基于生活情境 研討問題轉化 探索知識框圖
——以蘇科版“銳角三角函數(shù)”章首課為例*

張曉兵

(江蘇省蘇州高新區(qū)實驗初級中學 215151)

1 引言

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》指出:“教學內容是落實教學目標、發(fā)展學生核心素養(yǎng)的載體．在教學中要重視對教學內容的整體分析,幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數(shù)學知識體系．一方面了解數(shù)學知識的產(chǎn)生和來源、結構與關聯(lián)、價值與意義,了解課程內容和教學內容的安排意圖;另一方面強化對數(shù)學本質的理解,關注數(shù)學概念的現(xiàn)實背景,引導學生從數(shù)學概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā),建立起有意義的知識結構．”[1]

初中數(shù)學章起始課是一章正式授課的第1節(jié)課,通常借助章頭圖、章引言、章節(jié)第1節(jié)內容,圍繞全章的單元框架展開,對全章學習的內容、方法等要素進行主線梳理,是承載整章學習內容的先導課．章起始課旨在幫助學生對知識背景、內容結構、邏輯順序、應用方向等形成初步認識,為章節(jié)學習活動奠定基調,并與章中課、章小結課共同構成完整的教學過程,是教學中重要的組成部分．

《銳角三角函數(shù)》這一章節(jié)是在學生已經(jīng)研究了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)及三角形相似的基礎上進行的．蘇科版教材中此章的章引言部分主要設計的是研究“氣球的高度”“大壩壩底的寬度”“用不同的辦法測量旗桿的高度”等,教材中給出的情境離學生的生活較遠,同時情境之間缺少聯(lián)系,這一方面增加了學生的認知負荷,另一方面也難以幫助學生形成系統(tǒng)的認知經(jīng)驗[2]．

數(shù)學要接近學生的生活實際,章起始課的設計,尤其是情境引入環(huán)節(jié)要貼近學生的生活,就在學生身邊,這樣才會引起共鳴．基于此,筆者就從學生在校園內常遇到的生活情境入手,利用問題串逐步探索與本章相關的內容,不斷喚起前后聯(lián)系,借舊知類比思索新知構成,逐步構成知識框架和研究框圖．

2 教學過程

基于以上的學情分析和教情分析,將本節(jié)課的教學目標確定如下:(1)通過觀察生活中不同的斜坡,明確用坡角或坡度來描述斜坡的傾斜程度;(2)通過觀察并研究斜坡的傾斜程度,探索銳角三角函數(shù)的概念;(3)了解銳角三角函數(shù)與相似、函數(shù)等相關知識的聯(lián)系,構建知識框圖,感悟知識生成,提升數(shù)學學習能力．

本節(jié)課的教學重點是銳角三角函數(shù)知識框圖的構建,教學難點是直角三角形中銳角的度數(shù)與邊的比值之間的對應關系．

2.1 創(chuàng)設研究情境

情境1 生活體會——斜坡平緩與角度相關

師:同學們,我們經(jīng)常看到有同學推行自行車從負一樓的車庫到地面,推行時要經(jīng)過兩個不同的斜坡．根據(jù)你們的生活經(jīng)驗和現(xiàn)場觀察,推行自行車經(jīng)過哪一處斜坡會感覺輕松一點?為什么?

生:我是觀察斜坡與地面的夾角,發(fā)現(xiàn)夾角越大越陡峭、越小越平緩,所以根據(jù)估測夾角,發(fā)現(xiàn)第一處斜坡平緩一點,感覺會輕松一點．

生:我認為第二處自行車推行會輕松一點,因為第二處可以站在斜坡旁的臺階上推行自行車,所以會輕松一點,第一處斜坡推行時因為無法借力,所以會滑一點．

師:這兩位同學從不同的角度說明了在這兩處斜坡上推行自行車時的感受.一位同學是從夾角的大小來進行判斷,另一位從推行能否借力的體驗說出了自己的實際感受.考慮到第二處的斜坡較長,將它分成5段幫助推行,每一段均設計了可以借力的臺階,這是學校充分考慮同學們的推行難度而進行的人性化設計,這正契合我校所提倡的要培養(yǎng)有溫度的人．如果只從數(shù)學的角度研究這兩個斜坡的平緩程度,我們發(fā)現(xiàn)可以借助斜坡與地面的夾角的大小來判定和描述．(板書:傾斜程度——角度相關)

情境2 對比觀察——測量夾角可以通過平移實現(xiàn)

師:美麗的校園中處處都有我們想研究的場景,同學們說說看,我們的校園里還能看到什么可供研究的傾斜現(xiàn)象?

生:課前我們在校園里進行觀察,發(fā)現(xiàn)了許多的傾斜現(xiàn)象．譬如不同的臺階呈現(xiàn)的傾斜現(xiàn)象、欄桿呈現(xiàn)的傾斜現(xiàn)象、房屋屋頂呈現(xiàn)的傾斜現(xiàn)象……

師:對比觀察不同的斜坡,它們的傾斜程度如何判斷?你準備怎樣研究?請在小組內先進行交流,然后進行全班展示．

生:用量角器量一下斜坡坡面與地面的夾角的度數(shù)．

生:有時發(fā)現(xiàn)量取夾角有困難,我們可以通過添加平行線來平移角．

情境3 探索發(fā)現(xiàn)——臺階的傾斜程度與比值相關

師:我沿著臺階往上走,這個臺階呈現(xiàn)出來的傾斜程度如何去研究?

生:取其中一段臺階進行研究．

生:臺階底座的傾斜程度就是臺階的傾斜程度．

師:這張圖片是運動場旁邊的臺階,你能確定這個臺階底座的傾斜程度嗎?(出示圖片,略)

(學生們轟然一笑)

生:無法確定．

生:可以借助工具來研究,譬如用測角儀．

師:如果我只有一把刻度尺,如何研究?

生:可以度量一級臺階的水平寬度和豎直高度,可以用豎直高度與水平寬度的比值來描述斜坡的傾斜程度．(板書:傾斜程度與比值相關)

設計意圖通過研究校園內的斜坡和臺階的傾斜程度,學生體會到生活中數(shù)學處處存在.經(jīng)歷對比,發(fā)現(xiàn)傾斜程度與角度或比值相關,從而鏈接起角度與比值的對應關系．

2.2 提煉生成概念

師:我們發(fā)現(xiàn)斜坡的傾斜程度與角度有關,也與相關的比值有關,那么角度和比值之間會有怎樣的關系?

生:我們先研究斜坡與地面的夾角和豎直高度與水平寬度的比值之間的聯(lián)系．

生:我進行了對比研究,度量了兩個不同臺階這幾個量的數(shù)據(jù),并進行了計算,發(fā)現(xiàn)兩個臺階,當它們的夾角角度相同時,豎直高度與水平寬度的比值也相同．

生:我同樣測量了兩個不同臺階的數(shù)據(jù),經(jīng)過計算圖1和圖2的數(shù)據(jù)并根據(jù)相似的相關知識,發(fā)現(xiàn)夾角角度較大時,對應的比值也大,夾角角度較小時,對應的比值也相應較小．

圖1

生:我通過研究,發(fā)現(xiàn)夾角度數(shù)確定時,對應的比值也唯一確定．結合剛剛幾位同學的說法,我發(fā)現(xiàn)夾角的度數(shù)和相對應的比值呈現(xiàn)一種函數(shù)關系,但是這個函數(shù)和以前我們學過的函數(shù)有區(qū)別．

師:同學們通過測量和計算,發(fā)現(xiàn)斜坡與地面的夾角和豎直高度與水平寬度的比值有關系,請借助直角三角形(圖3),來研究它們之間是否具有函數(shù)關系.

圖3

生:前面我們學過了函數(shù)的定義:在一個變化過程中,有兩個變量x和y,對于x的每個值,y都有唯一的值與它對應,就可以稱y是x的函數(shù)．

生:根據(jù)函數(shù)的定義,我們發(fā)現(xiàn)在Rt△ABC中∠C=90°,∠A的度數(shù)和∠A的對邊與鄰邊的比值之間滿足函數(shù)關系．

師:這就是本章要學習的正切函數(shù),詳細的研究過程我們后續(xù)進行,再請同學們觀察并研究,這個直角三角形中類似的關系還有嗎?

學生按照小組進行研究并討論．

生:我們小組發(fā)現(xiàn),這個直角三角形中,從∠A的角度出發(fā),這個直角三角形的三邊長分別是它的對邊、鄰邊、斜邊,兩兩之間的比有6種.所以我們認為有6個比值與∠A之間存在函數(shù)關系．

生:從∠B的角度出發(fā),也有類似的發(fā)現(xiàn)．

師:直角三角形中當∠A確定時,這6個比值確定嗎?

生:確定．反過來,這6個比值中,只要有一個比值確定,那對應的∠A的度數(shù)也確定．

生:只要直角三角形的銳角度數(shù)確定,我們會找到很多的相似三角形,由相似的性質,三邊比值確定．

師:當銳角大小變化時,任意兩邊的比值也會隨之變化嗎?可以利用哪些知識幫助我們解決?

生:會變,利用相似幫助我們解決．

師:小結一下,我們發(fā)現(xiàn),在直角三角形中有兩個變量,一個是角度、一個是比值;當角度發(fā)生變化時,對應的比值也隨之發(fā)生變化,當角度確定時,對應的比值有唯一確定的值與它對應．它們是一個對應的關系,我們稱之為銳角三角函數(shù),具體的內容我們將在后續(xù)學習時一一講解．

設計意圖讓學生在情境引入中收獲對銳角和比值之間對應關系的初步感知,再在研究過程中發(fā)現(xiàn)可以借助直角三角形進行研究,經(jīng)歷“角度和比值相同—角度不同但水平寬度或豎直高度相同—角度不同且水平寬度和豎直高度也不同”的研究,通過相似三角形逐步體會到銳角角度和比值之間的函數(shù)關系,進而引出銳角三角函數(shù)的定義．經(jīng)歷概念提煉的過程,逐步提升對本章研究主體——銳角三角函數(shù)的進一步認知,對本章的研究重點及關鍵點有了更深刻的認識．

2.3 構建知識框圖

師:我們前面已經(jīng)研究過函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù),請你根據(jù)前面研究的經(jīng)驗,思考本章可能會研究哪些方面的內容,并形成結構框圖．

生:結合已學的函數(shù)知識,以及本節(jié)課所學,我們繪制了如圖4的知識框圖．

圖4

設計意圖章起始課既是為了引入章節(jié)學習,明確知識基礎、學情基礎,也要起到引領的作用.通過章起始課的學習,明確本章學習的基本方向及其延伸趨勢．本節(jié)課讓不同的學生根據(jù)自己的思考繪制思維導圖,既起到承前啟后的作用,也通過章起始課的學習提升單元教學的統(tǒng)整和統(tǒng)領作用．

2.4 課堂小結(略)

3 教學感悟

3.1 基于問題情境,滲透模態(tài)學習

初中數(shù)學學科教學應致力于學習方式的轉變,倡導積極主動、勇于探索的學習方式,讓學生通過不同的自主學習、探索活動來體驗數(shù)學的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的歷程,發(fā)展他們的創(chuàng)新意識,讓學生的數(shù)學學習活動成為一個靈動的、主動的和富有個性的過程．這就需要在平時的數(shù)學教學過程中,創(chuàng)設符合學生認知的數(shù)學問題情境.情境的創(chuàng)設要貼近學生生活,本節(jié)課通過創(chuàng)設問題情境——探究在不同斜坡上推行自行車和研究校園內不同臺階呈現(xiàn)的傾斜程度,讓學生經(jīng)歷“觀察—發(fā)現(xiàn)—測量—探究”,用不同模態(tài)呈現(xiàn)知識,從而提出情境背后的聯(lián)系和發(fā)現(xiàn),并通過模態(tài)呈現(xiàn)、模式發(fā)現(xiàn)、模型解決,探求一種能讓學生“數(shù)學地”解決數(shù)學問題的策略與方法．同時經(jīng)歷“數(shù)學之觀”“數(shù)學之作”“數(shù)學之思”,讓數(shù)學教學實現(xiàn)情境模態(tài)化、表達模態(tài)化、反饋模態(tài)化．

3.2 研討問題轉化,提升認知水平

初中數(shù)學教學過程中,應基于學生的已有認知水平進行教學設計,培養(yǎng)學生的數(shù)學觀察力、數(shù)學探究能力和創(chuàng)新能力,以實現(xiàn)學生高認知水平提升．在學習銳角三角函數(shù)之前,學生已經(jīng)對函數(shù)部分有了較為清晰的認識,但是銳角三角函數(shù)與前面學習的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)既有類似,也有區(qū)別．我們要找到其中的共性進行設計,引發(fā)類比、轉化等數(shù)學思想方法的滲透,同時也要抓住個性問題進行突破,尋脈絡、扣關鍵,抓住知識的生成培養(yǎng)學生高認知水平．這樣的教學實踐依托新課程標準和認知學習理論,立足于學生高認知水平的提升,強調對數(shù)學本質的認識,注重提高學生的數(shù)學思維能力和創(chuàng)造力,推進學生數(shù)學素養(yǎng)的形成．

3.3 探索知識框圖,優(yōu)化認知結構

初中數(shù)學章起始課教學可以優(yōu)化學生數(shù)學學習的認知結構．章起始課教學具有“先行組織者”的作用,拉長知識的“生長鏈”符合學生認知發(fā)展規(guī)律,優(yōu)化學生的認識結構．其中探索知識框圖的構建,更是促進學生由 點連線、以線聯(lián)面的問題提煉和知識總結的能力．本節(jié)課中讓學生對研究內容進行回憶、反思、小結、反饋,并繪制思維導圖,從而讓課堂教學引發(fā)的思考得以延續(xù)和深入,尤其是知識統(tǒng)整時,讓學生系統(tǒng)化地認識這一章節(jié),讓學習內容系統(tǒng)化,有助于學生建立知識框架,更深刻地理解本章節(jié)內容．

初中數(shù)學章起始課教學可以讓學生享受完整的數(shù)學學習過程,這符合課程標準所倡導的“數(shù)學知識的教學,要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’,把每堂課教學的知識置于整體知識體系中”這一教學理念[3],打破了常規(guī)教學中只重視單個知識點、限制學生視野的狀況,旨在挖掘知識與方法的關聯(lián)性,指導學生構建知識體系,規(guī)劃研究路徑,尋找研究方法．