高中數學教師編題方法與技巧探析

陳鑫城

(廣東省普寧市華僑中學 515300)

作為高中數學教師,要想提高教學質量、激發學生的學習興趣,有很大部分取決于題目是否吸引學生,是否能滿足學生當下的學習需求．而編寫高質量的數學題目是解決該問題的重要方法．編寫題目并不是專家的獨有技能,普通教師也能通過不斷的學習、思考和實踐,找到適用的編題方法．本文將探討高中數學教師如何利用聯想思維、解題與編題的結合、閱讀素材的積累與運用等方法,編寫出具有挑戰性和創新性的數學題目．

1 聯想思維的運用

數學題目不僅僅是單純的數學算式和公式的應用,更重要的是它所蘊含的數學思維方式和對邏輯推理能力的訓練．編寫數學題目的過程需要教師具備豐富的聯想思維能力,通過靈活應用不同的數學知識和技能,對題目進行多層面的改編、重構和完善,以達到創造富有挑戰性和啟發性的數學題目的目的．教師要時刻保持敏銳的觀察能力和辯證思維能力,深入探究題目所蘊含的內在規律和特點,拓展思考的廣度和深度,不斷挖掘題目的潛在價值和解題思路．同時,在編寫數學題目的過程中,教師還需注重拓展題目的解題方法,以便讓學生從不同角度去思考,提高應用和分析能力,培養他們的創新思維和解決問題的能力．只有這樣,才能讓學生在學習和探索過程中形成有效的數學思維方式和解題方法,為他們未來的學習和生活奠定堅實的數學基礎．

下面以2022年全國Ⅰ卷圓的公切線問題為例,來講述聯想思維的運用．

例1(2022年全國Ⅰ卷)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程．

圖1

點評方法1主要應用方程思想,利用點到直線的距離公式,建立方程組,然后解方程求出與兩圓相切的切線方程,思路比較簡單,教師在講授過程中可以在解方程組上下功夫,引導學生有效、準確地求出方程的解．方法2主要通過數形結合的方式明確三條切線的位置,然后利用點到直線的距離公式求出圓與圓的切線方程．

在熟練掌握例題的兩種解法的基礎上,教師在編題時可運用聯想思維進行如下思考:

思考1 例題中直接給出兩個圓的標準方程,求圓與圓的公切線,能否將圓的方程一般化,并在圓的方程上設計參數,先進行參數的求解,再依據例題的方法求圓與圓的公切線?依據此聯想,設計如下變式題:

變式題1 已知圓C1:x2+y2-6x+2ay+ 10=0關于直線x+y=0對稱,圓C2:x2+y2=2,請寫出一條與圓C1,C2都相切的直線方程．(寫一條即可)

思考2 例題以圓與圓為載體求切線,能否更換載體?依據此聯想,設計如下變式題:

變式題2 寫出一條與圓x2+y2=1和曲線y=x2+5都相切的直線的方程．

總之,教師在編寫題目前,要具備聯想思維,要具有敢想、靈活、適度、趣味等元素,這樣才能夠編出富有啟發性和創造力的各類題目．

2 解題與編題的結合

解題與編題的結合是數學教學中非常重要的一環．解題是提高編題能力的基礎,因為只有通過大量的解題實踐,才能了解題目背后的數學原理、規律和方法,這對于編寫出高質量的數學題目非常重要．在解題的過程中,教師應該注重題目的設計意圖,理解問題背后的目的和要求,通過靈活的思維和方法解決問題．同時,教師還應該掌握變換題目的方法,并將這些變換靈活運用到自己的編題中,從而設計出更多樣化的、富有挑戰性的數學題目．除此之外,教師在解題的過程中還需要注意培養自己的解題習慣,通過接觸課本例題、習題、教輔題、競賽題等多種類型的題目積累經驗,并不斷提高自己的解題水平．這些經驗和素材將為教師編寫高質量的數學題目提供豐富的資源和創意．因此,教師在日常的教學工作中應該不斷注重解題與編題的結合,提高自己的教學質量和水平．

2.1 注意由淺入深

下面以數列求和為例,從解題實踐和編題實踐兩個方面來講述如何進行解題與編題的結合．

例2已知等差數列{an},其中a1=2,公差d=3,求該數列前10項和S10．

本題主要考查等差數列的前n項和公式,題目相對簡單.對于難度,編題時教師可以遵循由淺入深的原則,讓基礎較差的學生“吃得飽”,在此基礎上,教師可設計以下變式題:

變式題1 已知等差數列{an},其中a1=2,公差d=3,求該數列中所有小于40的項的和．

改編方向 將題目由求有限項的和轉變為求不等式限定項的和．

改編意圖增加題目的挑戰性,讓學生學會應用等差數列求和公式與不等式相結合的解題方法．

改編方向 通過構造新數列,引入分式內容,通過裂項相消法進行求和．

改編意圖拓展學生的解題思路,鍛煉數列變換和裂項相消法求和的技巧．

變式題3 已知等差數列{an}和等比數列{bn},其中a1=2,公差d=3,b1=1,公比q=2,設cn=anbn,求數列{cn}的前n項和Tn．

改編方向 引入等比數列,構造混合數列求和問題．

改編意圖豐富題目的內涵,提高題目的難度,使學生學會分析和解決綜合性問題．

通過多角度、多層次的編題,教師可以有效地培養學生的解題能力,以便應對各種考試和實際問題．

2.2 注意直擊重點

圓錐曲線解答題一般分為兩問.第一問多是求圓錐曲線的方程,這一問大部分學生能夠順利解決,而第二問能解答的卻寥寥無幾.教師在進行圓錐曲線第二問重點突破的時候,不妨對圓錐曲線的題目進行如下改編:

(1)求E的方程;

我們的目的主要是對圓錐曲線問題第二問進行講解,花費時間讓學生求圓錐曲線方程顯得有點多余,所以教師講解圓錐曲線的大題時不妨對題目進行改編,直接給出圓錐曲線的方程,一方面讓學生可以明確解題的重點,另一方面也可以避免部分學生產生畏難情緒,對于難的大題就只做第一問．

2.3 注意變換結構

同構法是高中數學解題方法中的一個難點,它主要的一個用途在于解決導數的恒成立問題.但是學生由于對這種方法不熟悉,往往會感到懼怕,教師在編題時可以通過變換結構,適當降低難度．下面以一道導數恒成立問題為例:

例4已知函數f(x)=axe-x-x+lnx,若f(x)≤1恒成立,則a的取值范圍為．

改編題已知函數f(x)=axe-x-x+lnx,若f(x)≤1恒成立,則a的取值范圍為．

通過變換結構,在題目中展示了部分解答,一方面有助于學生了解同構法,另一方面也降低了題目的難度,有利于提高學生的解題興趣．

3 閱讀素材的積累與運用

廣泛閱讀不僅能夠培養教師的學識和素質,還能為教師編寫題目提供豐富的素材．首先,教師應該建立一個系統化的閱讀素材庫．這個庫可以包括各種數學教材、期刊、報紙、網絡資源等．教師需要對素材進行分類整理,比如按難度、題目類型等進行分類．通過建立閱讀素材庫,教師可以快速地找到自己需要的素材,提高編題的效率．

其次,教師應注重創新．閱讀素材并不意味著直接照搬照抄,教師還需要思考和改編,讓題目賦有創意并貼近生活．例如,教師可以將數學和其他學科結合起來,創造出新穎的跨學科題目,或者將歷史、文化等元素融入到數學教學中,激發學生的興趣和想象力．

另外,教師還應該注重實際應用．數學教學并不應該離開現實,教師應注重將數學與實際問題相結合,讓學生了解數學在現實生活中的應用和意義．對于教師來說,也應該從實際生活中吸取素材,讓學生更好地理解和應用數學知識．教師應主動去思考,發散自己的思維,嘗試將我們遇到的社會熱點改編成一道道數學題．

例如,“中國互聯網絡信息中心發布的《第51次中國互聯網絡發展狀況統計報告》顯示,截至2022年12月,我國網絡視頻(含短視頻)用戶規模達到10.31億．其中,短視頻用戶規模為10.12億,較2021年12月增長7 770萬,占網民整體的94.8%．其中,使用過短視頻的青少年群體占比65.6%,活躍用戶達20%．因此,在移動互聯網時代,青少年群體已成為短視頻使用的重要用戶群體．”

編題流程 首先從新聞中抽取關鍵詞“青少年”“短視頻”,其次選擇考查內容,這里選擇概率,然后發散思維,翻閱素材庫,結合素材,編題如下:

原創題在移動互聯網時代,青少年群體已成為短視頻使用的重要用戶群體．某大學進行了一項調查,其中20%的受訪青少年表示每日使用短視頻超過3 h．若該大學隨機抽取3名受訪青少年,則至少有1人每日使用短視頻超過3 h的概率為．

編題是一件很有趣的事情,可以讓教師在教學過程中不斷地完善自己的知識體系,改進教學技巧．編題不僅可以培養教師的想象力和創造力,還能夠讓教師更深入地了解學生的學習情況,幫助他們提高自己的數學能力和思維能力[1]．

4 結論

高中數學教師增強自己的編題能力不僅有利于提高教學質量,而且也是其提升自身教學能力的必要手段．在編題的過程中,教師需要根據學生的實際情況選擇適合的題目類型和難度,讓學生既能夠在題目中鞏固知識,又能夠感受到數學的樂趣．同時,教師還需要注重題目的設計,讓學生在解題過程中體驗到挑戰和成就感．此外,編題還可以促進教師之間的交流和學習．當教師在編題的過程中遇到問題時,可以和其他教師進行交流和討論,共同解決問題,進一步提高編題的質量．

總之,教師在編題過程中應該積極投入其中,不要害怕困難．只要教師用心去編寫,深入了解學生的學習情況,結合自己的經驗和創意,一定能夠創造出具有挑戰性和創新性的數學題目,彰顯教師的專業素養和魅力．