對一道橢圓最值問題的深度探究

安徽省合肥市肥東縣城關(guān)中學(xué)(231600) 王東海

圓錐曲線最值問題是高考中的常考題型,此類問題的處理手段主要有幾何法與代數(shù)法兩種,圓錐曲線壓軸題通常以構(gòu)造函數(shù)的代數(shù)手段為主,但是此類問題往往思維量及運(yùn)算量較大,費(fèi)時費(fèi)力難以攻破,從而困擾著一部分學(xué)生.本文擬以一道2023 年11 月清華能力測試題為例,談?wù)勂湟话阈酝茝V及背景探究,以期對圓錐曲線備考有所啟發(fā).

1 考題呈現(xiàn)

(1)求橢圓E的方程;

(2) 設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C,求ΔF1BC的面積的最大值.

易得第(1) 問橢圓E:+y2=1.第(2)問可以利用線參法、直線參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等手段解決.試題設(shè)計簡潔但內(nèi)涵豐富,具有很好的探究價值.

2 一般性探究

波利亞曾說:“沒有任何一個題目是徹底完成了的,總還會有些事情可以做”.細(xì)品解題過程,考題所得結(jié)論是偶然還是必然呢? 能否將結(jié)論推廣至一般的橢圓呢?

結(jié)論1已知橢圓E:=1(a ＞b ＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F2,過點(diǎn)F2作不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C,則直線BC恒過定點(diǎn)

能否進(jìn)一步將結(jié)論3 中的兩焦點(diǎn)推廣至一般的x軸上的定點(diǎn),經(jīng)探究可得:

3 類比探究

結(jié)論6已知拋物線E:y2=2px(p ＞0),過x軸上定點(diǎn)N(n,0) (n ＞0) 作傾斜角不小于α的銳角的直線交E于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為C,則(SΔF BC)max=

推論2已知拋物線E:y2=2px(p ＞0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作傾斜角不小于α的銳角的直線交拋物線E于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C,則(SΔF BC)max=

4 拓展探究

5 背景探究

近年來,命題者開始挖掘高等幾何中一些素材來命制高考中的圓錐曲線試題,本文探討的高考題的命題背景是高等幾何中的極點(diǎn)和極線這塊內(nèi)容.為了將原理闡述清楚,先來探討一下本題涉及到的概念和性質(zhì):

極點(diǎn)極線幾何定義當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在圓錐曲線外時,對應(yīng)的極線為過點(diǎn)M的切點(diǎn)弦所在直線;當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在圓錐曲線上時,對應(yīng)的極線為過點(diǎn)M的切線;當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0) 圓錐曲線內(nèi)時,對應(yīng)的極線為過點(diǎn)M作曲線的非對稱軸割線,交曲線于點(diǎn)A,B,再過A,B分別作曲線的切線,兩條切線的交點(diǎn)的軌跡.

性質(zhì)1任意一點(diǎn)P(x0,y0) 關(guān)于圓錐曲線Γ :ax2+by2+cx+dy+f=0 的極線方程必為ax0x+by0y++f=0.

性質(zhì)2如果一個三角形的三個頂點(diǎn)恰是其對邊的極點(diǎn),稱此三角形叫做自極三角形.

性質(zhì)3如果四邊形ABCD是圓錐曲線Γ 的內(nèi)接四邊形,若AB,CD交于S點(diǎn),AD,BC交于T點(diǎn),兩對角線的交點(diǎn)為P,則S,T,P三點(diǎn)構(gòu)成自極三角形.

由上面的極點(diǎn)極線理論,可以探究本題如下,如圖1,過B點(diǎn)作x軸對稱點(diǎn)D,則四邊形ACBD為橢圓內(nèi)接四邊形,由上面性質(zhì)3 知,直線BC與DA的交點(diǎn)S必在兩對角線交點(diǎn)F2對應(yīng)的極線上,再由性質(zhì)1 知,極線為+0·y=1,即x=2 上.而由對稱性易得直線BC與DA的交點(diǎn)S必在x軸上,從而可以得到直線BC必經(jīng)過定點(diǎn)(2,0).這樣就為解決考題提供了解題方向.

6 高考溯源