高階思維視域下高中數(shù)學問題設計策略*

楊 勇

(江蘇省鎮(zhèn)江市實驗高級中學 212003)

高階思維又稱高級思維或高層次思維,其英文是“higher-order thinking”,簡稱HOT．高階思維的提出始于布魯姆(B.S.Bloom)的認知領域教育目標分類學,通常將識記、領會和應用作為低階思維,分析、綜合和評價作為高階思維,相較于低階思維,靈敏性、深刻性、創(chuàng)新性是高階思維的主要特征．數(shù)學是思維的科學,而問題是數(shù)學的心臟,在數(shù)學知識的形成過程中一直扮演著不可或缺的角色,因此在數(shù)學教學中對學生思維能力的培養(yǎng)自然離不開問題．讓學生發(fā)現(xiàn)、提出問題是思維的開始,問題得到解決則標志著思維完成進階,而要想讓學生的思維完整經(jīng)歷從開始萌芽到完成進階的過程,則需要教師在教學中精心地進行問題設計,通過問題引導學生“像數(shù)學家一樣地思考,像工程師一樣地解決問題”．可見高質(zhì)量的問題設計是激發(fā)和支撐學習者思維的源泉,是培養(yǎng)思維能力的重要抓手．

目前的高中數(shù)學教學中,有的問題設計簡單、膚淺,探究價值不大,只呈現(xiàn)表面的熱鬧,學生的思維得不到鍛煉;有的問題又超出學生的能力水平,探究不下去,取而代之的是直接向?qū)W生實施知識的“填與灌”,學生缺乏主動建構知識的過程,導致對知識的建構不穩(wěn)固,思維的培養(yǎng)和素養(yǎng)的落實無所依托．這種現(xiàn)象背后的根本原因是教師對以問題促進思維提升的策略研究不夠深入,本文從下面三個方面談一下如何通過問題設計促進學生高階思維的培養(yǎng)．

1 在知識“聯(lián)結(jié)點”設計問題,引導問題的發(fā)現(xiàn)和提出,增強思維的靈敏性

建構主義教學觀認為對于新概念的學習,教師應從學生原有的知識基礎和生活經(jīng)驗出發(fā),通過提供適當?shù)膯栴}情境和實例引起必要的認知沖突,引導學生發(fā)現(xiàn)和提出問題,關注學生真實的思維活動,讓學生在自主建構新的認知結(jié)構中增強靈活性,促進高階思維能力的提升．

案例1蘇教版“指數(shù)(第1課時)”

為研究指數(shù)函數(shù),需要把指數(shù)冪運算的范圍進一步推廣.教材從已知的平方根、立方根的意義入手先學習n次方根,再從幾個特殊的例子歸納發(fā)現(xiàn)分數(shù)指數(shù)冪與n次方根概念的聯(lián)系,規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義.在教學實踐中,學生會比較容易接受這一過程,但是會疑惑為什么先學根式,像被老師牽著走.因此,本節(jié)課從學生初中已經(jīng)熟悉的整數(shù)指數(shù)冪的定義及運算性質(zhì)入手,采用初中時引入零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的定義過程,在“使整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍然成立”的思想指引下,將整數(shù)指數(shù)冪推廣到分數(shù)指數(shù)冪,建立分數(shù)指數(shù)冪與n次方根的聯(lián)系,得到分數(shù)指數(shù)冪的意義.既讓學生認識分數(shù)指數(shù)冪的含義,又能體會指數(shù)冪運算的推廣過程的核心思想是“使原有的運算性質(zhì)仍然成立”.基于這樣的思考,設計如下兩個問題．

問題1某景區(qū)統(tǒng)計了近幾個月的游客人次,發(fā)現(xiàn)在免門票政策帶動下,每月的游客人次都是上一個月游客人次的1.1倍,如果按照此規(guī)律增長下去,那么

(1)2個月后的游客人次為現(xiàn)在的多少倍?

(2)3個月后的游客人次為現(xiàn)在的多少倍?

(3)3個半月后的游客人次為現(xiàn)在的多少倍?

師:這是我們初中學過的冪運算an,當指數(shù)為正整數(shù)時,其意義是n個a自乘;當指數(shù)為小數(shù)或分數(shù)時,需要把冪的指數(shù)拓展.怎么拓展呢?

師生活動 教師引導學生回憶數(shù)系的擴充過程,從而得到指數(shù)的拓展路徑.

設計意圖指數(shù)的拓展過程與數(shù)及其運算的擴充過程有關聯(lián).問題(3)是要激發(fā)認知沖突,讓學生認識到拓展指數(shù)的必要性,通過回憶將本節(jié)課內(nèi)容放在數(shù)系擴充的大背景下進行,體會數(shù)學的整體性的同時培養(yǎng)提出問題的能力.

問題2零指數(shù)冪a0和負整數(shù)指數(shù)冪a-n是如何引入的?(回憶初中由正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的拓展過程)

師生活動 學生回答a0和a-n的意義,教師適當引導,使學生體會指數(shù)的拓展是為了使正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)適用范圍得到擴充.最后指出,負整數(shù)指數(shù)冪的引入消除了運算性質(zhì)中的限制,擴大了適用范圍,簡化了運算性質(zhì).其中冪的乘法對應指數(shù)的加法,冪的除法對應指數(shù)的減法,引入負數(shù)后,加減運算統(tǒng)一,從而冪的乘除運算統(tǒng)一,運算性質(zhì)合并為三條.

設計意圖學生通過回顧初中正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的拓展過程,體會指數(shù)冪運算的拓展過程的核心思想是原有的運算性質(zhì)在新的范圍中仍然成立,這樣在知識形成“聯(lián)結(jié)點”設計問題,培養(yǎng)學生提出問題、分析問題的思維能力．

2 在探究“關鍵點”設計問題,促進問題的分析與解決,增強思維的深刻性

問題探究是用來幫助學生不斷跨越最近發(fā)展區(qū)的橋梁,在問題難度的把握上要有梯度,要在“關鍵點”處搭臺階,能夠不斷讓學生跨越中間地帶順利達到下一鄰近發(fā)展區(qū),這樣既能使學生在任務面前有適度的緊張,又不會壓力過度,在問題串下,讓學生感覺到問題是自己解決的,對學生思維發(fā)展的促進作用會更強．

案例2蘇教版“等比數(shù)列前n項和公式(第1課時)”

“錯位相減”作為等比數(shù)列求和公式推導的重要方法,是歷史遺留下來的經(jīng)典方法．教材中通過“國王賞麥”的故事抽象出以1為首項、2為公比的等比數(shù)列的前64項和問題后直接給出一般形式的錯位相減法．通過查閱文獻,追溯等比數(shù)列前n項和公式推導的歷史脈絡,特殊的等比數(shù)列求和公式最早出現(xiàn)在公元前300年,但具體的計算過程未知．公元前3世紀,歐幾里得利用比例的性質(zhì),得到了等比數(shù)列前n項和公式．9世紀印度數(shù)學家馬哈維拉在《計算方法綱要》中給出了一般性推導．錯位相減法直到18世紀才在歐拉的《代數(shù)學基礎》中登場．歷史相似性理論提出“個體數(shù)學理解的發(fā)展遵循數(shù)學思想的歷史發(fā)展順序”,“錯位相減法”的遲遲登場,也側(cè)面說明學生較難自主構建該方法．基于這樣的思考,設計如下問題串．

問題1有一天,老師在街上看到某大型復印公司貼出如下廣告:“本部承接超大型工程圖紙復印業(yè)務,規(guī)格可達A1、A0……”同學們,A1、A0的紙有多大?能不能根據(jù)手邊常見復印紙的大小,推算出A1和A0紙的大小?把A5到A1的紙按從小到大的順序平鋪(圖1),其總面積是A5紙的多少倍?你是怎樣計算的?

圖1

生:記A5紙的面積為單位1,觀察這個A系列紙張的生成圖(圖2),從中獲得S5=1+2+ 22+23+24=31=25-1．繼續(xù)操作下去,可以推得Sn=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1．

師:對于更一般的等比數(shù)列,其前n項和Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,能否用一個簡潔明了、方便計算的式子來表示前n項和Sn與序號n之間的對應關系呢?

設計意圖“A系列紙張”這一情境不僅蘊含著等比數(shù)列求和的問題背景,也隱藏著解決等比數(shù)列求和問題的方法——圖解證明．

問題21+3+32+…+3n-1=3n-1嗎?

和公比為2一樣,我們先解決前幾項和,比如n=4．請同學們根據(jù)問題1的經(jīng)驗,猜測一下前4項和與數(shù)列的哪一項有關?

設計意圖在這一環(huán)節(jié)中,學生通過操作圖形(圖3)找到面積之間的關聯(lián),再翻譯為數(shù)學語言,實現(xiàn)數(shù)學思維的可視化．這一圖解方法較為直觀地展現(xiàn)了式子求和后,只剩下第n+1項與首項的過程,并且按此方法繼續(xù)推理,可以得出以1為首項、3為公比的等比數(shù)列前n項和公式．

圖3

問題3在剛才的探究活動中,我們得到了:

1+2+22+…+2n-1=2n-1,

設計意圖從問題1到問題3,學生利用圖解證明,得到q=2,3,4時1+q+q2+…+qn-1的求和公式,找出一些規(guī)律,猜想推測出滿足規(guī)律的公式,并對q是否為1的情況進行討論.

問題4事實上,數(shù)學中的很多定理都經(jīng)歷了先猜想、后證明的過程．如何證明我們的猜想呢?

師:回顧圖解證明的過程,對首項為1、公比為2的等比數(shù)列,其前n項和轉(zhuǎn)化為第n+1項減去首項;觀察等式的左右兩邊,等式的左邊只有數(shù)列的第1項至第n項,右邊卻出現(xiàn)了數(shù)列的第n+1項,那么這第n+1項是從哪里來的?等式的左邊只有加號,右邊怎么出現(xiàn)了減號?第2項到第n項怎么消失了?中間省略了哪些環(huán)節(jié)?

生:根據(jù)等比數(shù)列的定義,an·q可以得到an+1,數(shù)列的相鄰項之間都差了q倍,因此,在等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①左右兩邊同時乘以q,得到qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn②.(下略)

師:非常棒,你和大數(shù)學家歐拉用了一樣的方法——錯位相減法,得到了等比數(shù)列的前n項和公式．通過乘以公比派生出新式子,作差將不定項求和轉(zhuǎn)化為兩項差,進而得到公式．

設計意圖首先是歸納,通過對簡單、特殊的等比數(shù)列求和,找出一些規(guī)律,然后猜想滿足規(guī)律的公式,最后通過證明確保公式的正確性．這種通過歸納—猜想—證明的研究過程是思維深刻性的體現(xiàn)．

3 在變式“發(fā)散點”設計問題,滲透問題反思和評價,增強思維的創(chuàng)新性

高階思維培養(yǎng)是一個復雜且抽象的過程,往往需要通過問題變式來實現(xiàn).在教學中,教師可以創(chuàng)設系統(tǒng)完整的問題網(wǎng)絡,引導學生主動參與、相互協(xié)作,對于一些開放性問題,接受標新立異,鼓勵學生暢所欲言,勇敢表達自己觀點．讓學生在積極的思維反應過程中主動建構知識,探尋知識和問題間的聯(lián)系,大膽創(chuàng)新,進一步發(fā)展高階思維能力．

案例3蘇教版“基本不等式(第1課時)”

從知識結(jié)構全局看,相等關系、不等關系是數(shù)學中最基本的數(shù)量關系,是構建方程、不等式的基礎．本節(jié)課是在學習了不等式基本性質(zhì)基礎之后研究的一種重要且基本的不等式類型,它在解決其他不等式問題中具有重要作用.

這種“基本”主要體現(xiàn)在以下三個方面:(1)它與很多重要的數(shù)學概念和性質(zhì)相關;(2)基本不等式的證明方法或推導方法很多;(3)基本不等式的代數(shù)結(jié)構也是數(shù)學模型思想的一個范例,借助這個模型可以求一些代數(shù)式的最大值和最小值．

基于以上分析,設計如下問題串:

問題1欣賞數(shù)學家大會會標及其抽象圖例(圖4),提煉出里面蘊含的不等關系并通過微課探究重要不等式等號成立的條件;在實數(shù)范圍內(nèi)證明重要不等式．

圖4

思考1.1 從會標中可以抽象出哪些幾何圖形?

思考1.2 如果從正方形和直角三角形的面積這個角度出發(fā),你能找到什么樣的不等關系?

思考1.3 對于任意的直角三角形,上述不等關系恒成立嗎?

思考1.4 對于任意實數(shù)a,b,不等式a2+b2≥2ab依然成立嗎?

設計意圖通過適度點撥,引導學生利用圖形中的面積之間存在的數(shù)量關系,抽象出重要不等式,增強學生用“形”表現(xiàn)“數(shù)”、用“數(shù)”解釋“形”的意識．

問題2借助重要不等式推導基本不等式,給出基本不等式的定義并探究基本不等式與重要不等式的聯(lián)系和區(qū)別．

思考2.2 重要不等式與基本不等式的聯(lián)系和區(qū)別．

設計意圖在實際教學中,為了讓學生能自然聯(lián)想到用替代法從重要不等式推導出基本不等式并讓學生認識到重要不等式體現(xiàn)的是兩個實數(shù)平方和與乘積之間的不等關系,所以提出問題“那我們?nèi)绾螐闹匾坏仁街械玫絻蓚€數(shù)和與積的不等關系呢?”通過這樣的設問引導,讓學生經(jīng)歷從一般到特殊的邏輯推理過程．在得到基本不等式的過程中,體會重要不等式和基本不等式實際上是一脈相承的．通過探究二者之間的聯(lián)系和區(qū)別,更加深刻地認識基本不等式的適用范圍、等號成立條件以及其代數(shù)結(jié)構特征．

問題3能給出基本不等式的幾何解釋嗎?

在教師的引領示范下,學生以小組討論的形式探究并展示基本不等式的幾何解釋．

設計意圖已知基本不等式,尋求它的幾何解釋．使學生體會從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化過程,讓學生從建立過程、證明方法和幾何解釋多個角度再次認識基本不等式;通過運用數(shù)學符號語言、自然語言和圖形語言三種方式刻畫基本不等式,將幾何意義和代數(shù)意義一起講解,最終達到加深對基本不等式深入理解的目的．通過小組討論,利用信息技術進行成果展示,給學生足夠的課堂參與機會和自我領悟提升的空間.讓學生在自主探究、合作交流中獲取知識和過程性經(jīng)驗,發(fā)展“四基”“四能”．

問題4通過這節(jié)課的學習,有什么學習心得?可以從知識層面、方法層面進行分享．

教師用思維導圖形式進行展示(圖5).

圖5

設計意圖通過問題促進學生對本節(jié)課進行回顧,在回顧中明確本節(jié)課的學習內(nèi)容,強化學習重點,鞏固所學知識;通過思維導圖,形成知識框架,促進學生評價、反思能力的提升．

總之,以發(fā)展學生高階思維為目的的問題教學可促進學生思維能力的提升,可以在實踐中讓教與學達到雙贏．通過找準問題設計的視角,在知識形成“聯(lián)結(jié)點”、探究問題“關鍵點”、問題變式“發(fā)散點”這三處設計教學問題,能有效地提高學生的分析、評價、創(chuàng)造以及批判等高階思維能力．思維,尤其是高階思維的培養(yǎng)是一個長期且復雜的過程,可以在教學工作中從問卷編制、樣本選擇、課堂實踐等方面繼續(xù)完善和豐富,進一步探索培養(yǎng)高階思維更有效的策略．