一次函數與三角形面積問題探析*

西安交通大學附屬中學(710048) 曹艷

1 問題初探

已知一次函數y=2x+4 的圖象如圖1 所示.

(1)求圖象與坐標軸所圍成的ΔAOB的面積;

(2) 若點P是直線y=2x+4 上一個動點,且滿足試確定點P的坐標.

解:(1)由y=2x+4 易得A(-2,0)、B(0,4),因 此ΔAOB面積為4.

(2) 設點P(xp,yp),SΔAOP=× |yp|=2,由OA=2 可得|yp|=2,故yp=±2.點P在直線y=2x+4上,故P(-1,2)或者P′(-3,-2),如圖2 所示.

通過上面問題的分析,一次函數與三角形面積問題的解題思路大致兩種:①由函數解析數求得點的坐標,從而確定三角形底和高的長度,求出三角形面積;②根據三角形的面積列出底和高的關系,由線段長度分類討論得到點的坐標,最后確定函數解析式.這兩個思路是互逆的,一定要注意數形結合與分類討論.

2 自主探究

已知一次函數y=2x+4 的圖象如圖1 所示.

探究1 若點P是x軸上一個動點,且滿足SΔBOP=試確定點P的坐標.

探究2 若點P坐標為(-2,m),且滿足SΔABP=試確定直線BP的解析式.

探究1,如圖3,此時點P的坐標為(-1,0)或者(1,0),不能漏解哦!

探究2,確定哪條邊為三角形的底是解決這個問題的關鍵.由于AP恰好與y軸平行,我們選AP當底能很大程度上減少題目的計算量.已知點P(-2,m),得×2=2,AP=2,點P的坐標為(-2,2)或(-2,-2),故直線BP的解析式為y=x+4或y=3x+4,如圖4.

可以看到,ΔABP是三條直線圍成的三角形.下面我們進一步探究兩條直線與坐標軸圍成的三角形面積,以及三條直線所圍成的三角形面積問題.

3 深入探究

已知一次函數y=2x+4 的圖象如圖5 所示.若直線l經過點C(0,1),且與該圖象交于點D(-1,m),與x軸交于點E.

(1)求直線CD的解析式和點E的坐標;(2)圖中都有哪些三角形? 你能求出它們的面積嗎? (3)作直線AC,如圖6,你能求出ΔACD的面積嗎?

(1) 很簡單,CD的解析式為y=-x+1,E(1,0);在(2) 中,三角形有ΔAOB,ΔCOE,ΔADE,ΔBDC,其中ΔAOB與ΔCOE為一條直線與坐標軸圍成的三角形,面積分別為4和;ΔADE為直線AB、CD與x軸圍成的三角形,ΔBDC為直線AB、CD與y軸圍成的三角形,面積分別為3和.這四個三角形面積的求解和前面方法是一樣的.

(3) 比前兩個問題要復雜一些,由于ΔACD的三條邊都不與坐標軸平行,所以它的底和高不好確定,此時該怎么辦呢? 我們先把已知點的坐標羅列出來:A(-2,0),B(0,4),C(0,1),D(-1,2),E(1,0),既然不能直接求解,那我們是否可以考慮用間接的方法求解呢? 一起來看看吧.

方法①“補”

SΔACD=SΔADE-SΔACE=3 -或者SΔACD=SΔAOB-SΔBDC-SΔAOC=4-,我們運用(2)的結果可快速求解.更一般地,我們還可以運用坐標系的特征進行求解.

如圖7,SΔACD=S梯形∠AOMD-SΔAOC-SΔCDM=3 -1 -;或者如圖8,SΔACD=S正方形AOMN-SΔAOC-SΔCDM-SΔADN=4-1-.圖8 的方法就是平面直角坐標系中已知三角形三個頂點坐標求面積的問題,在具體的問題中我們可以擇優選用.除此以外我們還可以分割三角形進行求解.

方法②“割”

將ΔACD水平切割(如圖9)或者豎直切割((如圖10),分成兩個三角形,分割后的三角形有一條邊與坐標軸平行.我們可以由直線AB和直線AC的解析式求得G(-1,).故SΔACD=SΔDFC+SΔAFC=如圖9;或者SΔACD=SΔADG+SΔCDG=如圖10.圖9 中,CF就是我們常說的水平寬,A與D縱坐標的差的絕對值為鉛垂高,因此三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

除了上面的割補,還有別的方法嗎? 根據平行線間距離處處相等,我們還可以將ΔACD進行等積轉化.

方法③等積轉化

如圖11,過點C作CF//AB交x軸 于點F,連接DF,ΔACD和ΔAFD同底等高.可求得直線CF:y=2x+1,故,0),SΔACD=SΔAFD=

這個方法運用一次函數圖象平行時k相等的結論求出直線CF的解析式,將ΔACD進行等積轉化,計算簡捷.

我們發現三角形面積的求法多種多樣! 其實,知道了三角形三個頂點的坐標,等價于知道了三角形的三邊長.除了上面的方法我們還可以利用海倫——秦九韶公式:(其中a,b,c為三角形的三邊長進行求解,這里不再展開.

4 總結提升

通過探究我們發現,求解三角形的面積,分為直接求解和間接求解.一次函數背景下的三角形面積問題,如果是一條直線與坐標軸圍成的三角形,兩條直線與坐標軸圍成的三角形,以及三條直線圍成的三角形且其中一條邊與坐標軸平行,我們都可以直接進行求解;如果三角形三條邊都不與坐標軸平行,我們可以用“補”“割”“等積轉化”等間接方法轉化為第一種情形來求解.其本質和關鍵是利用一次函數相關性質確定三角形的底和高,進而求解三角形的面積.除了三角形,四邊形、五邊形等都可以用這個方法進行求解.但是在眾多的方法中要恰當選取最優方法,提高解決問題的效率.

反過來,已知三角形面積求點的坐標或者直線解析式的時候,往往需要數形結合并分類討論,此時一定不能漏解.