閱卷視角下的概率試題分析及教學啟示
——以2023 年新高考數學全國Ⅰ卷第21 題為例

廣東省佛山市南海區南海中學(528200) 黃志斌 周鴻高

1 試題呈現

題目(2023 年高考全國Ⅰ卷第21 題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規則如下: 若命中則此人繼續投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1 次投籃的人選,第1 次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2 次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i 次投籃的人是甲的概率;

(3)已知:若隨機變量Xi服從兩點分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,···,n,則記前n 次(即從第1 次到n 次投籃)中甲投籃的次數為Y,求E(Y).

2 命題思想分析

《中國高考評價體系》闡述了高考的三大核心功能,即“立德樹人,服務選才,引導教學”,也是對“為什么考”[2]問題的回答.該試題作為壓軸題之一放在第21 題位置,其知識內容、考查方式、難度設計等所蘊含的命題思想在育人價值、服務選才、引導教學這幾個方面都起到一定的指導作用.

該試題第(1)問從難度上來說比較簡單,屬于基礎題,直接考查全概率公式的知識.這一問絕大多數考生都能做,但能拿到滿分的同學不夠多,部分考生在概率語言表述的嚴謹性和規范性上表現欠缺,還有的考生全概率公式記錯,基礎不牢,甚至簡單的計算出錯,沒拿到滿分的考生中大多在這里丟了分.從學生的作答情況來看,第一問對學生嚴謹規范的科學態度和平時良好的學習習慣比以前要求更高.

《中國高考評價體系》明確指出,高考要立足于服務國家、服務高校選才這一基點,高考要為國家和高校選拔出符合要求的新生[2].該試題第(2)問是在第(1)問的基礎上深化,第(1)問是一種特殊的具體情境,而第(2)問就把研究的問題一般化,答對的考生比第(1)問少得多,第(3)問繼續拔高,難度較大,能得分的更少.三個問題難度依次增大,具有明顯的梯度和較好的區分度,對不同基礎不同層次不同類別的考生能夠進行合理分流,促進人才合理配置,有利于國家和社會及高校選拔人才.

高考的社會政治影響比較大,客觀上對高中教學起到重要的引導作用,對地方教育的發展、評價、教育資源配置和對考生未來的人生發展影響重大[2].因此,高考試題的設計要能夠起到引導教學的作用.該試題根據新課程標準的內容要求命制,源于課本又高于課本,出自教材的課后習題,第(1)問直接考查全概率基本的數學概念和知識原理,沒有大量文字和復雜的情景,體現數學簡潔性的特點;第(2)問與數列知識結合,體現從特殊到一般的數學思想和解決問題的通性通法;第(3)問是對學生在數學知識的應用和創新方面等關鍵能力的考查.這有利于引導基礎教育一線教師重視教材,理順教考銜接,實現以考促教、以考促學,注重數學知識原理和解決問題通性通法的教學,重視課本及課本資源的研究和挖掘,不搞偏怪的東西,避免灌輸機械刷題和題海戰術的教學觀念.

3 試題的設計和特點分析

2023 年高考數學全國Ⅰ卷繼續落實新高考政策,試題根據新課標的內容要求,圍繞高考立德樹人、服務選才、引導教學的核心功能,聚焦核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識的考查內容,突出基礎性、綜合性、應用性、創新性的考查要求來設計,體現了新高考和新課程的思想理念.

首先,今年概率試題與以往的一個不同之處是降低了文字閱讀量,沒有復雜的情景和形式,而且也淡化了運算技巧,沒有特別繁瑣單純的計算,更多的是從數學知識本質的角度來設計試題.而且,本試題3 個小問設問難度遞增,梯度人性化,從考生的作答情況來看具有較好的區分度.

其次,將概率試題放在倒數第2 題的位置,打亂往常題目板塊的順序,考生心理上多少有點不太習慣和適應這種變化,考場上有一定的心理壓力.其設計可以避免學生在平時的學習和考試過程中養成機械式訓練的固化模式,增強考生在不同形式和不同環境下能夠正常發揮出數學思維的引導作用,考驗學生的心理素質和應變能力.

最后,本試題源于教材課后習題又高于教材,重視教材例題習題的教學.其涉及到的知識點主要有全概率公式、數列遞推關系求通項求和、兩點分布,考查新教材新增的全概率公式.其設計思想重視數學概念和數學原理,加強數學本質和理性思維的考查,突出數學語言表達的嚴謹性和規范性,可以說本試題“回歸到了數學的本質”[3].華南師大數學科學學院蘇洪雨和馮偉貞兩位老師曾在2022 年高考試題分析時也指出: 新高考在《普通高中數學課程標準(2017 年版2020年修訂)》和《深化新時代教育評價改革總體方案》的指導下,降低了試題結構、題型、題設、表達等形式的復雜性,提高了對學生數學思維的考查,回歸了數學的簡潔、抽象、嚴謹的本質[4].該試題在這一點上已經正式邁開了步伐.

4 題源研究

4.1 追根溯源

前文提到,該試題源自教材的一道課后習題改編,新教材人教A 版選擇性必修第三冊第七章第91 頁“復習參考題”第10 題:

甲、乙、丙三人相互做傳球訓練,第1 次由甲將球傳出,每次傳球時,傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求n 次傳球后球在甲手中的概率.

從教材上的這道習題來看,可以說今年高考的概率題前兩問基本就是該習題的復制品,教師用書上給的參考答案也基本是高考閱卷的給分設置情況.因此,研究高考試題可以引導我們一線教師教學和備考,研究和挖掘教材的例題習題也可以使我們的備考方向不偏不倚.

對該試題繼續進行深入研究,可見它的知識背景是馬爾科夫鏈概率模型,馬爾科夫鏈可以簡單地理解為: 假設X1,X2,···,Xi,Xi+1是離散序列事件,事件Xi+1發生的條件概率僅依賴前一事件的狀態,即

則根據全概率公式有P(Ai+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai) +如果我們熟悉這一知識背景,教材的這道課后習題和今年的高考試題就非常簡單了.

4.2 備考模擬試題中的馬爾科夫鏈概率模型

筆者在對今年概率試題的題源研究中發現,平時我們的備考訓練和模擬考試中也經常有涉及到馬爾可夫鏈概率模型的題目出現,比如一月份的佛山一模、四月份的佛山二模還有廣州一模等基本就是原型.

2023 屆高三1 月佛山一模第20題近幾年,隨著生活水平的提高,人們對水果的需求量也隨之增加,我市精品水果店大街小巷遍地開花,其中中華獼猴桃的口感甜酸、可口,風味較好,廣受消費者的喜愛.在某水果店,某種獼猴桃整盒出售,每盒20 個.已知各盒含0,1 個爛果的概率分別為0.8,0.2.

(1)顧客甲任取一盒,隨機檢查其中4 個獼猴桃,若當中沒有爛果,則買下這盒獼猴桃,否則不會購買此種獼猴桃.求甲購買一盒獼猴桃的概率;

(2)顧客乙第1 周網購了一盒這種獼猴桃,若當中沒有爛果,則下一周繼續網購一盒;若當中有爛果,則隔一周再網購一盒;以此類推,求乙第5 周網購一盒獼猴桃的概率.

2023 屆高三4 月佛山一模第16 題有n 個編號分別為1,2,…,n 的盒子,第1 個盒子中有2 個白球1 個黑球,其余盒子中均為1 個白球1 個黑球,現從第1 個盒子中任取一球放入第2 個盒子,再從第2 個盒子中任取一球放入第3 個盒子,以此類推,則從第2 個盒子中取到白球的概率是____,從第n 個盒子中取到白球的概率是____.

2023 屆高三廣州一模第20題為了拓展學生的知識面,提高學生對航空航天科技的興趣,培養學生良好的科學素養,某校組織學生參加航空航天科普知識答題競賽,每位參賽學生答題若干次,答題賦分方法如下: 第1 次答題,答對得20分,答錯得10 分: 從第2 次答題開始,答對則獲得上一次答題得分的兩倍,答錯得10 分.學生甲參加答題競賽,每次答對的概率為一,各次答題結果互不影響.

(1)求甲前3 次答題得分之和為40 分的概率;

(2)記甲第i 次答題所得分數Xi(i ∈N*)的數學期望為E(Xi).

1○寫出E(Xi-1)與E(Xi)滿足的等量關系式(直接寫出結果,不必證明);

2○若E(Xi)＞100,求i 的最小值.

5 考生答題情況分析

5.1 主要解法歸納

(1) 解法1設第2 次投籃的人是乙為事件A : P(A)=0.5×(1-0.6)+0.8=0.6,所以第2 次投籃的人是乙的概率為0.2+0.4=0.6.

解法2第2 次投籃的人是乙,共有下面兩種情況: 第1次投籃的人是甲且甲未命中,概率為0.5×(1-0.6)=0.2.第1 次投籃的人是乙且乙命中,概率為0.5×0.8=0.4.所以第2 次投籃的人是乙的概率為0.2+0.4=0.6.

解法5建立樹狀圖,由樹狀圖知: 第1 次投籃的人是甲且甲未命中概率為0.5×(1-0.6)=0.2,第1次投籃的人是乙且乙命中概率為0.5×0.8=0.4,所以第2 次投籃的人是乙的概率為0.2+0.4=0.6.

(2) 解法1該解法是國標給的參考答案,先引進變量k,求出Pk,再回到要求的問題Pi.

5.2 典型錯誤及原因分析

從抽查的情況來看,比較典型的主要有以下幾類錯誤:

錯誤1描述事件方面的錯誤,沒有描述事件或描述不規范或描述過于省略.

錯誤表現1.沒有描述,如: 第2 次乙投籃的概率為P=···;

2.描述不規范,如: 第2 次投籃是乙為P2=···;

3.描述過于省略,如: 所求事件為A.

出錯原因概率語言表達的意識和能力薄弱或欠缺.

錯誤2事件的概念與概率的概念混淆.

錯誤表現如,記第2 次乙投籃的概率為事件A.

出錯原因基本的數學概念不清楚,學習數學平時沒注意規范性和嚴謹性,態度上不認真.

錯誤3計算類錯誤.

錯誤表現如0.5×0.4+0.5×0.8=0.06;0.5×0.4+0.5×0.8=0.7;漏了括號0.5×1-0.6+0.5×0.8=0.6.

出錯原因粗心大意,沒有養成良好的計算習慣.

錯誤4公式類錯誤.

錯誤表現如

出錯原因對全概率公式不理解,生搬硬套,不能將問題情景抽象成數學模型,建模能力較弱.

錯誤5對問題情景認識和分類錯誤.

錯誤表現情況列舉漏掉或重復;樹狀圖畫錯.

出錯原因認知和分析問題的數學思維較弱;不能將問題從特殊到一般進行抽象概括.

錯誤6數列知識沒過關.

錯誤表現不能準確求出遞推關系或者不會分組求和.

出錯原因數列的基本知識和基本技能方法沒掌握和理解.

錯誤7沒回到問題的解答.

錯誤表現Pn=

出錯原因不能將問題情景與數學邏輯較好地聯系起來.

錯誤8兩點分布理解出了問題.

錯誤表現沒有交待清楚兩點分布的變量.

錯誤原因不理解問題情境中所涉及的兩點分布表示的概率意義.

錯誤9第(3)問沒有分解事件.

錯誤表現硬套題目所給的公式.

錯誤原因數列的基礎知識和基本方法沒掌握好.

6 教學啟示和備考建議

從該題閱卷的視角來看,結合考生的作答情況,綜合上述分析,我們可以從如下幾方面來落實平時的教學和備考.

加強教考銜接理順教考銜接,實現以考促教、以考促學,重視教材,回歸教材.

必備知識學習注重數學基礎知識的概念、原理教學,學生對概念、原理的理解是解決復雜問題的基礎.

關鍵能力培養在平時的習題課教學過程中培養學生將問題情景與數學知識聯系起來的數學化的能力,重點培養邏輯推理能力、運算求解能力、數學建模能力、抽象概括能力.

科學合理學法注重培養學生良好的學習習慣,如耐心閱讀審題的習慣、細心計算習慣、規范書寫表達習慣,重視基礎知識與基本技巧的掌握,注重通性通法的訓練,重視教材例題習題所蘊含的數學思想方法,抓好落實.

關注高考動向了解學習高考政策,把握復習備考方向,不偏不倚,研究新課標、新教材、評價體系、年度試題分析報告.

適量選題訓練合理、適量選題、掌握解題方法和考試作答策略,避免機械刷題和題海戰術.