一道橢圓質(zhì)檢試題的拓展探究

甘肅省蘭州市第六中學(xué)(730060) 焦永垚

1 試題呈現(xiàn)

例1已知F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓E的兩個焦點,A為橢圓E上異于左、右頂點的任意一點,ΔAF1F2的周長為6,面積的最大值為

(1)求橢圓E的方程;

(2)直線AF1與橢圓E的另一個交點為B,與y軸的交點為M.若試問:λ1+λ2是否為定值? 并說明理由.

該題為遵義市2024 屆高三第一次質(zhì)量檢測統(tǒng)考第21 題,第(1) 問橢圓E的方程為=1;第(2)問λ1+λ2=為定值.第(2)問的結(jié)論在一般的橢圓中還成立嗎? 若成立,則把左焦點F1改為x軸上的任一定點時,結(jié)論還成立嗎? 如果成立,能否把x軸上的定點推廣到更一般的情形? 結(jié)論能否類比推廣到雙曲線和拋物線中? 下面我們進(jìn)行探究.

2 拓展探究

經(jīng)探究,結(jié)論在一般的橢圓中仍然成立:

還可以將結(jié)論1 中的左焦點F1推廣為x軸上異于左、右頂點的任一定點.

類比結(jié)論2,可得雙曲線和拋物線中的類似結(jié)論:

3 探究延伸

以上探究還可以聯(lián)想到希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在巨著《圓錐曲線論》中提出的關(guān)于圓錐曲線的直徑的概念[1]:

考察橢圓的一組平行的弦,阿波羅尼斯證明了這組弦的中點都在一條直線AB上,稱AB為橢圓的直徑.過AB的中點O作直線CD平行于原來的那組弦,CD將平分所有平行于AB的弦,CD叫做AB的共軛直徑.一般地,也稱弦AB與弦CD互為共軛直徑,又叫做阿波羅尼斯共軛直徑.

若曲線為雙曲線,某弦的直徑是一條過中心的直線,或是共線的兩條射線(去掉兩端點);

若曲線是拋物線,某弦的直徑是一條平行于對稱軸的射線(去掉一端點),它沒有共軛直徑.顯然,橢圓或雙曲線的軸是互相垂直的兩直徑.

阿波羅尼斯共軛直徑具有如下性質(zhì):

有了上述概念和性質(zhì),就可以將上述試題的結(jié)論推廣到更一般的情形.

證明過程可以參照結(jié)論5,略.

4 試題溯源

例1 與下面這道競賽題同根同源:

例2(2018 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽第11 題)如圖1,已知圓O的方程為x2+y2=4,過點P(0,1)的直線l與圓O交于點A,B,與x軸交于點Q.設(shè)求證:λ+μ為定值.

圖1

不難發(fā)現(xiàn),例1 與例2 高度相似,不同點在于: 1○兩道題分別以橢圓和圓為背景;2○例1 第(2)問中直線AB所過的定點為橢圓的左焦點F1,而例2 中直線AB所過的定點為y軸上的點P(0,1);3○例1 中的λ1(或λ2)與例2 中的λ(或μ)符號相反.若將圓看成退化的橢圓,那么由結(jié)論4 很容易得到例2中λ+μ的值:λ+μ=即λ+μ為定值,筆者在文獻(xiàn)[2]中對此題進(jìn)行了詳細(xì)探究,本文不再贅述.

5 結(jié)語

本文通過對一道質(zhì)檢試題的探究,逐步深入到問題的本質(zhì),最后形成一般的結(jié)論.一道優(yōu)秀的數(shù)學(xué)試題,不僅能夠檢驗學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,更應(yīng)該有其深刻的數(shù)學(xué)背景,而學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng),其關(guān)鍵在于教會學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究,數(shù)學(xué)探究又根植于具體問題之中.因此,在解析幾何解題教學(xué)中,教師應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生的問題探究意識,要為學(xué)生提供自主探究數(shù)學(xué)問題的機會,讓學(xué)生在探究中體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂,從而讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.