“數形結合”策略指引下高考函數零點常考題型的分類例析

鎮江市丹徒高級中學(212143) 范習昱 徐繼林

零點問題因為涉及到基本初等函數的圖象和性質,以及導數的應用,又滲透著轉化化歸、數形結合、函數與方程等思想方法,在培養思維的靈活性、創造性等方面作用明顯,并且能夠分層鑒別不同學生的綜合素質水平,收到命題專家的青睞.

下文精選函數零點問題的經典高考題或模擬題,從函數零點的個數、分布、與零點相關的參數求解、與零點相關函數的取值四個方面加以分類例析,探尋零點問題的求解策略.

1 函數零點的個數問題

例1(2018 年高考全國卷ⅠⅠⅠ)函數f(x)=cos(3x+)在[0,π]的零點個數為____.

例2函數f(x)=ex|lnx|-2 的零點個數為()

A.1 B.2 C.3 D.4

解f(x)=ex|lnx|-2的零點可以轉化為: 方程|lnx|=的解;在坐標系中畫出兩個函數y=|lnx|,y=的圖象(如圖1),根據圖象可得有兩個交點,故原函數有兩個零點.選B.

圖1

圖2

點評與總結判斷零點個數是零點問題中最為基本和常見的題型,例1 直接將零點轉化為方程的根;例2 利用數形結合轉化為兩個基本函數的圖象交點問題;例3 與例2 方法一致,只是綜合了函數的周期性和奇偶性,在作函數圖象上顯得較為復雜.為了攻克零點個數問題,我們需要掌握一些函數零點的求解與判斷的基本方法:

(1)直接求零點:令f(x)=0,如果能求出解,則有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理: 利用定理不僅要函數在區間[a,b]上是連續不斷的曲線,還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性)才能確定函數有多少個零點.

(3)利用圖象交點的個數: 將函數變形為兩個函數的差,轉化為函數方程,畫它們的圖象,看其交點有幾個,就有幾個不同的零點.

2 函數零點的分布問題

例4已知實數a,b滿足2a=3,3b=2,則函數f(x)=ax+x-b的零點所在的區間是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

解因為2a=3,3b=2,所以a ＞1,0＜b ＜1,又因為f(x)=ax+x-b,所以f(-1)=-1-b ＜0,f(0)=1-b ＞0,從而由零點存在定理可知f(x)在區間(-1,0)上存在零點.故選B.

例5已知單調函數f(x)的定義域為(0,+∞),對于定義域內任意x,f[f(x)-log2x]=3,則函數g(x)=f(x)+x-7的零點所在的區間為()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)

解由題意,對任意的x ∈(0,+∞),有f[f(x)-log2x]=3,又由f(x) 是定義在(0,+∞) 上的單調函數,則f(x)-log2x為定值,設t=f(x)-log2x,則f(x)=log2x+t,又由f(t)=3,∴f(t)=log2t+t=3,所以t=2,所以f(x)=log2x+2,所以g(x)=log2x+x-5,因為g(1)＜0,g(2)＜0,g(3)＜0,g(4)＞0,g(5)＞0,所以零點所在的區間為(3,4).

點評與總結判斷函數零點所在區間問題的根本方法是零點存在定理,其關鍵步驟是找到使函數值異號的兩個自變量的取值,值得注意的是零點存在定理只能判斷零點是否存在,并不能判定零點的個數.當然判斷函數零點所在區間問題也可以用直接法,即解方程加以判斷;或者圖象法,即做出兩個函數的簡圖,尋找它們的交點的橫坐標的范圍.但是,直接法會受到方程復雜程度的限制,求根可能非常繁瑣,甚至求不出解的情形,而圖象法對作圖的精度要求較高,有時圖象不準確會給正確求解帶來很大麻煩,甚至出現錯解.

3.與函數零點相關的參數范圍求解問題

解(1)不等式的解集為(1,4)(過程略).

(2)作出函數y=x-4與y=x2-4x+3 的圖象,如圖所示,由圖3 可知,當λ≤1 時,函數f(x)有1 個零點;當1＜λ≤3 時,函數f(x)有2 個零點;當3＜λ≤4 時,函數f(x)有3 個零點;當λ ＞4 時,函數f(x)有2 個零點.所以當函數f(x)有2 個零點時,λ的取值范圍為(1,3]∪(4,+∞).

圖3

A.[-1,0)B.[0,+∞)

C.[-1,+∞)D.[1,+∞)

解函數g(x)=f(x)+x+a存在2 個零點,即關于x的方程f(x)=-x-a有2 個不同的實根,函數f(x)的圖象與直線y=-x-a有2 個交點,作出直線y=-x-a與函數f(x)的圖象,由圖4 可知,-a≤1,解得a≥-1,故選C.

圖4

圖5

A.a ＜-1,b ＜0 B.a ＜-1,b ＞0

C.a ＞-1,b ＜0 D.a ＞-1,b ＞0

解當x ＜0 時,y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(1-a)x-b,最多一個零點;當x ＞0 時,

點評與總結 根據零點個數判斷一個或多個參數的范圍問題相比前面單純判斷零點個數或零點范圍而言,難度增加了不少,但解題基本思路和工具依然沒有變化,即利用零點存在定理,結合數形結合、分類討論思想,加以轉化與化歸.例6 和例7 是單參數問題,例8 是雙參數問題.值得注意的是這類問題都有很強的幾何特征,比如例7中參數范圍與直線的斜率聯系緊密.例8 充分利用導數研究函數的性質(單調性和極值、最值等)來確定參數范圍,這表明函數零點問題具有很廣泛的交匯性,思維深度很大,是高考命制壓軸題的主要源泉之一.已知函數有零點(方程有根)求參數取值范圍常用的方法: (1)直接法: 直接根據題設條件構建關于參數的不等式,再通過解不等式確定參數范圍;(2)數形結合法: 在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象,然后在“數形結合”策略指引求解.

4 與零點相關函數的取值或范圍問題

解當x≤0 時,f′(x)=(x+1)ex.當x ＜-1 時,f′(x)＜0,f(x)在(-∞,-1)上為減函數;當-1＜x ＜0時,f′(x)＞0,故f(x)在(-1,0)上為增函數,所以當x≤0時,f(x)的最小值為f(-1)=-f(x)的圖象如圖6 所示.

圖6

圖7

點評與總結此類問題其實是前三類問題的綜合和深化,例9 是特殊零點的關系問題,例10 和案例11 都是由零點組成的多元函數的最值或取值范圍問題.求解的根本策略仍然是數形結合,但在求解的最后一步即多元函數的最值或取值范圍問題時,我們需要尋找這些零點的等量關系,從而采取消元技巧化為一元函數來求目標函數的最值或范圍.

結束語函數零點的個數判斷、零點分布及參數范圍是高考的熱點,常以壓軸題形式出現,我們需要引起足夠重視.處理零點問題,首先我們需要準確理解函數零點的定義;其次我們要能將零點問題進行轉化與化歸,即: 方程f(x)=0有實數根→函數y=f(x)的圖象與x軸有交點的橫坐標?函數y=f(x)有零點;最后對應上面四類零點問題,有的放矢,相信我們一定可以克服函數的零點問題.