基于錯題的初中數學復習課深度學習教學策略*
——以一道錯題的教學為例

廣東省廣州市增城區新塘鎮沙埔中學(511300) 曹雪勇

錯題是由于學生對知識點掌握不充分或解題方法掌握不深入等因素而產生的,錯題是非常好的學習資源.在初中數學復習課中運用錯題可以實現教師的深度教學和學生的深度學習,促進學生學習能力和學習質量的提升.下面就畢業班的一次數學綜合測試中普遍出錯的一道題為例,談談基于錯題的初中數學復習課深度學習教學策略.

1 原題呈現與分析

在平面直角坐標系xOy中,矩形ABCO的頂點A在函數的圖象上,點C在函數的圖象上,若點B的縱坐標為3,則符合條件的所有點A的縱坐標之和為( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

分析本題普遍出錯的原因主要有兩點:一是考查的知識點比較多,包括了矩形的性質、三角形全等的判定和性質、三角形相似的判定和性質、反比例函數的幾何意義和性質等知識點.二是題目沒圖增加了解題的難度,解題關鍵和突破口在于學生能否根據題意準確畫出圖形和表示出點的坐標,并結合圖形靈活運用所涉及到的知識點逐步推進解題.說明學生對基礎知識掌握不夠,更缺乏靈活運用知識的能力,特別是對多知識點綜合運用能力十分差,教學中必須分解題目所用到的知識,并以單一知識點題目的形式讓學生加以鞏固,為講解本錯題做好知識儲備.而在具體講解本錯題的時候也應采取分解、逐層推進的方式進行,切實打通學生的思維瓶頸.

2 教學設計與實施

第一環節:前置學習,活力導入——知識儲備

圖1

2.如圖2,點O是直線l上的一個點,作射線OM和ON,使∠MON=90°,在OM上任取一點A,作AE⊥l于點E,在ON上任取一點C,作CF⊥l于點F.求證:ΔAOE～ΔOCF.

圖2

3.請自備與上述兩題知識點相關或類似的題目各1 題,并解題.

設計意圖采取以題目為載體的方式幫助學生回顧反比例函數的幾何意義和三角形相似的判定,并通過解題掌握知識的運用,為學生建立數學建模的思想,為學生做好知識的儲備和方法指引,為后面的學習作鋪墊和打下知識基礎.

教學實施以前置作業的方式讓學生在上課前一天晚上完成,落實先學后教,讓學生課前做好知識儲備.早上學生回校后將前置作業交給教師檢查分析學生的完成情況,落實以學定教.課堂上以提問和展示的方式快速完成.

第1 題:由學生回答并對所用到的知識點作簡要說明.隨后,教師呈現兩道學生自備的題目讓學生迅速完成,以鞏固和深化反比例函數的幾何意義:

自備題1 如圖3,在函數的圖象上任意取一點A,作AE⊥x軸于點E,作AF⊥y軸于點F,則四邊形AEOF的面積是____.

圖3

自備題2 如圖4,直線l和雙曲線交于A,B兩點,P是線段AB上的點(不與A,B重合),過點A,B,P分別向x軸作垂線,垂足分別是C,D,E,連接OA,OB,OP,設ΔAOC面積是S1,ΔBOD面積是S2,ΔPOE面積是S3,則( ).

圖4

A.S1＜S2＜S3B.S1＞S2＞S3

C.S1=S2＞S3D.S1=S2＜S3

第2 題:學生上臺展示并分析解題過程和思路.教師則運用幾何畫板動態演示,讓學生加深理解,鞏固等量代換的思想及“一線三垂直”模型的應用.同時,引導學生回顧相似三角形的所有判定方法,并延伸對全等三角形的判定進行回顧.隨后展示了學生自備的具有本題特征、知識點的題目的圖形(如圖5-7),讓學生找出圖中相似的三角形并簡要說明理由.

圖5

圖6

圖7

第二環節:精講析疑,活力突破——錯題突破

在平面直角坐標系xOy中,矩形ABCO的頂點A在函數的圖象上,點C在函數的圖象上,若點B的縱坐標為3,則符合條件的所有點A的縱坐標之和為( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

設計意圖在學生已有前置學習并具有知識儲備的基礎上對本錯題進行精講析疑.通過分解題目、小步子推進的方式引導學生逐步突破題目的解答,并深化解題思想和方法.

教學實施按照構圖、破題、點睛三步走的方式,師生共同完成精講析疑的過程,實現錯題突破.具體過程簡述如下:

構圖讓學生各自審題并根據理解構造出相應的圖形,完成后各小組展開交流,教師則落實巡查指導,為學生提供及時有效的指導,最終構造出正確的圖形(如圖8).

圖8

破題讓學生結合前置學習所儲備的知識,在教師的引導下對圖形展開研究,實現破題.過程如下(解題過程略):

1.構造相似的三角形(如圖9),證明ΔAEO～ΔODC;

圖9

2.運用反比例函數k的幾何意義及相似三角形的面積之比等于相似比的平方的知識算出相似比;

3.結合點A所在的反比例函數設出點A的坐標,進而運用相似比及結合點C所在的反比例函數得出點C的坐標;

4.構造全等的三角形,證明ΔBCG～=ΔAOE(如圖10);

圖10

5.構造方程并最終破題.

點睛解決本題的前提是結合題意構造出圖形;解決本題的關鍵是熟練掌握矩形的性質、三角形相似和全等的判定和性質、反比例函數k 的幾何意義和性質;解決本題還需運用方程思想.

第三環節:互動交流,活力展示——真題演練

在平面直角坐標系xOy中,矩形OABC的點A在函數的圖象上,點C在函數的圖象上,若點B的橫坐標為則點A的坐標為( )( )本題是2021 年廣州市中考數學試題的第10 題).

設計意圖及時考查和反饋學生的學習情況,訓練學生遷移運用數學知識和解題方法的能力,提升學生的數學素養.讓學生進行真題演練,讓學生更深入了解中考,并從突破本題的過程中增強學習的信心.

教學實施采取小組互動交流的方式展開構圖、破題的探究,教師參與各小組的討論并根據實際進行評析或給予指導、鼓勵,讓學習真實發生.最后由小組代表進行展示,展示多個小組的分析思路和解題方法,激發學生的思維活力.

第四環節:拓展提升,活力升華——走向深度

在平面直角坐標系xOy中,矩形ABCO的頂點A在函數的圖象上,點C在函數的圖象上.

1.連接AC(如圖11),請判斷sin ∠ACO是否為定值,如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由.

圖11

圖12 (備用圖)

2.保持矩形ABCO的頂點A在函數的圖象上,點C在函數的圖象上且坐標為(2,2),點O在x軸的正半軸上移動,請判斷矩形ABCO能否是正方形,如果能,請求出此時點O的坐標;如果不能,請說明理由.

設計意圖以題目變式的方式對學習內容進行拓展和深化,激活學生的思維,強化知識、方法的推移,幫助學生走向深度學習,增強綜合知識的應用能力,培養數學素養.

教學實施學生討論后,師生共同分析完成題目的解答.教學中注重教師的引導和學生的思考分析.

針對學生的討論情況,教師就兩小題分別作如下的引導:

2.由前面的學習,我們可構得如圖13 的圖形,若矩形ABCO為正方形,則ΔAEO和ΔODC有何關系呢? 如何結合函數的性質設點和建立等量關系求解呢?

圖13

3 教學反思

3.1 重視錯題,發揮其優質學習資源的作用

復習課的其中一個目的是查漏補缺,而錯題正是“漏”和“缺”的反映,透過學生的錯題可以及時有效地了解學生知識點的掌握情況以及解題方法法上存在的問題.重視錯題,以錯題為教學藍本開展課堂教學,將能把錯題轉化成優質的學習資源,幫助學生回顧和鞏固知識,深化對知識的理解和運用,達到溫故而知新的效果,實現知識的內化與生成.教師應不失時機地針對學生普遍出錯的題目實施教學,為學生的學習打通瓶頸、掃除障礙.我們應引導學生形成收集和整理錯題本的習慣,讓同學們手中均擁有一套極具個性化、針對性強的優質學習資源,促進學習的提升.

3.2 先學后教,發揮學生的學習主動性

“先學后教”既是教學策略,更是學生學習提升的手段.對于學生,是學生主動學習的主要體現,他們課前在教師所設計的學習內容的引領下開展先學,做好知識的儲備或明確課堂上待解決的問題,使課堂的學習更有針對性.對于教師,將能實現“以學定教”,使教學內容、教學方法更具針對性.對于復習過程中學生普遍出現的錯題,教師應結合所用到的知識點或方法設計題目讓學生先學,做足知識、方法的儲備,從而讓學生帶著知識和問題參與課堂學習,令學習更有針對性和實效性.而教師則再結合學生先學的情況優化調整課堂教學,進一步提升教學的針對性,更能幫助學生鞏固和內化知識,掌握和生成解題方法和策略.

3.3 逐層深化,教師深度教學引領學生深度學習

復習課不能僅僅停留在知識的簡單回顧,更多的應該是知識和方法的內化和生成,教師在設計教學的時候應著眼于逐層深化,通過教師的深度教學引領學生深度學習.特別是對于復習中普遍出錯的題目,更應采取以退為進的方法,分解原題的知識點并設計出相應的題目讓學生先學,做好知識、方法的儲備,教學中再通過有效的途徑引導學生對知識點、方法進行整合并解決原題,接著通過題目的變式等方式對所用到的知識、方法進行深化,引導學生再學習深化、再研究提升,促進學生走向深度學習,讓學生的學習真實發生,真正發展學生的數學核心素養.