平方根新授課的難點(diǎn)辨析及教學(xué)突破*

劉東升

(江蘇省南通市教育科學(xué)研究院 226000)

1 從一次平方根優(yōu)課評比的觀課說起

最近參加本地區(qū)一次市級優(yōu)秀課評比活動,短時(shí)間密集聽了10節(jié)“平方根”新授課．參賽選手都經(jīng)過了學(xué)校、縣區(qū)層層選拔．參賽課題“平方根”提前一個(gè)月就公布,參賽教師有一個(gè)月的磨課、試教過程,所展示出來的教學(xué)設(shè)計(jì)非常精致,課堂呈現(xiàn)非常順暢,“演課”味道偏濃．這里摘錄一位獲得一等獎的參賽教師的板書(圖1)．

圖1 平方根板書

從這位教師的板書中可以看出,該課遵循了數(shù)學(xué)知識的邏輯,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯[2]．比如,開課階段從乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算出發(fā),引出數(shù)的開方運(yùn)算;進(jìn)一步學(xué)習(xí)平方根時(shí),按研究路徑“生成定義→符號表示→歸納性質(zhì)→解題運(yùn)用”漸次展開．然而這樣“一順到底”的優(yōu)課展示總是讓人感到缺少了一點(diǎn)東西,失去了一些味道．正如海淀區(qū)數(shù)學(xué)教研員張鶴老師所指出的“教學(xué)僅展示正確的過程是不夠的,也應(yīng)暴露其中的曲折．”[1]下文主要圍繞平方根新授課的難點(diǎn)辨析及教學(xué)突破談?wù)劰P者的一些思考．

2 平方根新授課教學(xué)難點(diǎn)的辨析

學(xué)生進(jìn)入初中階段之后,先學(xué)習(xí)有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方這五種運(yùn)算,它們的結(jié)果分別對應(yīng)著和、差、積、商、冪,其中加與減、乘與除是互逆運(yùn)算.接著學(xué)習(xí)乘方的逆運(yùn)算——開方運(yùn)算,從最簡單的開平方出發(fā),這些都是很自然的,對學(xué)生來說并不構(gòu)成理解上的難點(diǎn)．

3 一次“課堂生成”助推了平方根教學(xué)難點(diǎn)的突破

教學(xué)往事 2018年底,筆者時(shí)任縣區(qū)教研員,到一所鄉(xiāng)村初中(江蘇省海安市大公初級中學(xué))執(zhí)教隨堂課(教研員到基層學(xué)校上課,一方面是與學(xué)校教師共同研討,另一方面方便調(diào)研和診評學(xué)情)．開課課題正是“平方根”．筆者從乘方的逆運(yùn)算出發(fā),引出開方運(yùn)算的定義、平方根的定義之后,筆者安排學(xué)生同桌之間互相舉例,鞏固新學(xué)內(nèi)容．接著安排幾個(gè)同桌代表,一人出題,另一人回答,以下是教學(xué)片斷．

生1:4的平方根是幾?

生1同桌:±2.

生2:25的平方根是幾?

生2同桌:±5.

生3:49的平方根是幾?

生3同桌:±7.

生4(女生):26的平方根是幾?

生4同桌(男生):(滿臉漲得通紅)不會.

師:同桌不會,生4你會做嗎?

生4搖搖頭,也不會．(眾生大笑,生4很尷尬,滿臉也脹得通紅)

師:同學(xué)們,為什么笑?我請科代表幫助解釋一下．

科代表:她出的題是錯的!因?yàn)?6不是哪個(gè)數(shù)的平方．

師:好的,請大家對照平方根的定義,再看看生4提出的“求26的平方根”是否符合定義?

科代表:好像是可以的,但我們不好求．

生4同桌:19的平方根是幾?

師:很好!現(xiàn)在你們對平方根的理解更加準(zhǔn)確了．

教后思考 這是一次“預(yù)設(shè)之外”(筆者本來準(zhǔn)備在學(xué)生舉幾組例題理解平方根之后就直接講授平方根的符號表示)的課堂生成,一位被“眾生取笑”的“錯題”引出了平方根的符號表示,讓學(xué)生回到定義并類比有理數(shù)的減法學(xué)習(xí)并理解根號的意義,同時(shí)又化解了提出一個(gè)“錯題”的“生4”的尷尬處境．讓學(xué)生在真實(shí)的教學(xué)場景中學(xué)習(xí)新知、接納新知,自然而然又印象深刻．

4 人教版與蘇科版教材對比研究

人教版、蘇科版教材在引入平方根時(shí)有所不同(見表1)．兩種版本的教材都安排了一段情境引出新知,人教版的情境屬于生活現(xiàn)實(shí),隨后給出算術(shù)平方根的定義是自然的,但給出算術(shù)平方根的符號表示則比較“生硬”,因?yàn)橹扒榫持械拈_方求值并不需要符號表示;而蘇科版的新知引出的情境屬于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí),出現(xiàn)了“直角三角形中已知兩直角邊為4,5,求斜邊的長”,形成認(rèn)知沖突——有理數(shù)范圍內(nèi)不可解,為后續(xù)引出平方根的符號表示提供了真實(shí)情境．

表1 人教版、蘇科版教材平方根的引入方式對比

5 平方根新知引入的教學(xué)微設(shè)計(jì)

問題1圖2、圖3是兩個(gè)完全相同的正方形,將它們沿對角線剪開后拼出如圖4所示的大正方形．

圖2

(1)若圖2所示正方形面積為4,則它的邊長是多少?

(2)若圖4所示正方形面積為9,則它的邊長是多少?

(3)若圖2、圖3所示正方形的面積均為8,則圖4所示正方形的邊長是多少?

(4)若圖2、圖3所示正方形的邊長均為2,則圖4所示正方形的邊長是多少?

教學(xué)組織與立意闡釋 第(1)—(3)問可以同時(shí)出示,教師追問學(xué)生是如何求解的．師生對話時(shí)要突出這里的算法體現(xiàn)了乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算．進(jìn)而教師給出開平方運(yùn)算的定義,并將其結(jié)果命名為“算術(shù)平方根”,進(jìn)一步安排學(xué)生圍繞圖示正方形面積進(jìn)行舉例,鞏固所學(xué)開平方運(yùn)算及算術(shù)平方根．如果學(xué)生舉出一些開方開不盡的數(shù),則引發(fā)課堂上的認(rèn)知沖突,組織學(xué)生辨析,教師為了幫助學(xué)生解決疑惑,講授算術(shù)平方根的符號表示．如果學(xué)生比較“聰明”,舉例中都沒有涉及開方開不盡的情形,則教師出示第(4)問,促成“認(rèn)知沖突”,引出符號表示．順便指出,以上教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè),主要促進(jìn)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)、觀察與探索未知的過程中獲得“操作性理解”[5],即當(dāng)學(xué)生觀察一個(gè)圖形時(shí),可以通過操作圖形來得到解題的靈感,而在以不同的方式更改圖形之后,得到操作性理解.

后續(xù)可安排例題或習(xí)題,鞏固訓(xùn)練平方根、算術(shù)平方根等概念．(限于篇幅,這里略去相關(guān)例、習(xí)題內(nèi)容)

6 寫在后面

教師在開展教學(xué)設(shè)計(jì)之前要精準(zhǔn)定位教學(xué)目標(biāo),想清教學(xué)重點(diǎn)、辨明教學(xué)難點(diǎn),隨后再選編或重組學(xué)材,設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)活動,突出教學(xué)重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn),達(dá)成教學(xué)目標(biāo)．很多情況下,那些上得“一順到底”的“精致”課堂,往往是教師對教學(xué)難點(diǎn)“一帶而過”,掩蓋了學(xué)生的疑惑點(diǎn)、易錯點(diǎn)．本文以平方根教學(xué)難點(diǎn)的辨析為例,試圖“以小見大”,期待看到更多同行關(guān)注和研究課時(shí)難點(diǎn)這些教學(xué)基本問題．