讓學生經歷由“形”到“數”的抽象,通過直線上的點對應二元一次方程的解.通過“數”與“形”的相互轉換加深學生對二元一次方程的解的理解,也為接下來借助圖像得到不等式的解集埋下伏筆.

問題4 ①在平面直角坐標系中如何表示y=3? ②直線y=3 的上方部分表示什么? 直線y=3 下方部分又表示什么?

追問4 了解了y=3,y＞3,y＜3,那么x＞3 表示的部分在哪里? 你還可以想到什么?

設計意圖將學生視線從個體(點)引向整體(線),這對“解集的概念”生成起到了直觀引導作用.通過問題層層剖解,學生探究過程中認知從“解的概念”向“解集的概念”生長.教師在講解過程中,借助希沃白板動態演示,加以色塊區分展示,更有助于學生理解(見圖6).

圖6

問題5 對于二元一次方程2x-y=1,用含x的式子表示y得到:____.

設計意圖用函數理解方程和不等式是數學的基本思想,雖然初一的學生還未接觸函數,但通過問題引領學生從“數”的角度理解函數就是二元一次方程轉換形式而來的,幫助學生建立新舊知識間的橋梁,感受數學知識間的內在聯系.

問題6 根據問題5,對于方程2x-1=3,即y____,由圖象得到方程的解為____.對于不等式2x-1＞3,即y____,由圖象得到不等式的解集為____.對于不等式2x-1＜3,即y____,由圖象得到不等式的解集為____.

設計意圖前幾個問題的鋪墊,讓學生從方法無序走向有序,逐步感受數形結合思想,學會不解方程、不解不等式,借助平面直角坐標系由“形”找“數”,得到方程的解、不等式的解集,從而達到章復習課的深度學習.

3.5 感悟聯系,知識構建

問題7 通過本節課的學習,你能夠談談函數、代數式、方程、不等式之間的內在聯系嗎?

師:通過這節課的學習,同學們體驗了函數與代數式、方程、不等式之間的內在聯系,感悟到數學知識不是孤立的個體,它們之間是相互聯系相互轉化的.對此,我們用一個結構圖來表示本章的知識之間的內在聯系(如圖7).

圖7

設計意圖通過板書設計讓學生能更加直觀的把新、舊知識統一起來,尋找到函數、方程、不等式等知識的內在聯系,將知識從點狀(散亂型)向網狀(緊密型)進行整合,使得學生通過章復習課的學習后,對知識的再認識不僅僅是在原來維度上,而是得到了系統的提升,有助于發展學生從整體上感悟數學的內在聯系,領悟數學思想方法.[3]

4 教學思考

4.1 目標落地,教學過程基于目標而設置

章復習課要落實全章的教學目標,要立足于整體,從大單元視角圍繞知識的系統性與結構性,把握課堂主線,設置有效問題,引導學生自主構建知識體系.對于章復習課的教學,首先要明確本章學了什么? 如何教會技能? 明確教學目標,教學中每個環節都圍繞著目標的落實展開,本節課設計的三個教學活動:思維導圖視頻展示、學習小組互動糾錯、似曾相識串點成線分別對應三個教學目標,通過活動讓教學目標落地.

4.2 圍繞主體,教學過程基于學情而生成

在章復習課的教學中,教師要“以學生發展為本”,關注“哪些才是本章學習存在的問題”.在授課前對教學班級進行的課前檢測結果(見圖2)發現學生對不等式組的求解掌握不理想.基于學生實際情況,不等式章復習課教學的第一個重點是強化不等式有關性質的一般概念,對于不等式與方程而言,它們的組成要素可以理解為:左邊、右邊及關系符號三部分,它們的性質就是在對左、右兩邊進行加減乘除運算中表現出來的不變的規律.

4.3 關注思維,教學過程基于素養而拓展

在落實了不等式的解法之后,再與方程組建立聯系,通過圖像尋找不等式的區域問題,以基礎知識為載體指向學生思維能力的培養.教學過程中通過演示幾何畫板,引導學生建立“二元一次方程的一組解”與“平面直角坐標系內的一個點——唯一對應的有序實數對(即點的坐標)”之間的對應關系,幫助學生建立“數”與“形”相互轉換的思維,讓學生能夠由“數”到“形”去重新認識方程與不等式,再從“形”到“數”去求解方程與不等式.

4.4 注重聯系,教學過程基于系統而設計

章復習課的教學要注重知識發生發展的過程,把握知識“生長點”與“延伸點”,合理搭建腳手架,幫助學生提升思維,積累有效學習經驗.而函數是用來刻畫和研究現實世界數量關系的重要數學模型,在八年級“一次函數”的學習中,大部分學生能做到單獨理解函數解析式“數”的特征或者函數圖像“形”的特征,卻難以建立一次函數“數”與“形”的聯系,這種將函數“數”與“形”割裂開來會導致后續學習其他函數,學生的識圖、用圖能力差,數形結合意識薄弱.因此本節課教學的第二個重點是從大單元視角引導學生用函數的觀點再認識解不等式與解方程,通過活動三似曾相似串點成線,引導學生從“數”到“形”去認識方程與不等式,再從“形”到“數”去求解方程與不等式.借助問題串層層遞進,啟發學生思考方程、不等式、函數三者之間的內在關系,感悟其中蘊含的數學思想方法,進而達到知識結構化.

總之,本節課的教學旨在引導學生用聯系、發展的眼光去看待函數、方程、不等式這三者之間的聯系,充分讓學生體驗這個學習的過程,感悟數學知識的內在聯系,進而使學生對用函數與方程思想解決數學問題產生探究興趣,也為后續學習一次函數打下良好基礎.