深厚軟土區(qū)樁柱式橋墩臨界荷載簡(jiǎn)化計(jì)算方法

劉曉明 ，李曦 ，劉齊建 ，劉濤 ，殷悅 ，曾磊

（1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410082；2.中交公路規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限公司，北京，100088；3.廣州市高速公路有限公司，廣東 廣州，510032）

橋梁樁基屈曲問(wèn)題是橋梁設(shè)計(jì)中不可避免的關(guān)鍵問(wèn)題之一，對(duì)于深厚軟土地區(qū)尤其如此.20世紀(jì)20年代以來(lái)，學(xué)者們對(duì)樁基穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了大量的理論、試驗(yàn)和數(shù)值分析研究，得到了豐富的成果.趙明華等［1-3］基于能量法推導(dǎo)出樁柱式橋墩在不同邊界條件下的計(jì)算長(zhǎng)度公式，開(kāi)展了室內(nèi)模型箱試驗(yàn)驗(yàn)證其準(zhǔn)確性，并提出了有限元分析樁基屈曲問(wèn)題的方法.彭錫鼎［4］基于伽遼金法考慮了樁側(cè)土抗力，推導(dǎo)出兩端固支樁基的計(jì)算長(zhǎng)度公式.鄒新軍等［5］對(duì)樁基屈曲問(wèn)題引入新型無(wú)單元Galerkin 數(shù)值分析法，建立了無(wú)單元網(wǎng)格計(jì)算程序.雷勇等［6］依據(jù)能量法建立了穿越單層溶洞基樁總勢(shì)能方程，并引入尖點(diǎn)突變理論，導(dǎo)出了分岔集方程，提出了穿越單層溶洞基樁屈曲臨界荷載計(jì)算方法.但是，要將這些科研成果應(yīng)用于工程，需要開(kāi)發(fā)復(fù)雜的程序或軟件，因此設(shè)計(jì)中往往傾向于簡(jiǎn)化方法.對(duì)于樁柱式橋墩，基于歐拉公式導(dǎo)出的簡(jiǎn)化計(jì)算公式［7］簡(jiǎn)單明了，是目前設(shè)計(jì)中最常用的計(jì)算方法［因其被寫(xiě)入《建筑樁基技術(shù)規(guī)范》（JGJ 94—2008）［8］，下文簡(jiǎn)稱該方法為規(guī)范法］，但是分析表明，它在理論上存在缺陷，計(jì)算結(jié)果并不準(zhǔn)確.

經(jīng)過(guò)多年發(fā)展，基于特征值屈曲分析的有限元方法已經(jīng)在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析中得到廣泛的應(yīng)用［9］，其結(jié)果也被證明與實(shí)際相符.本文擬在深厚軟土區(qū)樁柱式橋墩臨界荷載分析中引入特征值屈曲分析的有限元方法對(duì)樁柱式橋墩進(jìn)行分析，在對(duì)比說(shuō)明規(guī)范法的適用范圍后，基于機(jī)器學(xué)習(xí)方法整理出簡(jiǎn)化計(jì)算公式供設(shè)計(jì)同行參考.

1 有限元法的特征值屈曲分析

1.1 計(jì)算原理

特征值屈曲分析的有限元方法是將樁身劃分為若干單元，考慮每個(gè)單元所受的節(jié)點(diǎn)荷載、樁側(cè)土抗力、自重、摩阻力，建立相應(yīng)于該單元的樁土體系總勢(shì)能方程，利用勢(shì)能駐值原理，獲得各單元的剛度矩陣［k］e，將單元?jiǎng)偠染仃嚱M成與樁頂荷載P有關(guān)的總剛度方程后得到：

式中：［K］為總剛度矩陣，由單元?jiǎng)偠染仃嚕踜］e組裝而成；｛δ｝為結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移；｛P｝為結(jié)構(gòu)上的荷載.

式（1）中，總剛度矩陣［K］的逆矩陣等于其伴隨矩陣除以系數(shù)的行列式，當(dāng)總剛度系數(shù)行列式等于零時(shí)，即：

此時(shí)，位移｛δ｝將趨于無(wú)窮大，說(shuō)明結(jié)構(gòu)喪失了穩(wěn)定性，將發(fā)生失穩(wěn)破壞，故式（2）通常稱為樁身屈曲穩(wěn)定的有限元特征方程.求解該n階方程可得到n個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)n階的屈曲模態(tài)，在實(shí)際工程中，當(dāng)結(jié)構(gòu)的荷載達(dá)到特征值中的最小值時(shí)即發(fā)生破壞，故其中最小特征值即樁身的臨界荷載Pcr.

1.2 現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)簡(jiǎn)介

采用作者早年完成的位于洞庭湖深厚軟土區(qū)的茅草街大橋超長(zhǎng)嵌巖灌注樁屈曲試驗(yàn)對(duì)有限元模型進(jìn)行標(biāo)定.現(xiàn)場(chǎng)地質(zhì)條件如表1 所示［10］，樁周土體水平抗力系數(shù)m≈5 500 kN·m-4，樁徑1 m，計(jì)算寬度b1=1.8 m，混凝土等級(jí)C30，彈性模量E=31 GPa，計(jì)算可得樁土變形系數(shù)α=0.381 9 m-1.限于篇幅，試驗(yàn)過(guò)程不再贅述，可參閱相應(yīng)文獻(xiàn).

表1 樁周土層力學(xué)指標(biāo)Tab.1 Soil mechanical indicators around the pile

試驗(yàn)加載至17 280 kN 并維持加載約5 min 時(shí)，樁身沉降突然增加，地下同時(shí)發(fā)出一聲很悶的巨響，之后試樁偏位，地面出現(xiàn)裂縫，樁身沉降無(wú)法穩(wěn)定，可判定樁身折斷，其屈曲的臨界荷載可取16 720 kN.

1.3 有限元計(jì)算

使用有限元軟件ABAQUS 對(duì)該現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)進(jìn)行建模分析.模型采用三維可變形的C3D8R單元建立，樁基本構(gòu)模型采用彈性模型，彈性模量E設(shè)為3.1 GPa；土層的本構(gòu)模型采用摩爾庫(kù)侖模型，具體參數(shù)取值如表1 所示.樁土之間設(shè)置接觸面，法向行為設(shè)置為硬接觸、切向行為設(shè)置為罰函數(shù)，摩擦系數(shù)設(shè)為0.5.土體四周及底面設(shè)置位移邊界條件以約束土體位移，樁底邊界條件為嵌固，樁端自由.同時(shí)為提高計(jì)算精度，將樁與樁周土體進(jìn)行進(jìn)一步的加密劃分，模型建立如圖1所示.

圖1 樁-土模型示意圖Fig.1 Pile-soil model schematic diagram

模型的材料屬性、網(wǎng)格、接觸屬性、邊界條件建立后模擬現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)的各級(jí)加載，創(chuàng)建靜力學(xué)功能下的geo分析步對(duì)地應(yīng)力進(jìn)行平衡，之后創(chuàng)建靜力通用分析步，將荷載分級(jí)加于樁頂，得到各級(jí)荷載下樁身軸力，繪制深度-軸力曲線，并將現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)以散點(diǎn)形式在圖上對(duì)應(yīng)位置標(biāo)出，如圖2 所示.圖2曲線顯示，現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)基本落于深度-軸力曲線上，說(shuō)明了模型參數(shù)的正確性以及模型計(jì)算的可行性與準(zhǔn)確性.

圖2 深度-軸力曲線Fig.2 Depth-axial force curves

然后分析該地層條件下樁的臨界荷載，創(chuàng)建線性攝動(dòng)功能下的buckle 分析步計(jì)算樁的臨界荷載，計(jì)算得其臨界荷載Pcr=17 006 kN，樁發(fā)生屈曲破壞時(shí)，樁、土模態(tài)如圖3所示.

圖3 樁、土變形示意圖Fig.3 Pile and soil deformation diagram

計(jì)算表明，采用有限元方法計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)實(shí)測(cè)值接近，說(shuō)明有限元方法計(jì)算樁基屈曲臨界荷載是可靠的.

1.4 按規(guī)范簡(jiǎn)化公式計(jì)算

常用的簡(jiǎn)化計(jì)算方法［7］（下文稱：常用簡(jiǎn)化公式）過(guò)程如下：首先按式（3）確定計(jì)算長(zhǎng)度lp的取值.

式中：l0為柱高，m；α為樁土變形系數(shù)，m-1.

然后將lp代入式（4），即可得到規(guī)范法下的臨界荷載值.

式中：E為樁彈性模量，Pa；I為樁橫截面極慣性矩，m4.

對(duì)于茅草街大橋試驗(yàn)基樁，根據(jù)式（3）可得lp=7.33 m，再根據(jù)式（4）可得臨界荷載值Pcr=223 610 kN，這與實(shí)測(cè)值（Pcr=16 720 kN）相差很大，表明常用簡(jiǎn)化公式計(jì)算結(jié)果并不準(zhǔn)確，這是因?yàn)樵摴郊俣痘?/α深度處已經(jīng)嵌固，故將計(jì)算長(zhǎng)度定為柱高與嵌固深度之和再乘邊界條件系數(shù)，樁嵌固深度以下的部分不受影響.事實(shí)上，不同種類土的力學(xué)性質(zhì)差異很大，這一假定顯然是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模虼吮疚膶?duì)該方法的適用范圍進(jìn)行研究，然后提出新的簡(jiǎn)化計(jì)算方法.

2 常用簡(jiǎn)化公式適用范圍分析

2.1 數(shù)值實(shí)驗(yàn)方案

一般來(lái)說(shuō)，深厚軟土區(qū)的地層分布特點(diǎn)為：上層的軟土層（包括淤泥、淤泥質(zhì)土、流塑性黏土、軟塑黏性土等），中層的硬土層（包括砂層、粉砂層、硬塑黏土層、卵石層等），下層的巖石層.圖4 所示地層可代表典型深厚軟土區(qū)的地層.本文基于該圖所示地層研究典型軟土區(qū)橋梁樁基臨界荷載變化規(guī)律.

圖4 模型參數(shù)示意圖Fig.4 Model parameter schematic diagram

考慮對(duì)臨界荷載有影響的土層水平抗力系數(shù)m值、樁徑d、樁長(zhǎng)l、柱高l0這4 種因素進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn).其中，樁長(zhǎng)l由軟土層中樁長(zhǎng)l1與硬土層中樁長(zhǎng)l2兩部分組成（l=l1+l2）；m由軟土層中m1與硬土層中m2兩部分組成.改變各參數(shù)的取值水平，分別采用常用簡(jiǎn)化公式法和基于特征值分析的有限元法計(jì)算各參數(shù)組合下樁柱式橋墩臨界荷載值，模型參數(shù)示意圖如圖4 所示.模型中各參數(shù)取值范圍如表2 所示，計(jì)算時(shí)將各個(gè)因素取不同水平組合進(jìn)行計(jì)算.

表2 參數(shù)取值Tab.2 Parameter values

由于有限元軟件中沒(méi)有直接定義土的水平抗力系數(shù)的參數(shù)，故需要將土層水平抗力系數(shù)m值與彈性模量E值進(jìn)行換算，其方法為將有限元軟件各彈性模量下樁的水平載荷試驗(yàn)產(chǎn)生的樁頂水平位移與規(guī)范法各m值下計(jì)算的樁頂水平位移進(jìn)行對(duì)比，將計(jì)算結(jié)果非常接近的彈性模量E與m值對(duì)應(yīng)起來(lái)，形成若干組數(shù)據(jù)，運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行回歸分析，以得到彈性模量E與m值的對(duì)應(yīng)關(guān)系［11］，本文模型將樁周土層簡(jiǎn)化為單層土，這樣能將土層參數(shù)與某一確定m值對(duì)應(yīng)起來(lái)，本文中m值與彈性模量E的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表3所示.

表3 m與E對(duì)應(yīng)取值Tab.3 Corresponding values between m and E

2.2 計(jì)算結(jié)果分析

將相同參數(shù)組合下，兩種不同方法計(jì)算所得臨界荷載繪制成散點(diǎn)圖（規(guī)范法Pcrs-有限元法Pcra），如圖5所示（長(zhǎng)細(xì)比=l1/d+l2/d）.

圖5 規(guī)范法Pcrs-有限元法Pcra計(jì)算結(jié)果Fig.5 Results between code method Pcrs and FEM Pcra

計(jì)算結(jié)果顯示，長(zhǎng)細(xì)比為7.5～20時(shí)，兩種方法的計(jì)算結(jié)果接近；長(zhǎng)細(xì)比為20～45 時(shí)，兩種方法的計(jì)算結(jié)果已經(jīng)較為接近；長(zhǎng)細(xì)比為60～45 時(shí)，兩種方法的計(jì)算結(jié)果偏差很大.這說(shuō)明隨著樁長(zhǎng)細(xì)比的增大，規(guī)范法計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算的結(jié)果偏差越來(lái)越大，故需要對(duì)規(guī)范法的計(jì)算公式進(jìn)行修正.

3 臨界荷載簡(jiǎn)化計(jì)算公式

3.1 隨機(jī)森林算法簡(jiǎn)介

近年來(lái)，人工智能發(fā)展迅速，機(jī)器學(xué)習(xí)逐漸應(yīng)用到越來(lái)越多的專業(yè)領(lǐng)域，其中隨機(jī)森林算法（Random Forest）對(duì)于數(shù)據(jù)的適應(yīng)能力強(qiáng)，實(shí)現(xiàn)方法較為簡(jiǎn)便，被廣泛地應(yīng)用于數(shù)據(jù)處理當(dāng)中.隨機(jī)森林是一種可用于回歸分析的非參數(shù)集成學(xué)習(xí)算法［12］，起源于對(duì)于決策樹(shù)的研究［13-14］，通過(guò)隨機(jī)選擇訓(xùn)練樣本與特征變量的方法生成多個(gè)CART 決策樹(shù)［15］，之后通過(guò)投票計(jì)分的方式將這些決策樹(shù)的訓(xùn)練結(jié)果結(jié)合起來(lái)，以獲得最終的回歸模型，訓(xùn)練好的模型將可以通過(guò)輸入自變量參數(shù)，較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出因變量參數(shù).

評(píng)價(jià)隨機(jī)森林模型的回歸效果，可采用平均絕對(duì)值誤差（MAE）、平均均方根誤差（RMSE）和擬合優(yōu)度（R2）這3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)［13］，本文采取擬合優(yōu)度（R2）指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià).評(píng)估方法采用“留出法”，將用有限元方法計(jì)算出來(lái)的數(shù)據(jù)劃分為兩個(gè)數(shù)據(jù)集合，把其中一個(gè)集合作為訓(xùn)練集S，另一個(gè)作為測(cè)試集T，在訓(xùn)練集S上訓(xùn)練好模型之后，再在測(cè)試集T上評(píng)估其預(yù)測(cè)精度，若兩個(gè)集合的預(yù)測(cè)精度均在0.99以上，則說(shuō)明模型訓(xùn)練效果較好，模型預(yù)測(cè)精度較高.

3.2 隨機(jī)森林模型預(yù)測(cè)結(jié)果

為得到深厚軟土區(qū)樁柱式橋墩計(jì)算長(zhǎng)度的簡(jiǎn)化公式，以第2 節(jié)中的數(shù)值模型的計(jì)算結(jié)果為基礎(chǔ)，將結(jié)果換算為計(jì)算長(zhǎng)度，與輸入?yún)?shù)構(gòu)成數(shù)據(jù)集.隨機(jī)選取數(shù)據(jù)集66.7%的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集S，33.3%的數(shù)據(jù)作為測(cè)試集T［16］，以長(zhǎng)細(xì)比、柱高、樁土變形系數(shù)α值、土層水平抗力系數(shù)m值作為輸入特征變量，采用隨機(jī)森林回歸算法對(duì)計(jì)算長(zhǎng)度進(jìn)行預(yù)測(cè).將隨機(jī)森林模型得到的預(yù)測(cè)值與有限元法的計(jì)算值繪制散點(diǎn)圖，如圖6所示.

圖6 隨機(jī)森林模型預(yù)測(cè)值與有限元計(jì)算值比較Fig.6 Comparison of predicted values from random forest model and FEM calculations

結(jié)果顯示，訓(xùn)練集與測(cè)試集的計(jì)算結(jié)果均處于1∶1 線附近，測(cè)試集的擬合優(yōu)度也達(dá)到了0.99 以上，深度學(xué)習(xí)的效果非常好，證明輸入?yún)?shù)與輸出參數(shù)之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，可使用公式的形式對(duì)其進(jìn)行擬合.

3.3 基于隨機(jī)森林模型的計(jì)算長(zhǎng)度簡(jiǎn)化公式

對(duì)于隨機(jī)森林模型，根據(jù)Gini 指數(shù)計(jì)算特征變量，可分析各個(gè)屬性的重要性［15］，以各因素的重要性指數(shù)為基礎(chǔ)可以確定擬合公式中參數(shù)的形式從而導(dǎo)出公式.計(jì)算本文隨機(jī)森林模型中各特征的重要性，并繪制柱狀圖如圖7所示.

圖7 各影響因素重要性Fig.7 Importance of each influencing factor

計(jì)算結(jié)果顯示，在深厚軟土區(qū)的樁柱式橋墩的穩(wěn)定性問(wèn)題中，樁的長(zhǎng)細(xì)比對(duì)于計(jì)算長(zhǎng)度的影響占主導(dǎo)地位，其中軟土層中樁長(zhǎng)細(xì)比l1/d占44.79%，硬土層中樁長(zhǎng)細(xì)比l2/d占24.76%，合計(jì)69.55%.m值的影響次之，其中軟土層m1占15.15%，硬土層m2占5.19%，合計(jì)20.34%.柱高l0對(duì)計(jì)算長(zhǎng)度也有一定的影響，占10.11%；因此以式（3）為基本形式，納入l/d參數(shù)可得到更準(zhǔn)確的簡(jiǎn)化計(jì)算公式.本文采用不同形式的公式進(jìn)行分析，得到樁柱式橋墩計(jì)算長(zhǎng)度簡(jiǎn)化公式如（5）所示，將擬合結(jié)果繪制在圖8 中，可見(jiàn)計(jì)算較好.

圖8 擬合曲面Fig.8 Fitted surface

根據(jù)式（5）計(jì)算各參數(shù)水平下計(jì)算長(zhǎng)度，然后采用式（4）計(jì)算樁柱式橋墩的臨界荷載，再與有限元法計(jì)算值比較，繪制散點(diǎn)圖（2 520 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)）如圖9所示.

圖9 修正公式預(yù)測(cè)值與有限元計(jì)算值比較Fig.9 Comparison of predicted values from modified formula and FEM calculations

計(jì)算結(jié)果表明，本文提出的簡(jiǎn)化計(jì)算方法效果良好，具有實(shí)用價(jià)值.

4 結(jié)論

本文分別采用基于特征值屈曲分析的有限元數(shù)值軟件法、規(guī)范法，對(duì)樁柱式橋墩的屈曲臨界荷載進(jìn)行計(jì)算和比較，并使用隨機(jī)森林法對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，得到結(jié)論如下：

1）采用有限元數(shù)值軟件方法計(jì)算樁柱式橋墩的臨界荷載，其計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)結(jié)果較為吻合，說(shuō)明基于特征值屈曲分析的有限元法對(duì)樁柱式橋墩的臨界荷載計(jì)算是適用的.

2）現(xiàn)有常用簡(jiǎn)化計(jì)算方法在樁的長(zhǎng)細(xì)比較大、時(shí)計(jì)算結(jié)果誤差較大，適用性差.

3）基于有限元計(jì)算以及隨機(jī)森林回歸分析，擬合得到了深厚軟土區(qū)樁柱式橋墩的臨界荷載計(jì)算簡(jiǎn)化方法，可供設(shè)計(jì)人員使用與參考.