綴述高中數學教科書中的“楊輝三角”*

付云菲 代 欽

(內蒙古師范大學科學技術史研究院 010010)

1 前言

中國古代數學取得了令人矚目的輝煌成就．中小學數學教科書承載著中華優秀傳統文化傳承和育人的重要功能,現行六個版本的高中數學教科書在編寫二項式定理內容時均以不同形式介紹了“開方作法本源”(圖1①(1)①“開方作法本源”圖出自明代《永樂大典》中抄錄的楊輝《詳解九章算法》．人教B版、北師大版、蘇教版、湘教版、滬教版高中數學教科書也稱“楊輝三角”為“賈憲三角”.),并采納華羅庚的建議[1]將其稱為“楊輝三角”．實際上,該算表為賈憲②(2)②賈憲(約11世紀)為北宋數學家,生平籍貫不詳．賈憲總結《九章算術》以來的開方程序,提出立成釋鎖法,創造“開方作法本源”圖．所著,楊輝明確指出“開方作法本源出《釋鎖》算書,賈憲用此術．”[2]故稱其為“賈憲三角”更為合理．滬教版[3]和鄂教版[4]教科書僅出示賈憲三角中的數碼,并未體現“開方作法本源”圖原貌．人教版[5-6]、北師大版[7]、蘇教版[8]和湘教版[9]均引用賈憲三角原圖．

圖1 開方作法本源

高中數學教科書多出示賈憲三角讓學生探究二項式系數和組合數的性質,教科書的編排更多側重于賈憲三角數碼形式上的排列、數列性質的推導及其在當時領先于世界的斐然成就,對賈憲三角中的名詞術語和歌訣或不予理會③(3)③如北師大版、湘教版教科書．,只專注于數碼的排列,或只簡單地介紹④(4)④人教A版教科書簡單介紹了“平方”“立方”“三乘方”及歌訣的作用,并未說明歌訣的含義．,未提供數學思想方法上的有益信息,甚至出現訛誤⑤(5)⑤蘇教版教科書對歌訣作出的字面解釋最為詳盡,但對“以廉乘商方”的解釋有誤,后文將詳細說明．另外,湘教版教科書對楊輝對賈憲三角中數碼排列的解釋出現誤讀,后文將具體闡述．,體現在對歌訣及數碼排列方式的誤讀．以致學生對圖中出現的名詞術語和歌訣不明其意,更不了解其背后蘊含的深刻的中國傳統數學智慧．同時,也讓教師處于為人師卻不能解其惑的尷尬境地．基于此,了解賈憲三角的結構和功能,考察賈憲三角數碼構造的歷史方法,解析其中名詞術語及歌訣的深刻內涵成為亟待解決的問題．下面就賈憲三角中的名詞術語、數碼和歌訣三個方面加以闡釋,以期為數學教科書中相關問題的編纂和高中數學教師的課堂教學提供數學史方面的資源支持．

2 賈憲三角釋義

賈憲三角由排列成三角形的數碼、中國古代數學的名詞術語和橫線下方的五句歌訣構成．“開方作法本源”所講相當于(a+b)n(當n=0,1,…,6時)的展開系數表及構造法[10]217．出自《釋鎖》⑥(6)⑥賈憲有數學著作3部,即《黃帝九章算經細草》9卷、《算法敩古集》2卷和《釋鎖》,都早已失傳．算書,賈憲借助該算表進行開方的方法被形象地比喻為開鎖,可見此算表對中國古代開方術而言如同鑰匙般能夠使計算變得簡便．

2.1 名詞術語釋義

賈憲三角中自上而下共出現“左積”“右隅”“本積”“商除”“平方”“立方”“三乘”“四乘”“五乘”九個名詞術語．這里的“積”“隅”包括歌訣中出現的“廉”,都是古代數學開方①(7)①開方是從已知正方形中不斷割去正方形及曲尺圖形的運算[11]281．專用術語,源自其幾何解釋．“積”取乘積之意．“隅”在《說文解字》中釋為山角[12],在數學中則是多角形或多面體之角頂之意[13]．“廉”指堂屋的側邊[14]．以開平方為例,在(a+b)2的幾何圖示中(圖2(1)),a2是一個大正方形,稱為“積”,也被稱為“方”(圖2(2)[15])．b2是右下角的小正方形,稱為“隅”,而2ab位于圖形的兩側,稱為“廉”．在賈憲三角中,“積”表示(a+b)n中an的系數,“隅”表示bn的系數,“廉”表示中間項an-rbr(1≤r

圖2

“左積”即左側斜行的“一”,包括最上方的“一”(又被稱為“本積”)．“右隅”即右側斜行的“一”.“左積”“右隅”說明了算表的排列方式和結構基礎．開方運算“有實而無法,商約而除之”②(8)②意為開方運算只有被除數而沒有除數,只能估商而除[15]451．．“商除”指的是通過先估商,再用商乘除數與被除數相減的開方方法③(9)③“以法與實商議而得商,用商乘法以減實,稱為商除”[15]109．．在現代數學看來,“本積”和“商除”分別對應著(a+b)0和(a+b)1的展開系數,可使算表更完備．“平方”“立方”對應的數據是開平方根和開立方根的系數．相應地,“三乘”“四乘”“五乘”對應著求四次冪、五次冪、六次冪根時多項式的展開系數．在我國古代數學中,“自乘”代表平方,如《周髀算經》所述“勾、股各自乘,并之為弦實”[16]．“再乘”代表立方,程大位《算法統宗》卷六中的“開立方歌”明確指出“自乘為平方,再乘為立方”[15]499,所以“三乘”是開四次方,“四乘”是開五次方,依此類推．

2.2 數碼釋義

賈憲三角的核心是由28個數碼構成的三角形,賈憲的構造方法與現代教科書中的構造方法有較大區別．湘教版高中數學教科書指出“楊輝在書中說明:表中每一行兩端都是數字1,而其余位置上的每個數都等于它‘肩上’兩個數的和”[9]199．這句話是不嚴謹的．賈憲三角的現代構造法確實如此,但楊輝在《詳解九章算法》中說明賈憲的增乘方求廉法是自下而上,自右而左的．“以隅算一,自下增入前位,至首位而止……復以隅算如前升增,遞低一位求之”[2]450(圖3)．

圖3 “開方作法本源”計算順序

下面具體說明賈憲三角的構造方法．首先在右斜行寫六個一作為“隅”,第二斜行的五個數是通過依次累加“隅”得到的,第二斜行的六是由1+1+ 1+1+1+1=6算出,五是由1+1+1+1+1=5算出,依次類推第二斜行計算完畢．接下來,不算右側的六,將第二斜行的其他“廉”與“隅”相加,得5+4+3+2+1=15,作為第三斜行的首位,依次算出4+3+2+1=10, 3+2+1=6,2+1=3,第三斜行計算完畢．繼續不算右側的十五,算第三斜行的其他“廉”與“隅”相加,得10+6+3+1=20,作為第四斜行的首位,再依次算出6+3+1=10,3+1=4,第四斜行計算完畢．同理,第五斜行的數由第四斜行除二十外的其他“廉”與“隅”相加,即10+4+1=15,4+ 1=5計算而來.最后,第六斜行由5+1=6得來.至此所有的“廉”計算完畢[10]221-222(表1)．通過這樣的方法可以計算n次乘方的任何“廉”．算完“廉”之后,將“積”補充在算表的左斜行,便完成了“左積”“右隅”“中藏者皆廉”的賈憲三角．

2.3 歌訣釋義

賈憲三角的下方歌訣為:左袤乃積數,右袤乃隅算,中藏者皆廉,以廉乘商方,命實而除之．這里的“左袤”“右袤”是“左邪”“右邪”的誤寫[17]．“邪”古體作“衺”,和“袤”字形相近,“邪”又通“斜”①(11)①見[17].另,孫宏安認為,“袤”并未誤寫,長方形土地東西的長叫做廣,南北的長叫做袤,南北引申為上下[18]．．

表1 賈憲釋鎖求廉法

歌訣的前三句說明了賈憲三角的結構特征．“左袤乃積數”與“左積”呼應,“右袤乃隅算”②(12)②“隅算”即“隅數”[13]．與“右隅”呼應．“中藏者皆廉”中的多個“廉”有不同的稱謂,如在算表“五乘”中,從第二位起,從左至右依次為上廉、二廉、三廉、四廉、下廉[19]．

歌訣后兩句“以廉乘商方,命實而除之”③(13)③“實”是古代數學除法中的被除數,在開方術中為被開方數．這里的“除”是“除去、減去”的意思[13]．,蘇教版高中數學教科書中給出這兩句話的解釋:“以廉乘商方”說的是用各次廉乘商(一位得數)的相應次方;“命實而除之”是說從被開方數“實”中減去最后所得的廉與商的乘積[8]91-92．教科書中將“商方”釋為“商的相應次方”有待商榷．事實上,這兩句歌訣是中國古代數學開方術的關鍵步驟．錢寶琮認為,在“以廉乘商方,命實而除之”的前面還應加入“以隅乘商廉”．意思為:以商乘隅加入廉法,以商乘廉加入方法,以商乘方法從“實”中減去,增乘開方法就是這樣驗算的[17]41．梅榮照、李兆華也認為,后兩句說明該圖之用法．做開方運算時,如方根是兩位數或多于兩位數,在求得第一位數之后,并經減根變換,原開方式便變成以圖中各廉為系數之方程．商得第二位數后,以商得數乘隅并入廉,乘廉從實內減去．此即“以廉乘商方命實而除之”．文中只提以廉乘商,未提以商乘隅,當是省略[15]536．

賈憲的開平方法用算籌布置“實”“方法”“下法”④(14)④“下法”中的“下”表示最下層,“法”有除數的含義,在開方術中用來輔助計算．三層,開立方法布置“實”“方法”“廉法”“下法”四層[17]37．這里“方”“廉”“隅”對應著開方過程中算籌擺放相鄰的三個位置．下面以x3=1 953 125為例說明賈憲增乘開方法的步驟:

①置積為實,別置一算,名曰下法．

②實上商置第一位得數(1)．以上商乘下法置廉(1×1 000 000=1 000 000),乘廉為方(1×= 1 000 000),除實(1 953 125-1 000 000= 953 125)訖．

③復以上商乘下法入廉(1×1 000 000+ 1 000 000=2 000 000),乘廉入方(1×2 000 000+1 000 000=3 000 000)．

④又乘下法入廉(1×1 000 000+2 000 000=3 000 000)．

⑤其方一(300 000)、廉二(20 000)、下(1 000)三退．

⑥再于第一位商數之次,復商第二位得數(2)．以乘下法入廉(2×1 000+30 000=32 000),乘廉入方(32 000×2+3 000 000=364 000)．

⑦命上商,(364 000×2=728 000)除實(953 125-728 000=225 125)訖．復以次商乘下法入廉(2×1 000+32 000=34 000),乘廉入方(34 000×2+364 000=432 000)．

⑧又乘下法入廉(2×1 000+34 000=36 000)．

⑨其方一(43 200)、廉二(360)、下(1)三退,如前．

⑩上商第三位得數(5),乘下法入廉(5×1+360=365),乘廉入方(5×365+43 200=45 025),命上商(225 125-45 025×5=0)除實．適盡．得立方一面之數．

最后求得1 953 125的立方根為125．對應的現代解法如下:

圖4 增乘開方法解題步驟演示

由增乘開方法開立方根的過程可知,“以廉乘商方,命實而除之”是中國古代開方法的關鍵步驟.中國古代開方術在不斷的“廉乘商入方”“命上商除實”中實現減根變換的過程．

3 結語

中華傳統文化博大精深,中國古代的數學成就如同一顆明珠在世界文化史中熠熠生輝．但由于中國古代數學與現代數學在名詞術語和計算方法上存在較大的差異,教科書中介紹的中華優秀傳統數學文化大多局限于介紹數學家生平、數學成就及其世界影響,而對中國傳統數學中巧妙的算理算法、數學思想等核心內容介紹不夠明確或全面,以致學生難以接觸到中華優秀傳統數學文化的精髓,多滯留于表面.正如高中數學教科書中的賈憲三角,學生只知其名稱,不知其內涵,更不知名詞術語中隱含的文化底蘊和數形結合的思想方法,對于其背后蘊含的中國古代數學智慧的結晶——增乘開方法更無從談起．

中華優秀傳統數學文化融入中小學數學課程是中國特色數學課程發展的重要途徑,同時也要認識到將中華優秀傳統數學文化融入數學課程并非生搬硬套,也絕非形式主義,而是需要更多的數學教育工作者將中華優秀傳統數學文化“掰開揉碎”,以現代數學語言講述中國古代數學的思想方法,在現行教科書中的課程結構中融合中華優秀傳統數學文化,讓學生體會中國古代數學思想方法的魅力,從而激發學生數學學習的熱情,賦予高中數學課程更加旺盛的生命力．