深度調研 有效遷移 細化與比較
——以“商中間有0 小數除法”為例

甘肅省隴南市文縣東壩中學小學部 梁學勤

小學生數學學習中有兩類問題需要注意，一是由于舊知鞏固不扎實出現的老問題， 稱之為“老病根”； 二是經驗遷移不得力出現的新問題，這些可統稱為“并發癥”。 兩類問題互有聯系，并且在學生的練習中反復出現。“老病根”根除不了，“并發癥”就會連續出現。 深刻調查學生出錯的原因并對癥下藥很有必要，教師要準確把握學生的學情，預判可能出現的思維障礙，抓住學困點，辨清出錯類型，并探究出針對性強的方法、策略和路徑，提高學生的數學學習力[1]。

一、問題和困惑

人教版小學數學四年級下冊的小數除法中涉及到商中間有0 的問題。 與商末尾有0 的問題相比，學生更容易在商中間有0 的計算中出錯，有的弄不清算理，有的糊涂于算法，有的是整數除法中遺留下來的問題。 還有的學生因為多了個小數點，碰到“商中間有0 小數除法”就頭疼，過往的經驗無法有效遷移， 數位上稍不注意就會出錯，就會引發新問題。

二、調查與分析

沒有調查，就沒有發言權。整體解決“老病根”與“并發癥”，必須建立在學生真實學情的前測上，以便后續對策有依據，有針對性。我們選擇四年一班與四年二班共90 名學生進行前測。商中間有0 整數除法的正確率遠遠大于商中間有0 的小數除法（見表1）。

表1 商中間有0 的整數除法與小數除法前測表統計

那么，出現如此明顯差異的現象根源是什么呢？ 是學生粗心大意，還是算理與算法的遷移不夠呢？ 為此我們進一步深入到一些細節之中進行調研，抽取了部分學生的豎式計算草稿，發現商中間漏0 的學生比比皆是。

探究學生如此豎式計算背后的原因很有必要。 于是，我們從問卷測試過渡到深入訪談，從更細微的層面梳理學生出錯的原因。 訪談分三步走（見表2）。

表2 “商中間有0 小數除法”訪談一覽表

訪談中得知， 優等生的想法中最重要的一個概念是“除法平均分”。他們做過太多“把算式按商的位數分一分”的試題。 這樣的試題實際上就是強調商是幾位數的問題，即商是幾位數是有規律可循的，不能因為小數點的介入而少一位或者多一位。相比較而言，學困生的想法是錯誤的。顯然，“夠了才能分”不是除法（包括整數除法與小數除法）的本質屬性。事實上，除法的本質是平均分，每次把余數的計數單位變小合并到下一個數位繼續分，“商中為什么會有0” 是與平均分有關系的。 對于那些本身對除法核心概念理解不透徹的學困生而言，“老病根”自然會延續到“并發癥”中。“夠了才能分”這種觀念導致的就是“被除數一定要大于除數”。 這樣的慣性思維“害人不淺”——學生碰到“被除數比除數小”時就覺得茫然無措，很容易做出錯誤的判斷或計算。

我們還訪談了那些喜歡估算的學生。商中間有0 的整數除法與小數除法，之所以前者正確率高，是因為整數除法中學生將估算運用得特別熟稔，但在小數除法中，估算不頂用了，稍不小心就會出錯。比如面對2568÷24，估算能力較強的學生一眼可以看出最高位在百位，如果學生忘記了中間補0，那么17 這樣的結果與估算相差太大，學生肯定會回頭檢查， 最終通過補0 形成正確答案。 但是面對16.2÷15 這道題， 理所應當添加0 也罷， 粗心大意漏掉0也罷，不影響估算的結果，由此出現大面積的錯題成為常態。 可見，小數點的出現，對學生的慣性思維形成沖擊，增加了運算的復雜性，引發了新問題，“老病根”與“并發癥”同時存在。

在分析學情的基礎上，我們進一步分析教材。 教材的編排蘊涵著極強的結構性和邏輯性，它由一個個知識點按照一定的知識序列排列組成[2]。但是教材畢竟是靜態的，而且因為篇幅限制，諸多邏輯空白并未呈現出來，而這需要教師去發掘并填補。 如果教師疏于這方面的探究，也有可能會給學生造成誤解及負面影響。

比如，下圖中的內容就需要教師左右勾連，進行細微意義上的甄別及引領。 很多學生看到12.6÷12 的豎式后，誤以為第二步中的60 是一次性移下來的，這也是“不夠就移”思維定勢的體現。如果教師不用心強調，不通過更多的練習進行舉一反三或者舉三反一，那么學生就會把這種誤解遷移到其他試題的計算之中，由此錯題的出現也就不足為怪了。

三、策略與思考

既然造成錯誤的根源是多方面的，那么，重新審視學生與教材以及重構教學的新框架就是大有必要的； 既然“老病根”是因為整數除法學得不扎實所導致，那么以跨單元與整體教學的姿態回到過去重溫舊知，進行有意義的遷移、細化與比較，剔除學生思維中僵化與定勢因子，就更是必要的。

（一）遷移：算理、算法一脈相承

所謂“遷移”，即在新舊知識聯接點對學生加以點撥，即培養學生的知識遷移能力[3]。 學生遷移力的提升不是一蹴而就的，需要由此及彼的追問、換位思考的逆問，需要前后貫通、勾連，進行更深處的沿徑探源。真正高質量的遷移必須是“有根”的，即把已有的方法、經驗運用到未知的學習中，正所謂：“由根生干，由干生枝。 ”

就除法的本質屬性而言，所謂的平均分，就是豎式中分到哪一位，商就寫在哪一位上面，哪一位不夠商1，就在那位上商0。 這一點，無論是整數除法還是小數除法，都是不變的，這樣的算理、算法是一脈相承的。 所以，如果學生對此理解不透徹，教師就應該通過復習舊知，通過一些試題的訓練再次強化除法的意義。

教師出示兩道整數除法算式：①912÷3，②1260÷2，組織學生自主完成計算， 并說說商中間的0 是怎么來的。優等生可能會很快回答出來，但學困生則知其然而不知所以然。 因此，教師直接出示以下豎式圖幫助學生理解之所以寫0 的原因。

上圖既有較為細致的過程，又有簡化后的過程，簡潔明了。通過對比，學生厘清了其算理與算法，明白了商中間0 的來歷。這為學生學習小數除法起到承上作用。接下來，出示算式12.6÷12，從整數除法過渡到小數除法，形成承上啟下——學生自然而然地遷移運用整除除法的方法去解決小數除法問題。 這里遷移發揮的是正遷移作用，而非負遷移，因為學生做到了兩者之間算理、算法上的一脈相承。

但僅僅這樣是不夠的。 完成12.6÷12 一題后，教師進一步追問：“假如把小數點繼續往左移一位， 結果會如何呢？ ”請仔細觀察下圖中的三個豎式。

通過更為細微的對比，大部分學生已經發現了三個算式的相同之處，那就是不論什么“位”上的0，哪怕計數單位不同，但其產生的過程和方法是永遠不變的——凡是某個數位上的數不夠商時就補0。 這是除法的本質意義， 是解決任何題型都繞不開的。 這樣的舉一反三，促使學生完成了有意義的遷移，其效果事半功倍。

（二）細化：改變“不夠就移”的做法

1.細化板書，消除負面影響

上文中那個學生誤以為第二步中的60 是一次性移下來的。教材豎式過于簡單，對于學困生而言，會造成理解障礙。 為此，我們“由粗到細”，進一步細化板書，將原來簡單的一個豎式變為能夠充分顯示其細微過程的三個豎式。可以利用大屏幕動態演示其細微的過程。

教師引領學生用醒目的顏色劃出其中關鍵的步驟及重點， 尤其表示出哪個數移下來了， 厘清哪個地方是商0還是移0。 當學生理解到這兩點后，對所謂的“先商0 而后移0”的理解就顯得水到渠成。

2.細化過程，破除思維定勢

數學學習中的思維定勢既有好處，又有壞處。 尤其是學生對數學核心概念理解不透的情況下， 其負面作用更大。“不夠就移”這樣的思維定勢就是這樣，就是造成學生漏0 現象的原因。因此，想方設法破除定勢，幫助學生形成理性與科學思維， 應該成為解決小數除法中“老病根”與“并發癥”的一個重點。 我們的做法是細化教學環節，引領學生針對最后一個豎式對如下三個問題進行充分討論，最終達成共識。

一是“商中0 來自何方又去向何處”的討論。教師鼓勵學生自由表達，在此基礎上，剔除不成熟的說法。以下是兩種比較理想的說法：

生1： 我認為商中0 是這樣來的：6 移下來是為了細分，分成6 個0.1，而這是不夠分成12 份的。 既然不夠分，那么其分的結果就應該為0。

生2：關于0 將去向何處，我是這么理解的：既然6 個0.1 平均分成12 份最后的結果是0 個0.1， 按照0 乘以任何數都是0 的法則，我們只能理解為沒分走，所以這里的0可以省略。

二是“豎式中的60 可以一起移下來嗎”的討論。 針對“可以移下來”與“不能移下來”，教師組織兩方學生進行辯論。 一種意見認為既然結果是不變的，那么完全可以移下來；另一種意見認為不能一起移下來，應該先移6，接著移0。其理由是十分位與百分位不同，直接移動的結果會造成中間的0 沒有補上，少了平均分0.6 的這一步。 畢竟，商中的0 意味著十分位而非百分位。 一位一位向下平均分，看似啰嗦，但必須遵守，這正是數學學科必須講究嚴謹精神的象征。

三是“如果商中這個0 不補會造成何種影響”的討論。通過討論，學生理解到僅僅漏了一個0，5 個0.01 就變成5個0.1，1.05 與1.5 可是完全不一樣的結果。 可見，0 所引起的數位之差，不可小覷。

如此，通過上述三個問題的討論，學生對“不夠就移”有了更深刻的認識：不是隨意就移，而是在補0 的基礎上才移；學生也理解到，有些豎式省略了分0.6 的過程，但頭腦中不能省略，做題時不能怕麻煩，盡量寫清每一步，關注到每步先后順利，這樣就能夠避免錯誤，有效杜絕作業中的失誤現象。

（三）比較：明晰“加與不加”的區別

比較中尋方法，比較中找規律。 以比較為手段的思維方式，既是打破思維定勢的需要，又是解決“老病根”與“并發癥”的需要。商中間有0 的小數除法教學中，教師有意識地把漏掉0 或者不應有0 卻補上了0 的錯題呈現出來，同時呈現正確豎式，兩兩比較，引領學生明晰“加與不加”的區別，必能更好地幫助學生厘清相關概念，加深正確解題步驟的印象，提高學生的整體解題能力。

分析中，教師發問：“這個豎式的商中間為什么不能補0？”引領學生看一看商中的數位與下面的數位是不是有錯位，是否有對應分的過程，學生自然而然明白問題出在哪里。教師應該多多出示這樣的比較題型，通過細微的捕捉，“比”出問題的根源所在，“比”出正確的步驟，順利地解決“老病根”與“并發癥”。

通過上述三環節，學生在“商中間有0 小數除法”的練習中提高了正確率。 實踐證明，商中間有0 小數除法的學習中，必須找準問題，分析根源，緊扣學情，采取針對性較強的對策，如整體把握，結構性遷移，真正厘清其中的內在機理，既防止“老病根”復發，又把“并發癥”解決在萌芽狀態。