巧思妙解恒成立,追本溯源一類題
——談2023 年全國甲卷理科第21 題的一題多解、命題手法以及類題賞析

福建省福清第三中學(350000) 唐洵

1 題目呈現

題1(2023 年高考全國甲卷理第21 題) 已知函數f(x)=ax-x ∈

(1)當a=8 時,討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)＜sin 2x,求a的取值范圍.

2 解法展示

由于第(1)問較簡單,本文不作闡述,僅給出解答過程.

下面來看第(2)問的解答過程.

解法1(整體構造函數,分類討論定界)

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法2(端點效應引路,充要條件護航)

解法3(半分離參數,凹凸性輔助)

圖1

解法4(先分離,再放縮,后完善)

注上述兩次放縮過程中,sinx=x,cosx=1 的等號同時取到.

3 命題手法

(2)凹凸性判定:設y=f(x)在[a,b]上連續,且在(a,b)內具有一階和二階導數;若f(x) 在(a,b) 內有f′′(x)＞0,則f(x) 在[a,b] 上是凹(下凸) 函數,若f(x) 在(a,b) 內有f′′(x)＜0,則f(x)在[a,b]上是凸(上凸)函數;

(3)命題步驟:

第一步,選擇基礎函數,明晰自身性質;命題者先選擇了三角函數y=sinx,y=cosx,y=tanx作為主干函數,而這些函數的單調性、對稱性、周期性、凹凸性等函數性質都是大家顯而易見、耳熟能詳的;

4 同題賞析

事實上,筆者在研究的過程中,驚喜的發現,2023 年全國高考的六套試卷中,竟然有5 個導數解答題的壓軸部分,均可基于上述命題手法解題:

題2(2023 年高考全國甲卷文第20 題) 已知函數f(x)=

(1)當a=1 時,討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)+sinx ＜0,求a的取值范圍.

圖2

題3(2023 年高考全國乙卷文第20 題) 已知函數f(x)=ln(1+x).

(1)當a=-1 時,求曲線y=f(x)在點(1,f(x))處的切線方程.

(2)若函數f(x)在(0,+∞)單調遞增,求a的取值范圍.

題5(2023 年新高考Ⅰ卷第19 題) 已知函數f(x)=a(ex+a)-x.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)證明:當a ＞0 時,f(x)＞2lna+

圖3

圖4

5 經典錯例

題6(2020 年高考新課標Ⅰ卷第21 題) 已知函數f(x)=ex+ax2-x.

(1)當a=1 時,討論f(x)的單調性;

(2)當x≥0 時,f(x)≥+1,求a的取值范圍.

利用端點效應解題存在著一定的局限性,筆者2019-2020 年從事高三教學工作,那時福建省使用新課標Ⅰ卷,其壓軸題為題6,部分學生在整體構造函數后,使用端點效應求解題6 第(2)問,得到a的取值范圍為[-,+∞),進而滿盤皆輸,糾其根本原因,就是對端點效應的原理未進行深入理解和探究,部分老師在教學時只注重技巧,不傳授本質;事實上,端點效應的原理與曲線的切線密不可分,因此本道高考題的試題命制以及解題手法也與題1 至題5 一致,具體如下:

圖5