例談轉化思想在高考圓錐曲線問題中的應用

艾 焰

(江蘇省南京市第一中學 210000)

1 引言

高中數學圓錐曲線模塊對于不少學生來說從新授課到復習課一直都是難點,究其原因是圓錐曲線問題中涉及的未知量較多、計算相對復雜,再加上有些學生思路不清晰,導致圓錐曲線題的得分率較低.但是,如果學生能學會準確地轉化,轉化為其學過的其他問題,相信他們解決圓錐曲線問題的能力會得到較大的提升.

在對題目進行轉化前,學生需要清楚問題中已知什么、所求的是什么,然后在自己的知識體系中找出相關聯的知識點與方法,與要解決的問題搭建起有效的橋梁.這要求學生具有較強的分析問題的能力、相對完整的高中數學知識體系.同時,教師要清楚學生當前的學習能力、知識與方法的儲備,在教學過程中進行巧妙的引導和適當的鋪墊,啟發學生的思維,培養學生準確有效轉化問題的能力,從而提升學生的思維水平.這種數學抽象素養的培養需要深入到具體的學習活動中去,教師對教學方法的選擇要立足于對學生數學學習的心理認知特點和規律的把握[1].

2 轉化思想在圓錐曲線問題中的具體應用

2.1 轉化為平面圖形問題

我們都知道,用代數的方法研究幾何問題是解析幾何最基本的思想,但既然是解決幾何問題,不排除可以將有些問題直接轉化為平面幾何問題,借助圖形中的邊角關系,利用平面幾何知識或解三角形的方法加以解決.

點評 本題利用橢圓的定義將問題轉化為平面三角形問題,利用余弦定理和平面向量解決.在圓錐曲線問題中,轉化為平面圖形問題可以提高解題效率,使解題過程更加簡潔.一般涉及到圓錐曲線中焦半徑的問題很多都可以考慮轉化,在轉化過程中也經常需要添加一些輔助線來構造三角形、平行四邊形等特殊圖形.這種轉化為平面圖形的解題方法在選擇題、填空題中顯得更加簡潔高效.

2.2 轉化為不等式問題

在圓錐曲線解答題中,經常會遇到求解某個量的最值或者取值范圍這類問題,這時我們經常會用到不等式這一工具,有時通過基本不等式求最值,有時也通過解不等式求得取值范圍.

例2(2021年全國乙卷文科第20題)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2．

(1)求C的方程;

點評 本題在求解時轉化為了一元分式函數問題,通過使用基本不等式得出斜率的最大值.在使用基本不等式這一工具時要注意的是,先求出參數的取值范圍,后面需要驗證等號成立時該參數是否在所求出的范圍之內.有時求解圓錐曲線問題時需要構造不等式來解決,比如求離心率的取值范圍等問題,這種類型的問題往往比較靈活,如何尋找題目中隱含的不等關系是關鍵,教學中教師要善于引導,讓學生積極主動地思考、歸納與總結.

2.3 轉化為函數問題

高中數學中的很多問題最終都可以轉化為各種類型的函數問題,這種轉化本身對于學生來說并不陌生.圓錐曲線的很多問題中的難點是在轉化成了多元函數問題,或者是帶有參數的函數問題后,學生要解決如何轉化、轉化后如何消元、如何對參數進行分類討論等一系列問題.

點評 本題的條件中出現了一個不等式PB≤2b恒成立問題,將PB表示為關于縱坐標的一個二次函數,函數中帶有參數a,b,c,函數的定義域也是帶有參數b的,所以要結合對稱軸與區間的相對位置關系進行分類討論,這對于學生來說有一定的難度.教師在教學時不妨先從2021年全國乙卷文科第11題入手,此題也是轉化為一元二次函數的最值問題,不過該函數中沒有參數,不需要分類討論.讓學生先掌握這一思想方法,從簡單題入手,然后再嘗試解決稍有難度的例3.這樣逐步深入的解題過程既讓學生容易找到問題的突破口,同時也讓他們感受到一定的挑戰性,能夠激發其進行思考、探索和鉆研,在這一過程中不但增強了解決問題的信心,也在不知不覺中強化了轉化思想.

2.4 轉化為方程問題

圓錐曲線的問題中經常會涉及到直線或曲線過定點、證明直線與直線或直線與曲線的位置關系等問題,這其中的大部分都可轉化為方程問題.

例4(2021年全國甲卷文Ⅱ理科第20題)已知拋物線C的方程為y2=x,⊙M的方程為(x-2)2+y2=1,設A1,A2,A3是C上的三個點,直線A1A2,A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與⊙M的位置關系,并說明理由．

解(特殊情況的討論略)

同理,直線A1A3的方程為x-(y1+y3)y+y1y3=0,直線A2A3的方程為x-(y2+y3)y+y2y3=0.

綜上,若直線A1A2,A1A3與圓M相切,則直線A2A3與圓M相切.

點評 本題對部分學生來說難度較大,關鍵在于解題過程中出現的字母多,數學表達式也比較抽象,學生找不到突破口.如果學生能利用方程思想,不難得到關于y2的方程和關于y3的方程是同一方程,找到這一突破口就能得到y2,y3與y1的關系,從而利用韋達定理消元得出結論.轉化為方程這類問題,通常題目中沒有明確的指向,需要學生認真分析問題,理清思路,搭好解題框架.這對于許多學生來說需要有較強的計算能力、明確的解題思路、較強的數學抽象能力,這些都需要長期的積累和總結.因此,教師在教學中要培養學生在面對復雜運算時厘清算理算法,而非盲目運算;仔細分析構造方程的過程,讓學生通過建立方程的過程體會方程的思想;另外,解決完問題后還要反思歸納.

3 結束語

解決圓錐曲線問題的思想方法、計算技巧、細節處理都十分值得研究.本文對解決圓錐曲線問題常用的轉化思想進行了初步的探析,教師要幫助學生樹立轉化的意識,并學會常用的轉化方法,以利于提升其處理圓錐曲線問題的能力,也利于增強其解決其他數學問題的能力,從而提升數學抽象思維與核心素養.