變形監(jiān)測灰色預測模型對比及替代方法研究

陳鵬宇 秦 嶺

1 內(nèi)江師范學院地理與資源科學學院,四川省內(nèi)江市紅橋街1號,641100

對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行及時分析,并對其未來變化趨勢作出準確預測,可為工程建設(shè)的安全評估以及地質(zhì)災害的預測預報提供科學依據(jù)。用于變形監(jiān)測的預測模型和方法很多,其中以GM(1,1)模型為代表的灰色預測模型經(jīng)過不斷改進和完善,取得了較好的預測效果。從目前的研究來看,用于變形監(jiān)測的灰色預測模型主要可以分為以下3類。

1)傳統(tǒng)GM(1,1)模型及其改進模型[1-3]。由傳統(tǒng)GM(1,1)模型的建模原理可知,其僅適用于近似齊次指數(shù)序列的建模分析,本質(zhì)上可等效為齊次指數(shù)函數(shù)模型。由于傳統(tǒng)GM(1,1)模型在建模原理上存在固有缺陷,即白化方程與灰微分方程的不匹配問題[4],研究人員往往會將其改進后再用于變形監(jiān)測,如對背景值進行重構(gòu)[2]或者采用無偏GM(1,1)模型[3]。盡管改進后的GM(1,1)模型能夠提高傳統(tǒng)GM(1,1)模型的精度,但仍未能改變其模擬序列為齊次指數(shù)序列的本質(zhì)。當用于滑坡臨滑預測或變形體加速變形階段預測時,GM(1,1)模型可以得到較高的預測精度,但對于具有收斂特征的變形數(shù)據(jù),如地基沉降數(shù)據(jù),GM(1,1)模型便不再適用[5]。

2)非齊次灰色模型。非齊次灰色模型是指擬合函數(shù)為非齊次指數(shù)函數(shù)、擬合序列為非齊次指數(shù)序列的一類灰色預測模型。其擬合函數(shù)滿足沉降的收斂特性,被廣泛應用于沉降預測中。這類模型主要包括灰色線性組合模型[6]、無偏NGM(1,1,k)模型[3,5]和非等間隔GM(1,1)模型[7]。除灰色線性組合模型以外,其余2種灰色模型都具備白指數(shù)率預測無偏性,可直接使用。其中,非等間隔GM(1,1)模型解決了非等時距變形數(shù)據(jù)的建模問題[7]。非齊次灰色模型也可用于滑坡變形預測[3,5],其預測精度往往高于GM(1,1)模型。這是因為邊坡臨滑前的位移并不都完全服從近似齊次指數(shù)規(guī)律,許多數(shù)據(jù)具有非齊次指數(shù)規(guī)律[8]。

3)GM(1,1)冪模型及其改進模型。GM(1,1)冪模型是一類非線性灰色預測模型,本質(zhì)上可等效為生長曲線模型。當α=2時,GM(1,1)冪模型即為灰色Verhulst模型[9]。當沉降趨于穩(wěn)定或具有“S”型變化趨勢時,可采用GM(1,1)冪模型進行分析預測[9]。與GM(1,1)模型類似,GM(1,1)冪模型也存在背景值構(gòu)造缺陷,需要將其改進后再用于變形預測[9-10]。在非等間隔GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上,通過冪函數(shù)變換可建立非等間隔GM(1,1)冪模型[9],以解決非等時距變形數(shù)據(jù)的建模問題。GM(1,1)冪模型(主要是灰色Verhulst模型)也常用于邊坡變形預測[11]。有學者[12-13]認為,采用Verhulst模型的反函數(shù)和GM(1,1)冪模型的反函數(shù)來描述和擬合邊坡變形特征更為合理。

此外,在變形監(jiān)測中還有一些對數(shù)據(jù)處理進行改進的灰色預測模型,如殘差修正GM(1,1)模型[14-16]、灰色馬爾科夫組合模型[17]、動態(tài)新陳代謝灰色模型[18]和卡爾曼濾波灰色模型[19]。但這些方法仍是以上述3類灰色預測模型為基礎(chǔ),只是在數(shù)據(jù)處理上進行改進,并未改變灰色預測模型的擬合函數(shù)。

綜上所述,若不考慮數(shù)據(jù)處理方面的改進,僅從擬合函數(shù)的角度,變形監(jiān)測灰色預測模型可分為3類:傳統(tǒng)GM(1,1)模型及其改進模型、非齊次灰色模型、GM(1,1)冪模型及其改進模型。這3類模型的計算原理不同,特別是在擬合函數(shù)、是否適用于非等時距變形數(shù)據(jù)建模以及是否存在極限值等方面存在差異,這些差異對于選擇變形監(jiān)測預測模型非常重要,而現(xiàn)有研究缺少這方面的系統(tǒng)性探討和總結(jié)。3類灰色預測模型本質(zhì)上可等效為函數(shù)模型或曲線模型,但與一般的曲線擬合在參數(shù)計算上又存在差異,兩者之間有何異同、曲線擬合函數(shù)是否可代替灰色預測模型用于變形監(jiān)測也值得探討。為此,本文以3類灰色預測模型為研究對象,以O(shè)rigin擬合函數(shù)作為3類灰色預測模型的替代方法,基于理論分析和工程實例對比分析3類灰色預測模型及其替代方法,驗證替代方法的可行性,并提出各類模型和方法的應用建議,為灰色預測模型在變形監(jiān)測中的合理應用提供參考。

1 3類灰色預測模型的建模原理及替代方法

雖然本文從擬合函數(shù)的角度將變形監(jiān)測灰色預測模型分為3類,但由于改進方法繁多,每一類灰色預測模型都包含多種改進模型,所以本文僅選擇其中有代表性的改進模型作為研究對象。具體按等時距和非等時距2種情況進行選擇:等時距灰色預測模型適用于變形數(shù)據(jù)為等時距的情況,非等時距灰色預測模型適用于變形數(shù)據(jù)為非等時距的情況。

1)等時距灰色預測模型的選擇。文獻[4]總結(jié)了GM(1,1)模型的改進現(xiàn)狀,認為白化方程參數(shù)重構(gòu)的GM(1,1)模型,即無偏GM(1,1)模型建模相對簡單、精度較高,故本文選用其作為第1類灰色預測模型的代表性模型。同樣,選擇改進原理相似的無偏NGM(1,1,k)模型[3,5]和無偏GM(1,1)冪模型[9]作為第2類和第3類灰色預測模型的代表性模型。

2)非等時距灰色預測模型的選擇。傳統(tǒng)非等間隔GM(1,1)模型以時間間隔作為權(quán)重,對原始數(shù)據(jù)進行加權(quán)累加,其模擬序列并非齊次指數(shù)序列,而是不規(guī)則序列,并不適用于具有近似齊次指數(shù)趨勢的變形數(shù)據(jù)[7]。因此,傳統(tǒng)非等間隔GM(1,1)模型與GM(1,1)模型并不屬于同一類模型。目前并未出現(xiàn)模擬序列為齊次指數(shù)序列的非等間隔GM(1,1)模型,所以對于第1類灰色預測模型本文不考慮非等時距的情況。文獻[7]提出一種非等間隔GM(1,1)模型,其模擬序列為非齊次指數(shù)序列,可用于沉降的分析預測,本文將其作為第2類灰色預測模型的代表性模型。由冪函數(shù)變換結(jié)合非等間隔GM(1,1)模型可建立非等間隔GM(1,1)冪模型[9],本文將其作為第3類灰色預測模型的代表性模型。

1.1 等時距灰色預測模型

1.1.1 無偏GM(1,1)模型

記變形監(jiān)測序列為X(0),其一次累加值為X(1)。無偏GM(1,1)模型的灰微分方程為:

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(1)

式中,a為發(fā)展系數(shù),b為灰作用量,z(1)(k)=0.5[x(1)(k)+x(1)(k-1)]。以最小二乘法估計參數(shù)a、b。

其白化方程為:

(2)

時間響應式為:

(3)

還原值為:

(4)

1.1.2 無偏NGM(1,1,k)模型

無偏NGM(1,1,k)模型的建模原理與無偏GM(1,1)模型相似,都是采用累加建模法。其灰微分方程為:

x(0)(k)+az(1)(k)=kb+c

(5)

式中,a為發(fā)展系數(shù),kb+c為灰作用量。同樣以最小二乘法估計參數(shù)a、b、c。

其白化方程為:

(6)

時間響應式為:

(7)

還原值為:

(8)

1.1.3 無偏GM(1,1)冪模型

對無偏GM(1,1)模型進行冪函數(shù)變換可建立無偏GM(1,1)冪模型,但需將累加建模法改為直接建模法,其建模原理如下[9]。

(9)

本文采用文獻[9]的尋優(yōu)算法,通過編制無偏GM(1,1)冪模型的MATLAB程序,以擬合結(jié)果的平均相對誤差最小作為優(yōu)化目標,采用MATLAB直接搜索工具箱確定最優(yōu)參數(shù)α。無偏GM(1,1)冪模型滿足白冪指數(shù)率預測無偏性[9]。由式(9)可見,無偏GM(1,1)冪模型的擬合函數(shù)為生長曲線函數(shù),可用于趨于穩(wěn)定或具有“S”型變化趨勢序列的分析和預測。

1.2 非等時距灰色預測模型

1.2.1 非等間隔GM(1,1)模型

非等間隔GM(1,1)模型采用直接建模法,其建模原理如下[7]。

記變形監(jiān)測序列為X(1),對應的時間序列為T(1),一次累減值為X(0)和T(0)。非等間隔GM(1,1)模型的白化方程為:

(10)

時間響應式為:

(11)

白化方程對應的灰微分方程為:

(12)

式中,z(1)(k)為背景值,計算公式為:

z(1)(k)=px(1)(k)+(1-p)x(1)(k-1)

(13)

參數(shù)β同樣可采用文獻[9]的尋優(yōu)算法確定。非等間隔GM(1,1)模型滿足白指數(shù)率預測無偏性[7]。由式(11)可見,非等間隔GM(1,1)模型的擬合函數(shù)為非齊次指數(shù)函數(shù),可用于近似非齊次指數(shù)序列的分析和預測。

1.2.2 非等間隔GM(1,1)冪模型

由冪函數(shù)變換結(jié)合非等間隔GM(1,1)模型可建立非等間隔GM(1,1)冪模型[9]。

(14)

除參數(shù)β以外,還需確定冪函數(shù)變換參數(shù)α。同樣可采用文獻[9]的尋優(yōu)算法確定這2個參數(shù)。非等間隔GM(1,1)冪模型滿足白冪指數(shù)率預測無偏性[9]。由式(14)可見,非等間隔GM(1,1)冪模型的擬合函數(shù)為生長曲線函數(shù),可用于趨于穩(wěn)定或具有“S”型變化趨勢序列的分析和預測。

1.3 替代方法

現(xiàn)有研究主要是在灰色建模法的基礎(chǔ)上對灰色預測模型進行改進以提高模型的精度,少有研究避開灰色建模原理,直接求解擬合函數(shù)。鑒于灰色建模法求解參數(shù)的復雜性,筆者曾建議采用曲線擬合的方法直接求解灰色預測模型的擬合函數(shù),即采用Origin軟件提供的非線性擬合函數(shù)代替灰色預測模型,亦可實現(xiàn)其建模目標[3,9]。可代替3類灰色預測模型的Origin擬合函數(shù)分別為:

Exp2PModl:y=aebt

(15)

Exponential:y=y0+aebt

(16)

(17)

上述3種擬合函數(shù)分別為齊次指數(shù)函數(shù)、非齊次指數(shù)函數(shù)和生長曲線函數(shù),與3類灰色預測模型的擬合函數(shù)相對應,可作為3類灰色預測模型的替代方法。下面從計算原理、建模數(shù)據(jù)和擬合效果3個方面對比分析灰色預測模型與Origin擬合函數(shù)。

1)計算原理。灰色預測模型以最小二乘法為基礎(chǔ)計算參數(shù),對于無偏GM(1,1)冪模型、非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型,還需采用尋優(yōu)算法求解冪函數(shù)變換參數(shù)和背景值構(gòu)造參數(shù),而且尋優(yōu)算法和最小二乘法屬于嵌套計算,這就要求借助MATLAB等軟件編制程序?qū)崿F(xiàn)參數(shù)求解。Origin非線性擬合一般采用Levenberg-Marquardt優(yōu)化算法,研究人員只要學會擬合操作即可,復雜的迭代過程交由Origin軟件處理,在參數(shù)求解上更為簡便[3,9]。

2)建模數(shù)據(jù)。灰色預測模型一般適用于小樣本、少數(shù)據(jù)的建模[20],對數(shù)據(jù)量的要求較低,但數(shù)據(jù)量較大時會增加參數(shù)求解的難度。Origin擬合函數(shù)對數(shù)據(jù)量沒有特殊要求,只要能實現(xiàn)參數(shù)計算即可。變形數(shù)據(jù)往往為非等時間間隔,而大部分灰色預測模型僅適用于等時距變形數(shù)據(jù)建模,適用于非等時距變形數(shù)據(jù)建模的非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型在參數(shù)求解上又存在一定難度。Origin擬合函數(shù)對變形數(shù)據(jù)的時間間隔沒有要求,Origin軟件可直接對非等時距變形數(shù)據(jù)進行非線性擬合。可見,當變形數(shù)據(jù)量較大或變形數(shù)據(jù)具有非等時距時,采用Origin擬合函數(shù)更具優(yōu)勢。

3)擬合效果。灰色預測模型(不包括未改進的模型)和Origin擬合函數(shù)的擬合效果相當,在建模數(shù)據(jù)較多時,灰色預測模型的擬合效果可能不及Origin擬合函數(shù)[3,9]。當采用尋優(yōu)算法求解無偏GM(1,1)冪模型等灰色預測模型的參數(shù)時,其優(yōu)化目標可以根據(jù)實際情況進行調(diào)整,比如以平均相對誤差最小作為優(yōu)化目標[9],或者采用考慮數(shù)據(jù)新舊程度的目標誤差函數(shù)[21]。Origin擬合函數(shù)一般不能實現(xiàn)這種特殊優(yōu)化目標。

2 3類灰色預測模型的對比分析

灰色預測模型的擬合函數(shù)屬于何種類型、能否實現(xiàn)極限值的預測、是否適用于非等時距變形數(shù)據(jù)建模,這些性質(zhì)對于變形監(jiān)測都非常重要。因此,本文根據(jù)3類灰色預測模型的建模原理,從擬合函數(shù)、有無極限值、適合等時距或非等時距建模、替代方法和適用范圍等5個方面進行對比分析,如表1所示。

表1 3類灰色預測模型的對比

1)無偏GM(1,1)模型的擬合函數(shù)為齊次指數(shù)函數(shù)y=aebx,b<0時,極限值為0。對于變形數(shù)據(jù),一般不存在極限值為0的情況,所以無偏GM(1,1)模型不適合趨于穩(wěn)定的沉降預測。b>0時,無極限值,且呈指數(shù)增長趨勢,一般適用于滑坡臨滑預測或變形體加速變形階段的變形預測[9]。受建模原理的限制,無偏GM(1,1)模型僅適合于等時距變形數(shù)據(jù)序列建模,若變形數(shù)據(jù)為非等時距,需要進行等時距的變換處理[3]。若采用Exp2PModl函數(shù),則沒有等時距的要求,且參數(shù)求解更簡便。

2)無偏NGM(1,1,k)模型和非等間隔GM(1,1)模型的擬合函數(shù)為非齊次指數(shù)函數(shù)y=aebx+m,b<0時,極限值為m,適用于趨于穩(wěn)定的沉降預測[7];b>0時,無極限值,且呈指數(shù)增長趨勢,適用于滑坡臨滑預測或變形體加速變形階段的變形預測[3,5]。受建模原理的限制,無偏NGM(1,1,k)模型僅適合于等時距變形數(shù)據(jù)建模,若變形數(shù)據(jù)為非等時距,則需采用非等間隔GM(1,1)模型。若采用Exponential函數(shù),則無需考慮變形數(shù)據(jù)的時間間隔,且參數(shù)求解更簡便。

3 工程實例分析

3.1 模型對比

文獻[3,9]對比分析了除非等間隔GM(1,1)模型以外的代表性灰色預測模型與相應替代方法的擬合和預測精度。本文也采用文獻[3,9]中的3個實例。

1)向家坡滑坡。以其位移監(jiān)測資料為例[22],監(jiān)測位移為等時距數(shù)據(jù),可采用無偏GM(1,1)模型和無偏NGM(1,1,k)模型。以第1～7周位移數(shù)據(jù)分別建立上述2種灰色預測模型和Exp2PModl、Exponential函數(shù),預測第8～9周位移,以對比各方法的擬合和預測精度。

2)邵陽-懷化高速公路。以某軟土路基斷面12期總體沉降實測值為例[23],沉降實測值為等時距數(shù)據(jù),可采用無偏NGM(1,1,k)模型和無偏GM(1,1)冪模型。分別建立上述2種灰色預測模型和Exponential、SRichards2函數(shù),對比各方法的擬合精度。

3)成綿樂鐵路客運專線。以DK171+600測點的沉降觀測結(jié)果為例[24],沉降實測值為非等時距數(shù)據(jù),可采用非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型。分別建立上述2種灰色預測模型和Exponential、SRichards2函數(shù),對比各方法的擬合精度。

若采用累加建模法建立灰色預測模型,會導致還原函數(shù)對初始值不具有擬合效果[25]。為進行合理對比,對于采用累加建模法的無偏GM(1,1)模型、無偏NGM(1,1,k)模型和無偏GM(1,1)冪模型,在比較這些灰色預測模型和相應Origin擬合函數(shù)的擬合精度時,不考慮第1組數(shù)據(jù),同時在求解Origin擬合函數(shù)時,也不考慮第1組數(shù)據(jù)。對于采用直接建模法的非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型,其擬合函數(shù)對初始值具有擬合效果,所以在進行擬合精度比較以及求解Origin擬合函數(shù)時,考慮第1組數(shù)據(jù)。

對于實例1,直接采用文獻[3]中無偏GM(1,1)模型、無偏NGM(1,1,k)模型和Exponential函數(shù)的擬合結(jié)果。只需計算Exp2PModl函數(shù)的擬合結(jié)果。對于實例2,直接采用文獻[9]中無偏GM(1,1)冪模型的擬合結(jié)果,需去除第1組數(shù)據(jù)重新求解Exponential函數(shù),同時還需計算無偏NGM(1,1,k)模型和Exponential函數(shù)的擬合結(jié)果。對于實例3,直接采用文獻[9]中非等間隔GM(1,1)冪模型和SRichards2函數(shù)的擬合結(jié)果,需計算非等間隔GM(1,1)模型和Exponential函數(shù)的擬合結(jié)果。其中,非等間隔GM(1,1)模型的背景值構(gòu)造參數(shù)采用文獻[9]的尋優(yōu)算法確定,在搜索參數(shù)β的最優(yōu)值時,初值為0.1,參數(shù)范圍為[-10,10]。各模型的擬合預測結(jié)果如圖1所示,擬合公式和擬合(預測)精度如表2所示,以均方差和平均相對誤差衡量精度。

圖1 各模型的擬合(預測)結(jié)果與監(jiān)測結(jié)果的對比

表2 各模型的擬合公式和擬合(預測)精度

根據(jù)圖1和表2可以得出:

1)對于實例1,與無偏GM(1,1)模型相比,無偏NGM(1,1,k)模型的擬合結(jié)果更接近于監(jiān)測結(jié)果,其擬合預測精度更高,這說明向家坡滑坡的位移發(fā)展趨勢更接近非齊次指數(shù)趨勢。無偏GM(1,1)模型與Exp2PModl函數(shù)的擬合預測效果相當,Exp2PModl函數(shù)擬合預測精度更高。無偏NGM(1,1,k)模型與Exponential函數(shù)的擬合預測精度非常接近,兩者的擬合預測效果幾乎相同。

2)對于實例2,與無偏NGM(1,1,k)模型相比,無偏GM(1,1)冪模型的擬合結(jié)果更接近于監(jiān)測結(jié)果,其擬合精度更高,這說明沉降發(fā)展趨勢更接近于“S”型變化。無偏NGM(1,1,k)模型與Exponential函數(shù)的擬合精度非常接近,兩者擬合效果相當。無偏GM(1,1)冪模型與SRichards2函數(shù)的擬合精度較為接近,兩者的擬合效果相差不大,SRichards2函數(shù)擬合的均方差更小,但其平均相對誤差2.955%稍大于無偏GM(1,1)冪模型的2.671%。

3)對于實例3,非等間隔GM(1,1)模型的均方差為0.109 mm2,平均相對誤差為2.877%,擬合精度較高,說明沉降發(fā)展趨勢比較接近于非齊次指數(shù)趨勢。非等間隔GM(1,1)冪模型的擬合精度更高,均方差為0.072 mm2,平均相對誤差為

2.146%。非等間隔GM(1,1)模型和Exponential函數(shù)的擬合精度很接近,兩者的擬合效果相差不大,Exponential函數(shù)擬合精度更高。非等間隔GM(1,1)冪模型和SRichards2函數(shù)的擬合精度較為接近,兩者擬合效果相差不大,SRichards2函數(shù)擬合精度更高。

3.2 討論和建議

3.2.1 灰色預測模型的適用性

從上述實例分析中可以看出,對于不同類型的監(jiān)測數(shù)據(jù),3類灰色預測模型的表現(xiàn)存在顯著差異。3類灰色預測模型的擬合函數(shù)決定了它們分別適用于具有近似齊次指數(shù)、非齊次指數(shù)和“S”型變化趨勢的變形數(shù)據(jù)。

第1類灰色預測模型的擬合函數(shù)為齊次指數(shù)函數(shù),無法較好地擬合近似非齊次指數(shù)序列以及趨于穩(wěn)定或具有“S”型變化趨勢的序列,其適用性在3類灰色預測模型中最差。只有在邊坡臨滑或變形體加速變形階段具有齊次指數(shù)發(fā)展趨勢時,可采用第1類灰色預測模型。

第2類灰色預測模型屬于非齊次灰色模型,不僅可用于具有非齊次指數(shù)增長趨勢的滑坡位移建模,也可用于趨于穩(wěn)定的沉降數(shù)據(jù)建模。當沉降發(fā)展趨勢接近于非齊次指數(shù)趨勢時,第2類灰色預測模型可以得到較好的擬合效果,比如本文實例3。

第3類灰色預測模型屬于生長曲線模型,適用于趨于穩(wěn)定或具有“S”型變化趨勢的沉降預測。其模型結(jié)構(gòu)比非齊次灰色模型更為復雜,但適用性更強,即使對于近似非齊次指數(shù)序列,也可以得到比非齊次灰色模型更高的擬合精度,比如本文實例3。

因此,建議在滑坡臨滑預測或變形體加速變形階段時,對第1類和第2類灰色預測模型的擬合效果進行對比,選擇更能反映當前變形發(fā)展趨勢的模型;在趨于穩(wěn)定的沉降預測時,可直接采用第3類灰色預測模型。受地質(zhì)條件和環(huán)境因素的影響,許多變形數(shù)據(jù)都具有波動性或者階躍性[14,16,19,26]。這種情況下,3類灰色預測模型可作為趨勢分析模型,但需要根據(jù)變形的整體趨勢特征選擇合適的灰色預測模型。至于變形中的殘余波動特征或者階躍特征,可采用時間序列分析模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡等方法進行分析。

3.2.2 Origin擬合函數(shù)的替代性

從本文實例來看,與3類灰色預測模型相比,Origin擬合函數(shù)可以得到相當甚至更高的擬合或預測精度。除實例2中SRichards2函數(shù)的平均相對誤差稍大于無偏GM(1,1)冪模型以外,其余實例中Origin擬合函數(shù)的均方差和平均相對誤差都小于相應的灰色預測模型。無偏GM(1,1)模型沒有相應的非等時距模型,不能直接用于非等時距變形數(shù)據(jù)建模,其余2類灰色預測模型需要根據(jù)變形數(shù)據(jù)的時距特征選擇相應的等時距或非等時距模型。相比之下,Origin擬合函數(shù)對變形數(shù)據(jù)的時間間隔沒有要求,使用更為方便。

3類灰色預測模型采用最小二乘法計算參數(shù)a、b或a、b、c,需要進行矩陣運算,在參數(shù)辨識過程中可能出現(xiàn)病態(tài)性問題[27],影響模型的可靠性。無偏GM(1,1)冪模型、非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型在采用尋優(yōu)算法確定參數(shù)α或α、β時,需要合理選擇待求參數(shù)的初始值和取值范圍以及尋優(yōu)算法的計算參數(shù),以避免陷入局部最優(yōu)解,影響計算結(jié)果。其中,非等間隔GM(1,1)冪模型有2個尋優(yōu)算法待求參數(shù),計算難度相對較大,計算效率相對較低。相比之下,3種替代方法為Origin軟件內(nèi)置擬合函數(shù),無需專門編制程序進行參數(shù)的優(yōu)化求解,計算效率和可靠性相對更高。

綜上,Origin擬合函數(shù)完全可以代替灰色預測模型用于變形監(jiān)測。如果研究人員比較熟悉灰色預測模型的建模原理,也可根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇合適的灰色預測模型進行預測分析。對于需要參數(shù)優(yōu)化求解的非等間隔GM(1,1)模型、無偏GM(1,1)冪模型和非等間隔GM(1,1)冪模型,可選擇以平均相對誤差最小作為優(yōu)化目標或者采用考慮數(shù)據(jù)新舊程度的目標誤差函數(shù)[21]等特殊優(yōu)化目標,有時可以得到比Origin擬合函數(shù)更低的平均相對誤差,比如本文實例2中的無偏GM(1,1)冪模型。

4 結(jié) 語

將變形監(jiān)測灰色預測模型分為傳統(tǒng)GM(1,1)模型及其改進模型、非齊次灰色模型、GM(1,1)冪模型及其改進模型3種類型,從擬合函數(shù)、有無極限值、適合等時距或非等時距建模和適用范圍等方面對比3類灰色預測模型的代表性模型,給出3類灰色預測模型的應用建議,可為根據(jù)變形數(shù)據(jù)特征選擇合適的灰色預測模型提供指導。

以O(shè)rigin擬合函數(shù)Exp2PModl、Exponential和SRichards2作為3類灰色預測模型的替代方法。與3類灰色預測模型相比,Origin擬合函數(shù)在參數(shù)求解和建模數(shù)據(jù)要求上更具優(yōu)勢,而且可以得到相當甚至更高的擬合或預測精度,除需要編程實現(xiàn)的特殊優(yōu)化目標外,可作為3類灰色預測模型的替代方法應用于變形監(jiān)測。