基于“扶放有度”教學模式的數學探究活動設計
——以“利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質”為例

王澤學 陳 維

(伊犁師范大學數學與統計學院 835000)

1 引言

教學設計常見兩大誤區:聚焦灌輸的教學和聚焦活動的教學[1]．在課程改革的實踐中,越來越多的教師意識到灌輸教學的弊病,而項目化學習、STEM教育、合作學習等逐漸盛行．《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標》)也將數學建模活動和數學探究活動納入到必修課程的主題中．但在以活動為導向的設計中,教師與學生之間所扮演的角色非常關鍵．比如,在活動前學生還未掌握完成任務所需的相關知識和技能,此時教師作為學習的指導者發揮作用,進行講解和示證,此為“扶”．而在應用知識時,教師不應再主導學生的思維,應讓學生獨立表現,此為“放”．這種“扶放有度,教學有序”的模式有效地規避了兩種極端的教學設計,更能推進學習者主動參與學習,培養學生的自主學習能力,提升學生的學科素養．

2 “扶放有度”教學模式

“扶放有度”教學模式是由美國圣地亞哥州立大學的費希爾(Douglas Fisher)和弗雷(Nancy Frey)共同提出的,包括教師示證、教師輔導、同伴協作和獨立表現四個階段(圖1),它有效地實現了從教師主導到學生主導的成功轉變[2]．

圖1 “扶放有度”教學模式

教師示證是教學設計一個重要部分,包括明確目的、教師示范或演示、出聲思考和關注學生表現四個特點[2]．有了教學目標,學生才能知道應該做什么,把握學習的時機,抓住學習的重點,當然所制訂的教學目標要讓學生能看懂．除了明確目的以外,還要通過教師示范或演示、出聲思考來闡述專家思維．教師輔導階段是認知負荷從教師轉移至學生的階段．在這一階段,教師通過提問、提示或提供線索來為培養學生的技能和知識學習搭建腳手架．所以教師所提出的問題很重要,可以檢測出學生的理解情況,發現學生問題所在或者錯誤思路,教師能靈活地對學習中內容、過程和結果進行差異化處理,達到精確教學的目的[2]．同伴協作這一階段經常被教師忽略,若運用正確,是鞏固學生思維和認知的極好方式,也是學生參與盡責對話與討論中的一個極佳機會[2]．與同伴合作交流、共同探究的過程中,還能培養學生溝通交流、合作協調以及批判性思維等．獨立表現階段是學生展現自己表達技巧和思維方式的最佳階段,目標在于理解自己的思考過程,是對學生元認知發展的一個挑戰．在這一階段中,教師既給予學生練習的時間,也給予他們單獨思考的時間[2]．

3 基于“扶放有度”教學模式的數學探究活動設計

3.1 教學內容分析

“利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質”是人教A版《普通高中教科書·數學(必修)》(以下統稱“教材”)第一冊第五章第四節“三角函數的圖象與性質”中“探究與發現”的內容．在此之前,學生已經通過正余弦函數圖象的研究得到相關性質,所以從三角函數的定義出發研究其性質屬于橫向拓展功能,即同一知識的不同視角探究,也為后續研究正切函數、三角恒等變換等內容做好鋪墊．

從單元教學整體性來看,三角函數的內容以圓周運動為背景,借助單位圓這個工具建立三角函數的概念,根據定義得出了同角三角函數的基本關系、誘導公式和函數圖象,并利用圖象研究相應的性質．在后面的小節中,正切函數的圖象與性質以及三角恒等變換也借助了單位圓這一強有力的“腳手架”．因此,單位圓貫穿了整個三角函數的研究,利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質也是應有之義和必要之舉．

從蘊含的思想與方法來看,本節課是一節自主探究課,以自主探索、動手實踐、合作交流的學習方式,提升學生提出問題、發現問題、分析問題和解決問題的能力,讓學生深刻領會數形結合這一思想方法,讓學生真正成為課堂的主體．借助單位圓的直觀性,有利于學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理等核心素養的發展．

3.2 學情分析

從知識儲備來看,在平面幾何的學習中,學生知道圓的性質、相似性等有關知識,并從中心對稱圖形、軸對稱圖形、旋轉對稱圖形等多角度對圓進行過研究;在函數的學習中,學生已經研究過冪函數、指數函數、對數函數以及正弦函數與余弦函數的性質,了解通過圖象研究函數性質的一般方法．在三角函數的學習中,學生利用單位圓上點的坐標定義三角函數,根據三角函數的單位圓定義得到同角三角函數的基本關系和誘導公式．

從認知障礙來看,首先,學生從未從定義的角度對函數的性質進行過研究,通過圓的幾何性質直接反映正弦函數、余弦函數的基本性質的方法對于學生來說是陌生的;其次,學生已經通過圖象獲得性質,在心理上會忽視本次的探究;最后,學生對于信息技術的使用熟練程度參差不齊,部分學生會因為不能熟練地操作GeoGebra軟件,阻礙性質的發現和研究．

3.3 教學目標及教學重點和難點

教學目標:借助GeoGebra軟件,通過小組合作與交流,利用單位圓的幾何直觀自主探索正弦函數、余弦函數的性質,體會數形結合思想方法,提升分析問題和解決問題的能力,發展直觀想象和邏輯推理素養．達成目標的標志是學生能闡述如何利用單位圓的性質研究出正弦函數、余弦函數的性質．本節課的教學重點是利用單位圓的幾何直觀研究正弦函數與余弦函數的性質．教學難點是引導學生歸納出研究的一般思路．

3.4 教學過程設計

3.4.1 教師示證,明確目的

環節1 復習引入

師:在前面的學習中,我們利用單位圓上點的坐標定義三角函數,又根據三角函數的單位圓定義得到同角三角函數的基本關系、誘導公式、正弦函數與余弦函數圖象,利用正、余弦函數的圖象研究了相應的函數性質(知識結構如圖2)[3]．

圖2

問題:根據知識結構圖,還可做怎樣的探究?

師:今天我們使用GeoGebra軟件,通過小組合作進行探究,最后選出代表闡述如何利用單位圓的性質來研究正弦函數、余弦函數的性質．

設計意圖通過回顧已學的知識,立足于單元設計的角度,讓學生感受單位圓在三角函數中的重要性,能以三角函數單位圓的定義為中心構建知識體系,再根據知識結構圖引出所要探究的問題,明確本節課的教學目標．有了教學目標,教師就能調控課堂活動的走向,確保學生不失去學習的動機．

環節2 教師演示

教師用GeoGebra演示,包括作出單位圓、在單位圓上作出任意角,以及設置參數等,如圖3所示．

圖3

設計意圖GeoGebra軟件作為活動探究的有力工具,若使用不好,就會成為學生探究活動的一個阻礙,因此教師需要“扶”一下．

3.4.2 教師輔導,理清思路

環節3 觀察發現

師生活動:教師利用GeoGebra讓單位圓上的點繞圓心周而復始地轉動,學生進行觀察思考．

核心問題:利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數性質的思路是什么?

子問題1:當角x的終邊按照逆時針方向旋轉時,哪些量也在跟著變化?

子問題2:點P坐標代表著什么?

子問題3:在角x和點P坐標的變化中,誰是自變量的變化?

當學生對研究思路摸不著頭緒時,三個子問題能向學生發出提示、提供線索,起著支架的作用．其路徑為當學生能知道“角的終邊的變化→對應角的變化→單位圓上對應點的坐標的變化→對應角的三角函數值的變化”的變化規律時,小組可以沿著思路繼續研究．若不能回答,則拋出子 問題1,若學生能回答“角x和點P坐標發生了變化”,則返回到核心問題這一環節,不能回答則繼續拋出子問題2,如此往復．如果學生依然不能歸納出一般思路,教師則退回到示證階段,通過出聲思考為學生梳理思路,向他們直接解釋．

設計意圖在這個階段,通過一個核心問題和三個相應的子問題為學生搭建“腳手架”,幫助學生平穩過渡,為學生完成下一階段的任務建立信心．而教師能獲得更多與學生交流的機會,監控學生的掌握情況,發現學生的問題所在,針對性地進行指導,進行有效教學．

3.4.3 同伴協作,分析和解決問題

環節4 小組合作

在合作學習中要做到責任到人,即小組中的每位成員都要承擔一個角色,比如記錄員、觀察員、匯報員等,讓全體學生都參與到活動中．與此同時,教師巡視各個小組,觀察討論情況,適時適度參與其中．

設計意圖采用小組合作交流的方式,能培養學生溝通合作和解決問題等能力,但有時會出現“能者多勞”的現象,而小組內其他成員基本沒有參與,因此責任到人非常重要．

為了讓學生鞏固所得,真正弄懂內容及同學之間通過彼此交流加深理解,教師布置相應的任務是開展協作學習的必要條件．根據美國教育評價專家韋伯提出的DOK(Depth of Knowledge)理論,設計相應的活動和任務[4]．

任務1(DOK1 回憶與再現):寫出正弦、余弦函數的相關性質;

任務2(DOK2 技能與概念):闡述如何利用單位圓的性質得到正弦、余弦函數的性質;

任務3(DOK3 策略性思維):利用單位圓,我們還能有其他什么發現?

設計意圖要讓學生進行深入探究和思考,并不是設計簡單的活動讓學生動起來,因此根據DOK理論,設置三個不同層級的任務,推動學生深度學習,促進核心素養落實．

環節5 成果展示

(1)正弦、余弦函數的性質:單調性．

表1

其他發現:

(1)正弦、余弦函數的性質:對稱軸和對稱中心．

(2)得出結論的過程:我們組在單位圓中作角

圖4

(3)結論:

3.4.4 獨立表現,應用新知

獨立表現的任務分為校內和校外兩種形式,校外多以家庭作業為主．

圖5

獨立任務2:每組選出代表上臺闡述研究結果、思考過程、所遇到的問題以及是如何解決的．

設計意圖根據美國學者戴爾的“學習金字塔”理論,“教授給他人”是能使學習內容留存率最高的方式,因此讓學生對研究的結果進行闡述,對闡述者本身有很大幫助．而且在這過程中,對學生數學語言使用的準確性、口頭表達的邏輯性也有一定要求．

環節6 反思評價

問題:通過這次探究,談談自己有哪些收獲和疑惑?

設計意圖反思評價能強化學生的元認知,理解自己的思考過程,能讓學生領悟兩種思維方式:一是從圖象入手研究性質,二是從定義出發研究性質;領悟兩個視角,即“幾何視角”和“代數視角”,讓學生對數形結合的思想方法有更加深刻的認識．

環節7 布置作業

4 結語

《課標》指出:數學探究活動具體表現為發現和提出有意義的數學問題,猜測合理的數學結論,提出解決問題的思路和方案,通過自主探索、合作研究論證數學結論”[5]．這與“扶放有度”教學模式四個階段不謀而合．因此“扶放有度”教學模式為設計有效的數學探究活動勾勒出一條現實途徑,使學生不僅有知識的學習和技能的使用,更有問題的解決和思維的遷移,推進學習者主動參與學習,培養學生的自主學習能力．但“扶放有度”教學模式的價值不止于此,它可以是差異化教學法進行因材施教的具體方法,它還與理解為先教學設計(UbD)中的第三步設計相關教學活動相一致,因此先扶后放、扶放有度的有序教學的前景是廣闊的．