四邊不同支承條件下矩形板的結構計算

楊成永 ，許清滔 ，馬文輝 ，韓薛果

（1.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；2.安徽省交通規劃設計研究總院股份有限公司，安徽 合肥 230088；3.北京城建軌道交通建設工程有限公司，北京 100176）

矩形薄板的結構計算可采用疊加法［1］、改進傅立葉級數法［2］、辛幾何法［3］、積分變換法［4］等方法進行處理.例如：許琪樓等［5］采用疊加原理，給出了四邊支承矩形板的統一求解方法.楊端生等［6］提出了板彎曲變形問題的一般解析法，即采用雙正弦級數、單正弦級數、代數多項式作為撓度函數，根據四個邊和四個角的邊界條件確定待定系數.楊成永等［7］采用改進傅立葉級數法研究了局部均布荷載作用下四邊支承矩形板的彎曲變形問題.鐘陽等［8］利用辛幾何法導出了四邊固支矩形板的解析表達式.張景輝［9］通過積分變換解法求解了兩鄰邊自由另兩邊固支或簡支薄板，并將傅立葉積分變換法與疊加原理相結合，得到了點支承邊界條件下的解析解.陳英杰等［10］采用混合能量原理得到了靜水壓力作用下三邊簡支一邊固定、兩鄰邊固定兩鄰邊簡支、三邊固定一邊簡支矩形板的撓曲面方程.李狀飛等［11］討論了在線荷載作用下三邊固支一邊自由矩形板的彎曲變形問題，以線荷載為界把板分成兩個區域，分區域采用相同形式的撓度函數.

但以往的研究成果一般只是針對具體的一種或幾種邊界條件給出了問題的解，沒有提供板邊在簡支、固支和自由任意組合條件下的計算公式，應用上有所不便.此外，在集中荷載作用處，存在彎矩計算不收斂的問題，需要進行處理.再者，對于單向板與雙向板區分界限的問題，目前的研究結果僅限于四邊支承板［12-13］，且在研究方法上，由于缺乏任意邊界組合情況下的解析計算公式，主要是采用有限元數值方法.

本文采用改進傅立葉級數法，給出了板邊簡支、固支和自由任意組合情況下待定系數的統一計算公式；根據撓度的計算值采用差分方法計算了集中荷載作用點處的彎矩，確定差分步長的取值；最后利用本文公式通過計算提出不同支承條件下雙向板簡化為單向板需要達到的長寬比.

1 板彎曲變形的基本方程

矩形板承受荷載的類型和參數如圖1 所示.坐標系設定為以板左下角點為原點，x軸向右為正，y軸向上為正.

圖1 受荷載作用的矩形板Fig.1 A rectangular plate under loads

圖中：a、b為板的長度和寬度，m；h為板的厚度，m；q0為滿布均布荷載，kPa；q1為局部均布荷載，kPa；c、d分別為局部均布荷載的分布長度和寬度，m；x0、y0為局部均布荷載中心的坐標，m；q2為線荷載，kN∕m；e為線荷載沿y方向的長度，m；x1、y1為線荷載中心的坐標，m；p為集中荷載，kN；xp、yp為集中荷載作用點的坐標，m.

板彎曲變形的基本微分方程為［1］：

式中：?2為拉普拉斯算子為板的抗彎剛度為板的彈性模量，kPa；v為板的泊松比.

公式（1）中右端荷載q（x，y）的傅立葉級數展開為［14］：

2 撓度、彎矩和剪力計算

對于滿布均布荷載，公式（2）中的傅立葉系數qmn為：

對板邊為簡支、固支和自由三種不同支承條件下的矩形板，有帶補充項的撓度表達式為［2］

式中：w00、wa0、w0b、wab分別為矩形板在鄰邊自由時左下、右下、左上、右上角點的沉降，m.

公式（8）～（10）中的An、Bn、Cm、Dm分別為板左邊（x=0 邊）、右邊（x=a邊）、下邊（y=0 邊）、上邊（y=b邊）處撓度正弦級數的待定系數；相應地，En、Fn、Gm、Hm分別為板左邊、右邊、下邊和上邊處法向彎矩正弦級數的待定系數.

板四邊上撓度正弦級數表達式為：

彎矩正弦級數表達式為：

利用公式（7）～（9），有任意點處x方向的彎矩為：

3 待定系數的確定

公式（8）～（18）中待定系數An、Bn、Cm、Dm及En、Fn、Gm、Hm需要根據板邊的支承條件確定.對簡支或固支邊，由公式（11）知，撓度待定系數An、Bn、Cm、Dm為0.對簡支或自由邊，由公式（12）知，彎矩待定系數En、Fn、Gm、Hm為0.

4 正確性驗證計算

4.1 計算步驟

利用前述公式進行板結構計算的步驟為：

1）獲取板的計算參數.

2）確定板左下、右下、左上、右上角點的沉降（w00、wa0、w0b、wab）：若某角點無沉降或自由沉降時，取0；有沉降時，取設定的沉降值.

3）設定采用的傅立葉級數的項數，一般不小于40項［7］.

4）根據板的邊界條件組成求解待定系數的方程組：

板左邊：為簡支邊時，取An=En=0；為固支邊時，選擇公式（19）組入方程組；為自由邊時，選擇公式（23）組入方程組.

板右邊：為簡支邊時，取Bn=Fn=0；為固支邊時，選擇公式（20）組入方程組；為自由邊時，選擇公式（24）組入方程組.

板下邊：為簡支邊時，取Cn=Gn=0；為固支邊時，選擇公式（21）組入方程組；為自由邊時，選擇公式（25）組入方程組.

板上邊：為簡支邊時，取Dn=Hn=0；為固支邊時，選擇公式（22）組入方程組；為自由邊時，選擇公式（26）組入方程組.

5）求解方程組，得到待定系數An、Bn、Cm、Dm以及E

n、Fn、Gm、Hm.

6）按公式（10）計算板撓度的傅立葉系數wij.

7）如果有自由沉降的角點，計算角點處單位面積的彎曲變形能u：

當彎曲變形能u達到極小值，轉步驟8）；否則設定新的角點沉降值，轉步驟4）.

8）按公式（7）計算撓度w，按公式（13）～（16）分別計算彎矩Mx、My和剪力Vx、Vy.

后面的計算中，計算程序用C 語言編寫，采用克勞特（Crout）分解法進行線性方程組的求解，彎曲變形能極小值的搜索采用拉格朗日一元三點等距插值法［15］.級數解計算中級數項數取80 項.有限元數值解采用ADINA軟件三角形板單元0.1 m網格進行.

4.2 驗證計算結果與對比

選擇4 種支承條件板進行對比計算.取板尺寸a×b=4 m×4 m，厚h=0.1 m；板彈性模量E=3×107kPa，滿布均布荷載q=25 kPa.

對一邊固支三邊自由板，在兩個自由邊相交的角點自由沉降時，可視為懸臂梁.為與梁對比，取泊松比v=0，計算結果列于表1.

表1 與懸臂梁計算結果對比Tab.1 Comparison of computed results with that of a cantilever

由表1 看出，兩種方法的結果一致.撓度的偏差為0.676%，彎矩的偏差為1.317%.

4.2.2 兩鄰邊簡支兩鄰邊自由板及四邊自由板

文獻［16］中有兩鄰邊簡支兩鄰邊自由板及四邊自由板（在自由邊相交的角點均有支承）的計算用表.為便于與文獻［16］對比，取泊松比v=0.3，計算結果列于表2.

表2 與文獻［16］計算結果對比Tab.2 Comparison of computed results with that in reference［16］

由表2 看出，兩種方法的結果也是一致的.最大偏差出現在兩鄰邊簡支兩鄰邊自由板的自由邊中點撓度，為0.429%.

4.2.3 兩鄰邊固支兩鄰邊自由板

對兩鄰邊固支兩鄰邊自由板在自由邊相交的角點自由沉降情況下進行對比計算.取泊松比v=0.3，計算結果列于表3.

1)對稱小四極法：在露頭、探槽或坑道的巖礦石表面上，采用對稱小四極裝置測定自然條件下的電阻率和極化率，供電電極和測量電極要采用不極化電極。

表3 與有限元計算結果對比Tab.3 Comparison of computed results with that by FEM

由表3 看出，兩種方法的結果基本是一致的.最大偏差出現在自由邊中點彎矩，為3.777%；其次是固支邊中點彎矩，為3.435%；其余值的偏差則在1.63%以下.由此可見，本文級數解與解析解、靜力計算手冊及有限元數值解均符合較好.

5 集中荷載作用點的彎矩計算

眾所周知，在集中荷載情況下，于集中荷載作用處級數解的撓度收斂而彎矩不收斂.對于這一彎矩不收斂的問題，我們提出可利用集中荷載作用點及鄰近點的撓度計算值采用差分方法計算來解決.

為保證結果的正確性，差分步長可盡量選得小一些.但鑒于計算機截斷誤差的限制，差分步長又不能取得過小.我們采用不同的差分步長，與有限元結果對比來確定一個合理的差分步長.選擇4 種支承條件板，取板尺寸4 m×4 m，厚0.1 m，板彈性模量3×107kPa，泊松比0.3，集中荷載25 kN，作用于板中心.

經采用2～20 mm 步長按中心差分公式計算，差分步長的合適取值為10 mm.采用該差分步長的計算結果列于表4.由表4 可知，兩種方法的偏差較小，說明利用撓度計算集中荷載作用點處的彎矩是簡便可行的.

表4 受集中荷載作用板計算結果對比Tab.4 Comparison of computed results for a plate under a concentrated load

6 雙向板簡化為單向板分析

利用本文方法可方便地計算各種支承條件下，隨板長寬比的變化，雙向板與單向板（即梁）內力的差異.

取矩形板短邊方向的長度4 m，長邊方向的長度根據長寬比的變化而改變，板厚0.1 m；板彈性模量3×107kPa，為與梁對比取泊松比0；承受滿布均布荷載25 kPa.

計算17 種支承條件下，板與梁彎矩相差要達到5%及1%時的長寬比，結果列于表5.

表5 長寬比計算結果Tab.5 Computed results of aspect ratio

根據表5可知：

1）對邊支承對邊自由板（算例4、5、6）：可視作單向板，無長寬比的要求.

2）四邊支承板（算例1、2、3、7、8、13）：若要簡化為兩端固支、一端簡支一端固支、兩端簡支單向板，長寬比要分別達到2∶1、2.5∶1、4.5∶1.

3）三邊支承一邊自由板（算例9、10、11、12、14、15）：若要簡化為兩端固支、一端簡支一端固支、兩端簡支單向板，（按自由邊處的內力來說）長寬比要分別達到1∶1、1∶1、2∶1；若要簡化為懸臂單向板，長寬比要達到6∶1.

4）兩鄰邊支承兩鄰邊自由板（算例16、17）：若要簡化為懸臂單向板，支承邊為固支時，（按自由邊處的內力來說）長寬比要達到2∶1；支承邊為一邊簡支一邊固支時，長寬比要達到1.5∶1.

順便提及，考慮表1 的計算結果，一邊固支三邊自由板且無長寬比的要求，可視為單向板.

7 結論

采用帶補充項的撓度函數，解決四邊不同支承條件下矩形板的彎曲變形問題.給出不同荷載作用下簡支邊、固支邊和自由邊任意組合情況下的統一計算公式.

計算表明，利用撓度值按差分法計算彎矩，可避免集中荷載作用處彎矩級數解不收斂的問題.

對17 種支承條件板計算出雙向板簡化為單向板所需要達到的長寬比，計算結果可為工程技術人員參考使用.

值得注意的是，本文只給出4 種荷載的傅立葉系數［公式（3）～（6）］.要處理其他荷載形式，只需更換成相應的傅立葉系數即可.