探究一道兩三角形面積之比問題

四川省雅安市教育科學研究院(625000) 高繼浩

1 試題與解答

(1)寫出橢圓C的標準方程;

(2) 如圖1,若直線n:y=kx+t(t0)與橢圓C相交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與直線n及x軸和y軸分別相交于點D,E、G,直線GF(F為橢圓的右焦點)與直線l:x=4 相交于點H,記ΔGEF、ΔGHD的面積分別為S1、S2,求的值.

圖1

圖2

解析容易求得第(1) 問橢圓C的標準方程為=1(過程略) .本文主要探究第(2) 問,其求解如下: 聯立直線n與橢圓C的方程,消去y得

2 試題的拓廣

注意到試題第(2)問中直線l恰為橢圓的右準線,這是否巧合,即在一般情形下,按照題目的描述,是否還是定值? 經探究得到:

命題1已知橢圓=1(a ＞b ＞0)的右焦點為F(c,0),斜率存在且不為0 的動直線與橢圓交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與直線AB、x軸、y軸依次交于D、E、G三點,直線GF與橢圓的右準線x=交于點H,記ΔGEF、ΔGHD的面積分別為S1、S2,橢圓的離心率為e,則=e4.

將命題1 中的右焦點、右準線改為類焦點、類準線,經探究得到:

命題2已知橢圓=1(a ＞b ＞0) 和點F(λa,0)(λ0),斜率存在且不為0 的動直線與橢圓交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與直線AB、x軸、y軸依次交于D、E、G三點,直線GF與直線x=交于點H,記ΔGEF、ΔGHD的面積分別為S1、S2,橢圓的離心率為e,則=λ2e2.

如果命題2 中的點F(λa,0)與直線x=不再是類焦點與類準線的關系,是否還是定值? 進一步探究得到:

命題3已知橢圓=1(a ＞b ＞0) 和點F(m,0)(m0),斜率存在且不為0 的動直線與橢圓交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與直線AB、x軸、y軸依次交于D、E、G三點,直線GF與直線x=n(n0)交于點H,記ΔGEF、ΔGHD的面積分別為S1、S2,橢圓的離心率為e,則

由于命題3 比命題1、命題2 更具一般性,故只證命題3.

受文[1]啟發,筆者對偶地將命題3 中點F的位置改為y軸上,變換視角后探究得到:

命題4 的證明與命題3 類似,此處略.

3 結論的引申

受文[2]啟發,筆者將命題3、命題4 引申到了雙曲線中.

命題5已知雙曲線=1(a ＞0,b ＞0)和點F(m,0)(m0),斜率存在且不為0 的動直線與雙曲線交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與直線AB、x軸、y軸依次交于D、E、G三點,直線GF與直線x=n(n0)交于點H,記ΔGEF、ΔGHD的面積分別為S1、S2,雙曲線的離心率為e,則|e2.

命題6已知雙曲線=1(a ＞0,b ＞0)和點F(0,m)(m0),斜率存在且不為0 的動直線與雙曲線交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與直線AB、y軸、x軸依次交于D、E、G三點,直線GF與直線y=n(n0)交于點H,記ΔGEF、ΔGHD的面積分別為S1、S2,雙曲線的離心率為e,則

命題5、命題6 的證明方法與命題3 相同,略.