初中數學跨學科項目式學習的教學實踐與思考
——以“土圭遇數,九畿見學”為例*

周青松

(江蘇省蘇州工業園區獨墅湖學校 215021)

李明樹

(江蘇省蘇州工業園區東沙湖實驗中學 215021)

王曉峰

(江蘇省蘇州工業園區教師發展中心 215021)

1 跨學科項目學習的重要性與必要性

《義務教育數學課程標準(2022)年版》在“課程內容”中提到:以跨學科項目學習開展“綜合與實踐領域的教學活動,以解決實際問題為重點,以跨學科主題學習為主,以真實問題為載體,適當采取主題活動或項目學習的方式呈現,整合數學與其他學科的知識,完成跨學科實踐活動,感悟數學與生活、數學與其他學科的關聯,發展學習能力,實踐能力和創新意識”[1].跨學科項目學習是指學生對兩個或兩個以上學科的知識體系和認知方法在理解基礎上的整合,從而創造出新的理解的學習過程[2].筆者理解為:數學跨學科項目式學習,是以數學為核心知識載體,融合物理、地理、信息等其他學科知識,解決真實情境或生活中的實際問題的學習活動.土圭是一種古老的測量日影長短的工具,作為跨學科研究項目,以數學核心知識為載體,融合地理、信息學科知識,探尋土圭的數學原理,建立函數模型,動態直觀展示影長隨太陽高度角正切值的變化規律,創造性地解決問題,建立影長與二十四節氣劃分的聯系,形成公開成果,提升學生跨學科學習能力.

2 項目設計思路

2.1 項目學習背景

通過觀察記錄土圭正午時影子的長短變化來確定季節的變化,后期根據圭表日影長度確定“二十四節氣”,進而思考:土圭的數學原理是什么?影長與二十四節氣劃分又具有怎樣的聯系?通過對土圭的探究,進一步感悟時間的意義和度量時間的必要性.

2.2 項目學習目標

(1)通過互聯網搜索、文獻資料查詢、請教老師等,認識土圭,了解土圭的歷史文化背景.

(2)融合跨學科知識對土圭的數學原理進行分析,發展直觀想象能力,提升從實際情境中抽象成數學問題的能力.

(3)經歷土圭數學原理的探究過程,了解影長、物高、太陽高度角的變化關系,建立函數模型、求解模型、應用模型,發展邏輯推理、數學運算能力.

(4)經歷制作現代土圭與實踐測影的過程,發展實踐能力、應用意識和創新能力.

2.3 項目學習結構

本項目以數學作為核心知識載體,以問題作為任務驅動,項目中涉及跨學科知識,數學和地理老師根據任務需要合作完成指導,解決學生在探究過程中遇到的問題與困惑．項目實施分為課內、課外兩部分:課內主要是信息收集與整理,融合數學、地理、信息學科知識,探究土圭數學原理,猜想節氣劃分與影長的關系;課外主要是提出研究問題、設計方案、實踐測影、獲取數據、驗證比對、交流反思等問題,具體過程如圖1所示.

圖1 項目學習結構圖

2.4 項目任務結構

項目式學習堅持以問題為導向,引導學生在真實情境中發現問題、提出問題,在分析和解決問題的過程中,發現并提出新的問題,不斷修正完善,以問題來驅動思考.在項目實施中,學生完成原理探究、實踐測影、交流反思、設計完善作品、總結提升等學習任務,具體設計如圖2所示.

圖2 任務結構圖

2.5 項目學習過程

本項目學習過程設計如表1所示.

表1 項目式學習過程設計

3 項目的組織實施片段

項目實施的核心任務是任務3“學科融合,探尋土圭之法”,以下是研究過程、課堂展示的實踐.

3.1 活動1:平行投影

問題1 什么是平行投影?

問題2 在平行光的照射下,不同物體物高與影長是否成比例?

操作:學生分成不同小組,在不同的時間測量不同學生的身高,利用卷尺測量并記錄影長填入表格,如圖3所示．

圖3 第三組實踐測影記錄表

總結:實驗結果是不同物體物高與影長不成比例．

問題3 影長隨時間的變化而變化,在平行光的照射下,同一時間,不同物體的物高與影長是否成比例?

操作:學生分成不同小組,同一時間,測量不同學生的身高,利用卷尺測量并記錄影長,填入表格(略)．

總結:實驗結果是不同物體物高與影長成比例．

問題4 在平行光的照射下,你能用相似三角形的知識說明不同物體物高與影長成比例嗎?

總結:同一時間、同一地點,不同物高與影長成比例．

反思與評價通過實踐操作收集實測數據,引發思考,探究影響不同物體物高與影長成比例的因素．經大膽猜測、細心實證得出結論,為學生提供真實思考、質疑、探究、合作、交流的機會．

3.2 活動2:數學建模

將土圭實物抽象成數學模型Rt△ABC,如 圖4所示,設AB=h,BC=y,∠ACB=θ,結合所學的知識探究影長的變化情況．

圖4

問題5 影長與物高間有何數量關系?

生2:影長y是關于∠ACB正切值的反比例函數．

師:太棒了!

追問:大家說說這里用到了什么知識?

生3:函數知識,銳角三角函數、反比例函數.

問題6 ∠ACB是太陽光線與圭面形成的夾角,如何求解?

生4:會不會是地理學科中的太陽高度角?

師:我們可以求助地理老師．

反思與評價將土圭實物工具抽象成數學模型直角三角形,以數學知識為核心,融合地理學科知識,建立了影長與太陽高度角正切值的函數關系．項目實施過程中,應注重對學生的啟發引導,動手操作與動腦思考有機結合,培養學生的數學建模意識和勇于探究的精神．

3.3 活動3:學科融合

項目小組與地理老師交流,得知太陽高度角(地理學術語)是指地球上的某個地點太陽光入射方向和地平面的夾角.從更專業的角度上講,太陽高度角是指某地太陽光線與通過該地和地心相連的地表切面的夾角,進而∠ACB可以近似看成太陽高度角．

反思與評價融合地理學科知識,解決太陽高度的問題,進一步探究影長與太陽高度角正切值的關系．鼓勵學生大膽嘗試,勇于創新,提升融合多學科知識解決問題的能力．

3.4 活動4:解決問題

根據上述公式,借助網絡畫板工具,結合蘇州工業園區獨墅湖的緯度,便可近似求出在當年正午時刻春分、夏至、秋分、冬至四個特殊節氣的近似影長．類比此法也可以近似求出在當年二十四個節氣的近似影長,如圖5所示.

圖5

反思與評價在實踐中應用并檢驗公式,引導學生在真實情境中分析問題、解決問題.借助網絡畫板工具,動態直觀地展示了影長的變化情況,并結合獨墅湖的緯度計算出在四個節氣的影長,培養學生的邏輯推理能力和運算能力.

3.5 活動5:項目小結

引導學生從知識、方法、工具層面總結項目實施過程中的收獲,如圖6.

圖6

反思與評價學生在項目實施過程中積累了豐富的活動經驗,有數學內部的知識基礎、數學外部的學科融合,還有實物工具、網絡畫板工具的輔助,讓學生感受到成功的樂趣．教師要引導學生及時總結成功經驗,保持一個樂學、愿學、會學的積極狀態.

4 項目反思與建議

4.1 基于真實情境,讓問題真實存在

跨學科項目主題學習中,基于真實情境提出驅動問題,以問題驅動思考,這是項目式學習的靈魂．土圭實物工具的呈現,引發學生思考:工具如何使用?尤其在了解了土圭歷史文化起源后,激起強烈求知欲望.土圭工具包含現實情境、數學情境,很好地激發了學生的好奇心與探究欲望,符合學生的當前認知與心理發展水平,進而引發對數學問題的提出與思考.

4.2 融合跨學科知識,讓學習真實體驗

數學跨學科項目學習,是以數學為核心知識載體,融合物理、地理、信息等其他學科知識,解決真實情境或生活中的實際問題的學習活動.土圭實物抽象成數學模型直角三角形,用數學的知識和方法建立了銳角三角函數模型、反比例函數模型,在分析求解模型過程中,融入地理學科太陽高度角的知識,發現了影長與太陽高度角正切值之間的反比關系.學生在探究中大膽提出問題,借助網絡畫板動態直觀驗證,打破傳統數學學習的壁壘,實現了融合地理、信息學科的跨界學習,讓學習在合作中真實發生,提升了跨學科學習的素養．

4.3 立足實踐設計,讓創新真實發生

PBL(項目式學習)是一種為未來而教、系統的教學方法,通過干預和拓展學生探究過程,針對復雜、真實的問題,精心設計產品(作品)和學習任務,讓學生從中學習重要的知識和技能,在實踐操作中驗證學習效果.項目實施中探究了土圭的數學原理,建立了影長與二十四節氣之間的聯系．結合實踐測影長的體驗,項目小組對土圭進行改良設計,添加的指南針用于確定方向,電子表用于計時,厘米刻度尺方便直接讀取數據．為方便攜帶和美觀,還融入折疊式、黃金分割的理念.重新設計的土圭呈現便捷化、現代化、智能化、藝術化特點,在活動中實現了做中學、用中學、創中學,培養了學生的創新能力和工程思維.

學生經歷了選擇項目、成立小組、制訂計劃、研究方案、實施項目、交流總結、評價項目等數學跨學科項目式學習的過程,夯實了“四基”“四能”,提升了學習的主觀能動性,打破了學科學習的壁壘,在跨界學科融合中體驗學習的樂趣,理解學科知識、融通學科方法、感知學科魅力,有助于獲得成就感,愛上數學,愛上學習．