基于馬爾可夫鏈的高考概率試題研究

關(guān)嘉欣

(廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(xué) 528300)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確要求,能結(jié)合古典概型,利用全概率公式計(jì)算概率[1]．與之相匹配,全概率公式成為了新教材的新增內(nèi)容,并成為了近幾年新高考概率統(tǒng)計(jì)考查的香餑餑．利用全概率公式,我們不僅可以構(gòu)造遞推關(guān)系求解概率,還可以推導(dǎo)經(jīng)典的馬爾可夫鏈模型．本文將結(jié)合具體試題,分析馬爾可夫鏈模型與全概率公式在高考概率題中的應(yīng)用．

1 基本原理

馬爾可夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型,其具有馬爾可夫性質(zhì):一個(gè)隨機(jī)過程在給定現(xiàn)在狀態(tài)及所有過去狀態(tài)情況下,其未來狀態(tài)僅與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)．也就是說過去所有的信息都已經(jīng)保存到了現(xiàn)在的狀態(tài),基于現(xiàn)在就可以預(yù)測(cè)未來[2]．用數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行描述,即假設(shè)序列的狀態(tài)為…,Xi-2,Xi-1,Xi,Xi+1,…,那么Xi+1時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一個(gè)狀態(tài)Xi,即P(Xi+1|…,Xi-2,Xi-1,Xi)=P(Xi+1|Xi)．因此,只要我們能求出系統(tǒng)中任意兩個(gè)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換概率(遞推公式),我們就可以確定馬爾可夫鏈模型．

具體來看馬爾可夫模型,設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn),它的位置只能位于整點(diǎn)處,在時(shí)刻t=0時(shí),位于點(diǎn)x=i(i=N*),下一個(gè)時(shí)刻,它將以概率α或者β向左或者向右平移一個(gè)單位,那么由全概率公式可得P(Xt+1=i)=P(Xt=i-1)P(Xt+1=i|Xt=i-1)+P(Xt=i+1)P(Xt+1=i|Xt=i+1),即Pi=βPi-1+αPi+1．進(jìn)一步,我們假設(shè)在x=0與x=m處各有一個(gè)吸收壁,當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收,不再游走．

2 實(shí)例分析

例1(2023年新高考Ⅰ卷第21題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;

(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;

(3)求丙最終獲勝的概率．

4.2 協(xié)助術(shù)者擺好手術(shù)體位。患者平臥，頭后仰，頭下墊頭圈，肩下墊肩墊，使頭頸部輕度后仰，雙側(cè)墊甲狀腺球，頭部位置一定要放正。健側(cè)上肢向遠(yuǎn)端牽引并固定，以使健側(cè)鎖骨上手術(shù)區(qū)域充分顯露。患者外展于小方桌上。頭部安放頭架，高度稍高于氣管插管并固定，便于術(shù)者進(jìn)行鎖骨上手術(shù)的操作。

例3(2019年全國Ⅰ卷理科第21題)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題,約定:對(duì)于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．

(1)求X的分布列;

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1)．假設(shè)α=0.5,β=0.8．

(i)證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;

(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．

解析 本題的題干給出的概率公式pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)是學(xué)生理解題意的難點(diǎn)．事實(shí)上,該公式體現(xiàn)的就是有三種情況隨機(jī)游走的馬爾可夫模型．甲藥要達(dá)到“i分”,可以由三種情形轉(zhuǎn)化而來:①在“i-1分”的情形下單次試驗(yàn)得1分的條件概率P(X=1)=a,轉(zhuǎn)移到“i分”;②在“i分”的情形下單次試驗(yàn)得0分的條件概率P(X=0)=b,此時(shí)分?jǐn)?shù)不變;③在“i+1分”的情形下單次試驗(yàn)得-1分的條件概率P(X=-1)=c,轉(zhuǎn)移到“i分”.根據(jù)全概率公式,可以得到題干的概率公式pi=api-1+bpi+cpi+1．

(2)(i)因?yàn)棣?0.5,β=0.8,所以由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1．因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1),又因?yàn)閜1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=1,2,…,7)為公比為4、首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列．

3 教學(xué)啟示

(1)重視教材

很多教師在進(jìn)行高三復(fù)習(xí)時(shí)習(xí)慣性依賴一輪復(fù)習(xí)材料與習(xí)題,而忽略了教材．事實(shí)上,教材才是很多命題老師的重要參考材料．以馬爾可夫鏈模型為例,人教A版選擇性必修3第91頁的習(xí)題中就有所體現(xiàn):

習(xí)題設(shè)甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練,第1次由甲將球傳出,每次傳球時(shí),傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人,求n次傳球后球在甲手中的概率．

此外,很多省市的模擬題其實(shí)也是參考教材進(jìn)行設(shè)計(jì)的,比如2023年佛山二模第16題和杭州二模第21題．因此,我們?cè)谶M(jìn)行高考備考時(shí),應(yīng)當(dāng)把教材作為我們的主陣地,全面而深入地挖掘教材中蘊(yùn)含的知識(shí)和能力．重視教材中的例題與課后習(xí)題,因?yàn)樗鼈兪墙滩膬?nèi)容最直接、最鮮活的呈現(xiàn)形式,可以幫助我們更好地理解教材的精髓．在此基礎(chǔ)上,我們還可以結(jié)合模擬題進(jìn)行變式訓(xùn)練,提升在不同情境下應(yīng)用知識(shí)的能力和技巧．

(2)重視數(shù)學(xué)建模

新課標(biāo)已將“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”定位為必修課程與選擇性必修課程中的主干線索,并在新教材中用較大篇幅刻畫數(shù)學(xué)建模,增加了概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)內(nèi)容．因此,我們需要重視數(shù)學(xué)建模這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．為了達(dá)成這一目標(biāo),可以在課堂內(nèi)外引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián),協(xié)助高三學(xué)生應(yīng)對(duì)新的高考模式,適應(yīng)新的試題類型,并在復(fù)習(xí)過程中從高視角和多角度提升數(shù)學(xué)建模與解題能力,在復(fù)習(xí)階段實(shí)現(xiàn)高效的學(xué)習(xí)效果．

(3)把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

在高考備考的路上,我們與其帶著學(xué)生在茫茫題海中盲目航行,不如抓住題目的根源進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練．這就要求教師擁有更高的洞察力,能從教材的例題或高考模擬題中把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),洞察數(shù)學(xué)的核心,并抓住題根進(jìn)行合理有效的變式教學(xué),從而提高學(xué)生舉一反三的解題能力．