基于有限元分析的橡膠回彈性模擬

雍占福，王茂輝，黃兆閣

（青島科技大學(xué) 高分子科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266042）

橡膠制品受到外力作用而發(fā)生高彈性形變時(shí)，橡膠分子的分子鏈構(gòu)象和構(gòu)象熵也會(huì)發(fā)生很大變化。 而小分子材料受力改變的是晶胞的尺寸（鍵長和鍵角），故其形變量很小，材料彈性變形很小［1-3］。 所以橡膠制品在外力作用下發(fā)生形變時(shí)，由于其分子鏈的變化，會(huì)導(dǎo)致分子鏈之間發(fā)生摩擦，造成能量的損失。 高分子材料回彈性的測定按照GB/T 1681—2009 （ISO 4662）硫化橡膠回彈性標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行， 實(shí)驗(yàn)過程需要經(jīng)歷橡膠混煉、橡膠硫化及制作標(biāo)準(zhǔn)試樣，最后才進(jìn)行回彈性測試［4］。 本工作則提出了一種分析高分子材料回彈性以及回彈過程中能量變化的新方法，借助有限元分析軟件ABAQUS 對橡膠的回彈性測試實(shí)驗(yàn)進(jìn)行仿真模擬，探究橡膠在實(shí)驗(yàn)中理想狀態(tài)（無摩擦、阻力等因素影響）下的能量損耗，并與實(shí)際回彈實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對比以確認(rèn)方法的準(zhǔn)確性［5］，借此獲得橡膠真正的黏性損耗以及因?yàn)轲椥栽斐傻哪芰繐p失率。

機(jī)械式橡膠彈性測試儀回彈性的求法主要有2 種，一種是基于回彈高度的測定，另一種是基于回彈角度（α）的測定，其回彈性（R）的計(jì)算分別如式（1）和式（2）所示：

式中：hr為回彈高度；h0為擺錘下落高度。

1 有限元模型的建立

1.1 建立模型

對擺錘式橡膠機(jī)械回彈儀進(jìn)行模型簡化，忽略其試樣夾持裝置及機(jī)座等結(jié)構(gòu)，建立簡化后的仿真模型。 仿真模型主要由3 部分組成，分別是擺錘、沖頭及試樣。 將各部件按照正確位置裝配到一起， 模型尺寸按照GB/T 1681—2009 規(guī)定執(zhí)行，三維有限元模型如圖1 所示。

Fig 1 Diagram of three dimensional finite element model of rebound instrument

1.2 超彈性本構(gòu)模型

選取合適的材料本構(gòu)模型是保證有限元仿真分析準(zhǔn)確性的關(guān)鍵因素之一，目前常用的表征橡膠材料的本構(gòu)模型主要基于熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)方法和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論提出［5-6］。 在ABAQUS 軟件中， 常用的橡膠復(fù)合材料本構(gòu)模型有Mooney-Rivlin 模 型、Neo-Hookean 模型 和Yeoh 模型［7-9］。本研究在前人工作基礎(chǔ)上，通過循環(huán)拉伸的方式消除了啞鈴形試樣的Mullins 效應(yīng)， 選用單軸拉伸的測試方法得到了材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線，將其導(dǎo)入ABAQUS 的property 模塊進(jìn)行超彈性材料參數(shù)的擬合，擬合曲線如圖2 所示。 由圖2 可以看出，Yeoh 模型擬合度最高， 所以本研究選用Yeoh 模型作為仿真所用材料屬性。 實(shí)驗(yàn)采用GB/T 1681—2009 規(guī)定的啞鈴形試樣Ⅱ型，長20mm、厚2 mm，拉伸速率為500 mm/min。

Fig 2 Stress-strain curves of vulcanized rubber under different models

1.3 黏彈性模型

橡膠高彈性來源于構(gòu)象熵的變化，構(gòu)象熵變化是由于高分子鏈鏈段的運(yùn)動(dòng)引起，鏈段的運(yùn)動(dòng)會(huì)造成分子鏈間及分子鏈與填料間的摩擦，導(dǎo)致滯后現(xiàn)象產(chǎn)生，引起能量變化。 因此，仿真中的黏彈性材料屬性對動(dòng)態(tài)分析結(jié)果至關(guān)重要［10-11］。 橡膠的黏彈性采用廣義Maxwell 模型表示， 通過應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)確定參數(shù)，對應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，基于最小二乘法擬合出Prony 參數(shù)，以其作為材料黏彈性參數(shù)（見表1）［12-13］。 其中，G（i）為剪切模量，τ（i）為松弛時(shí)間。模型的應(yīng)力松弛方程可用式（3）表示：

式中：σ（t）表示t 時(shí)刻的應(yīng)力；σ0i和τ（i）分別為第i 個(gè)Maxwell 模型的初始應(yīng)力和松弛時(shí)間。 由于其應(yīng)變一定，則應(yīng)力與模量正相關(guān)，即G（i）與初始應(yīng)力σ0i正相關(guān)。

Table 1 Rubber material Prony parameters

黏彈性材料的損耗往往與溫度、振動(dòng)頻率和應(yīng)變幅度有關(guān)［14］，因此仿真過程中溫度設(shè)定為實(shí)驗(yàn)室測試溫度20 ℃，擬合材料屬性選用的是接近仿真應(yīng)變過程的100%應(yīng)變條件下的應(yīng)力松弛曲線。 圖3 所示為實(shí)驗(yàn)與黏彈性模型擬合結(jié)果，由圖3 可以發(fā)現(xiàn)， 天然橡膠試樣的應(yīng)力隨時(shí)間減小，由于其應(yīng)變一定，即剪切模量（G0）隨時(shí)間的增加而逐漸減小，最終趨于穩(wěn)定值。 此外，基于時(shí)間的上述應(yīng)力松弛方程也可用剪切松弛函數(shù)方程g（t）表示：

式中：GR（t）為松弛時(shí)間t 時(shí)刻的剪切松弛模量；G∞為長時(shí)間下的剪切模量。 將剪切模量的Prony級數(shù)由時(shí)域轉(zhuǎn)換為頻域，式（4）可轉(zhuǎn)換為關(guān)于階數(shù)N 的式（5）：

Fig 3 Stress relaxation curve under 100%strain condition

1.4 材料屬性驗(yàn)證

合適的材料屬性是影響仿真結(jié)果準(zhǔn)確性的重要因素之一［15-17］。 為了驗(yàn)證擬合材料屬性的準(zhǔn)確程度，保證仿真數(shù)據(jù)的科學(xué)性和精確度，使用擬合后的材料屬性進(jìn)行橡膠單軸拉伸實(shí)驗(yàn)的仿真模擬，然后與實(shí)際拉伸實(shí)驗(yàn)對比，對應(yīng)力進(jìn)行平均處理，默認(rèn)平均閾值是75%，結(jié)果見圖4。 不同應(yīng)變條件下試樣的仿真結(jié)果與實(shí)際拉伸實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)， 啞鈴形試樣仿真得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與材料參數(shù)擬合得到的曲線基本重合，與實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)相近，證明以上討論獲取的材料參數(shù)能準(zhǔn)確模擬回彈橡膠塊的力學(xué)特性，可以用于回彈實(shí)驗(yàn)有限元模型的建立。 其保證了實(shí)驗(yàn)中材料屬性的準(zhǔn)確性，同時(shí)也可為之后的能量分析提供佐證。

Fig 4 Simulation and actual comparison of rebound sample under different strains

2 結(jié)果與討論

通過實(shí)際測試和本方法模擬可知，實(shí)驗(yàn)測試的橡膠回彈角度為64°09′時(shí)，仿真模擬為66°54′，誤差為3.8%； 實(shí)驗(yàn)測試的橡膠回彈率為59.4%時(shí)，仿真模擬為60.8%，誤差為2.4%。由于有限元分析是在理想條件下進(jìn)行的，所以忽略了實(shí)際測試時(shí)的空氣阻力和摩擦造成的能量損失，導(dǎo)致仿真模擬結(jié)果從數(shù)據(jù)上要略微高于實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果。回彈率的精確程度較高也可以證明回彈過程中能量變化的準(zhǔn)確性。

2.1 能量變化

在回彈實(shí)驗(yàn)中，從擺錘釋放開始，其重力勢能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能且逐漸增大，當(dāng)擺錘降落到最低點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能最大；擺錘撞擊到高分子試樣，高分子鏈變?yōu)樯煺範(fàn)顟B(tài)，無序性和構(gòu)象熵減少。 此后伸展?fàn)顟B(tài)的分子鏈變?yōu)闊o規(guī)卷曲狀態(tài)， 構(gòu)象熵增加，反作用于擺錘，使擺錘回彈，根據(jù)回彈高度或回彈角度確定材料的回彈率［4］。 實(shí)驗(yàn)過程中最直觀的表現(xiàn)是擺錘無法回彈至初始位置，其沖擊試樣的過程中存在能量損耗，這部分損耗是高分子材料的黏彈性引起［18］。 本方法測定的回彈率與實(shí)際結(jié)果相符，因此對實(shí)驗(yàn)過程中用有限元方法分析能量的變化也應(yīng)是準(zhǔn)確的。 圖5 為試樣回彈過程中能量的變化曲線，可以看出，擺錘大約在釋放后0.27 s 能量達(dá)到最大值， 沖擊試樣后能量迅速降低，然后迅速達(dá)到回彈的最高值，但是顯然該值無法達(dá)到?jīng)_擊前的能量大小；模擬的能量是試樣中儲(chǔ)存的能量和擺錘動(dòng)能之和，因?yàn)樵嚇釉跀[錘離開后會(huì)迅速回彈至原來的形狀并圍繞該形狀周期振動(dòng)，因此試樣中儲(chǔ)存的能量呈現(xiàn)上下波動(dòng)并逐漸降低。

Fig 5 Energy change curves of sample during rebound

圖6 為回彈過程中試樣中儲(chǔ)存的擺錘動(dòng)能與應(yīng)變能的關(guān)系曲線， 可以看出， 擺錘大約在0.27 s 時(shí)沖擊試樣，將擺錘的動(dòng)能傳遞給試樣，試樣在0.27 s 時(shí)儲(chǔ)存的擺錘動(dòng)量最大； 當(dāng)擺錘回彈時(shí)，試樣將一部分能量返還給擺錘成為擺錘的動(dòng)能，另一部分能量成為試樣的應(yīng)變能。 從圖中可以發(fā)現(xiàn)兩種能量的變化相同，都呈現(xiàn)周期性上下波動(dòng)并逐漸遞減的規(guī)律； 不同的是二者峰值相反，即試樣中儲(chǔ)存的擺錘動(dòng)能處于最大時(shí)，試樣的應(yīng)變能處于最小，二者彼此交替循環(huán)，試樣中儲(chǔ)存的部分?jǐn)[錘動(dòng)能先變化，試樣應(yīng)變能的變化相對滯后，其特點(diǎn)正反映出高分子材料的滯后現(xiàn)象，而試樣中能量的損耗也正是因?yàn)檫@種滯后現(xiàn)象的存在［19］。

Fig 6 Relationship change curves of kinetic energy and strain energy of sample during rebound

綜合圖5 和圖6 可以發(fā)現(xiàn)，擺錘沖擊后的動(dòng)能大部分通過接觸傳遞給試樣，試樣形變到最大后又反作用于擺錘使其回彈，同時(shí)一部分能量變成試樣的應(yīng)變能。 擺錘離開試樣后，試樣殘余的能量與應(yīng)變能相互交替，微觀上表現(xiàn)為分子鏈在無規(guī)則卷曲和伸展?fàn)顟B(tài)之間不斷變化，鏈段之間彼此摩擦，能量逐漸被消耗并最終趨于穩(wěn)定。

2.2 溫度變化

高分子材料中分子鏈被迫由無規(guī)卷曲狀態(tài)變?yōu)樯煺範(fàn)顟B(tài)，無序性和構(gòu)象熵減少，然后自發(fā)地從伸展?fàn)顟B(tài)變成另一種無規(guī)狀態(tài)［19］。 在轉(zhuǎn)化過程中，分子鏈間必然伴有鏈段間及分子鏈與填料間的摩擦，導(dǎo)致機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能，使溫度升高。圖7 為試樣在不同沖擊時(shí)間的溫度變化（環(huán)境溫度20 ℃），從中可以發(fā)現(xiàn)，初始沖擊時(shí)試樣溫度最高，撞擊的瞬間0.27 s 時(shí)試樣最高溫度達(dá)到46.34℃，溫度范圍很小，這是因?yàn)闆_擊時(shí)應(yīng)變最大，外力作用快，分子鏈之間的摩擦更強(qiáng)烈。 隨著時(shí)間的延長，最高溫度趨近于環(huán)境溫度20 ℃，熱量從試樣中間位置向周圍傳遞，高于環(huán)境溫度的范圍越來越廣，最終以熱能形式散失到環(huán)境中。

Fig 7 Simulated temperature distribution of rebound sample at different impact time

試樣溫度場的變化除了高分子材料滯后現(xiàn)象的原因外，還因?yàn)樽矒暨^程中擺錘與試樣相對運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的摩擦［3］。 因?yàn)閿[錘沖擊試樣時(shí)存在接觸，接觸后試樣發(fā)生形變，在動(dòng)摩擦系數(shù)為0.2的條件下會(huì)發(fā)生摩擦。 圖8 為擺錘作用時(shí)試樣的摩擦力分布情況， 將輸出的應(yīng)力與試樣直徑作圖， 更直觀地分析試樣在撞擊過程中的受力情況。 從圖8 可以發(fā)現(xiàn)，中心點(diǎn)處由于沖頭沿垂直方向沖擊試樣表面，此處幾乎沒有摩擦力，而中心點(diǎn)周圍接觸應(yīng)力更大， 在距離中心點(diǎn)5 mm 左右處產(chǎn)生的相對滑移更大，因此摩擦力最大。 從圖9 可以看出， 由摩擦力引起的能量耗散（ALLFD）也是回彈過程中能量損耗的一部分，只是這部分占比很小。

Fig 8 Simulated friction distribution of rebound sample during pendulum action

Fig 9 Energy dissipation curve of rebound sample

3 結(jié) 論

提出了基于有限元分析的橡膠回彈性模擬新方法，實(shí)驗(yàn)測定結(jié)果顯示該方法模擬計(jì)算結(jié)果與其相符，對于橡膠材料回彈角度和回彈率的模擬精確度達(dá)到96%以上，這與黏彈性模擬計(jì)算考慮了WLF 方程的影響有關(guān)， 可以更好地模擬高分子材料的生熱現(xiàn)象。