數學史浸潤課堂：小學數學學科育人的實施路徑

管婷婷

［摘 要］將數學史浸潤課堂，有助于落實立德樹人的根本任務?！暗罐D”歷史，體現知識之諧，讓學生經歷知識的形成過程，建構認知；以具身經驗喚醒知識之源，讓學生逐步內化，共享學習經驗；以高階任務重現經典時刻，讓學生以史為鑒，實現“再創造”。通過這樣的路徑可助力數學史與數學課堂的有效融合。

［關鍵詞］數學史；學科育人；小學數學

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）02-0033-03

數學是研究數量關系和空間形式的一門學科?？v觀數學史，數學知識都經歷了推理、誕生以及繼承創新和互相包容的過程。將數學史引入小學數學課堂，可深化數學史與數學教育的關系，對發揮數學學科的育人功能、落實立德樹人的根本任務具有重要意義。

一、數學史育人功能

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，教材編修要注重教材創新，展現數學發展史中偉大數學家，特別是中國古代與近現代著名數學家，以及他們的數學成果在人類文明發展中的作用，增強學生的愛國情懷和民族自豪感。

（一）增強學生的文化自信

立德樹人是當代教師教育教學工作的根本任務。教師要圍繞學科育人的目標進行教學。數學史不僅包含重要的數學知識與結論，還有著豐富的數學文化韻味。另外，數學史中蘊藏著“育人”的關鍵要素——學生能感受到前人在探索數學知識的過程中永不放棄、堅持鉆研、合作探索的精神。在數學課堂中融入中國數學史，能讓課堂散發理性的光輝與人文氣息。經過這樣的學習，學生會增強文化自信及民族自豪感。

（二）提升學生的數學素養

了解數學史有助于學生理解數學知識。了解相關概念、公式的發展歷程后，學生可以借鑒數學家們的研究方法對知識重難點進行深入研究，從而加深認識。學生在學習過程中逐步打破原有的數學思維方式，將已有的結論放到新時代中去“完整”地學，在傳承中進行突破、創新，不斷完善數學思維，發展核心素養。

（三）活化教師課堂教學

要想讓數學史更好地浸潤數學課堂，教師不僅要把握好數學史的內容選擇、呈現方式和呈現時機，還要不斷地學習數學史，嘗試將知識的原始樣態與現今的發展成果進行關聯，深入剖析知識發展的節點，解決學生學習的痛點。“以史為鑒”，若教師能從歷史經驗中汲取智慧，那教學時方向將會更加清晰，也能更好地處理學生在學習上遇到的困難。

二、數學史浸潤課堂的現實困境

（一）部分教師對數學史的理解有偏差

部分教師將數學史當作簡單的數學閱讀材料，在課的開始或結束如蜻蜓點水般一筆帶過，致使學生只是大致了解故事的梗概，沒有深入體會其內涵。還有的教師將數學史視作課堂的備選知識，或者將其安排在可有可無的拓展環節，或者粗暴地堆砌數學史料，沒有挖掘數學史的育人價值。數學史的教學不應是簡單的知識科普，也不應是說故事般的教學，教師要深入學習數學史，不斷豐富自身的知識儲備，將數學史靈活運用于教學中，讓其中的數學精神與文化內涵潤澤學生的數學學習。

（二）數學史融入課堂的形式單一

筆者深入課堂后發現，多數教師已有在課堂中融入數學史的意識，但將數學史融入教學的形式還是比較單一，令學生感覺枯燥乏味。數學教育家張奠宙指出，當前的數學教學往往局限于概念、定理和思想等局部歷史的介紹，缺乏宏觀歷史進程的綜合性描述，但后者才是揭示數學含義、加深數學知識文化理解的關鍵所在。那么，數學史在何時融入、怎么融入？這是值得廣大教師思考的問題。

（三）數學史教學脫離育人意義

現階段數學史的教學局限于數學歷史文化的熏陶，這樣的數學史教學以欣賞為主，是浮于表面的。為了讓數學史的呈現不再是簡短的口頭介紹或者看一段視頻，教師應重視數學史中另一關鍵要素——經驗，以前人的經驗為知識發展的線索，并著眼于《課程標準》，基于教材且敢于跳脫出教材，真正為學生的發展而教。

三、數學史浸潤課堂的實踐路徑

（一）“倒轉”歷史，體現知識之諧

北京師范大學教育學院郭華教授曾提出數學教學中的“兩次倒轉”機制。第一次“倒轉”，從內容上看體現在“學生認識的起點是前人認識的終點”，即學生習得的經驗是傳承與延續先賢的智慧成果；第二次“倒轉”，從過程上看是學生在活動中經歷知識的發展，即學生在教師的引導下“重走”歷史，這是一個將濃縮的知識重新引入課堂的過程，重在讓學生經歷知識的形成過程，實現知識的建構。

1.圓，一中同長也

在歷史上的很長一段時間內，人們都困惑于圓周長與直徑的比值究竟是多少。中國古代數學著作《周髀算經》中有“周三徑一”的說法；劉徽用“割圓術”求得圓周率為3.1416；祖沖之求出圓周率的近似值在3.1415926和3.1415927之間；1706年，數學家威廉·瓊斯最先使用希臘字母“π”來表示圓周長與直徑的比值，即圓周率。教師將這些數學史融入課堂，讓學生知道圓周長公式的推導經歷了從有限分割到無限分割，從而深刻體會“無限分割、化曲為直”的思想方法。

2.數，起源于數

在學生初識分數時，教師要回望分數的歷史起源，引導學生關注分數“部分與整體”的意義。以 “認識幾分之一”為例，古人在分物品時，除了平均分給2個人，還會分給3個人、4個人……因此，“幾分之一”的教學除了從二分之一引入，還可以從四分之一入手，使教學內容更加貼合多樣的生活實際。

3.直，叁（三點）也

古人發現“鳥”的飛行可以超脫于其所在的平面，且鳥在一定高度上可以沿直線飛行，根據這一現象，為了強調直線的距離很長，人們便用“鳥道”來描述直線距離，意在突出“長”。后來，各派學者們又運用了“鳥飛準繩”的概念，強調“直”的重要性。再后來，《墨子》一書中這樣描述：“三點共線即為直線。”

（二）具身經驗喚醒知識之源

為了讓學生從數學史中深刻感受古人認識“線”的歷程，筆者嘗試以具身經驗“倒轉”至知識的起源，讓學生在操作中獲得具身認知。

數學知識來源于人們的生產生活，如中華傳統文化的“六藝”——射、御、禮、樂、書、數，其中的“數”就是指數學知識。因此，當學生在探索數學知識的過程中出現“詞不達意”的情況時，教師可以引導學生用比畫、畫圖等方式來表示。

具身認知可以讓學生重走古人在勞動實踐中發現知識的過程，實現數學知識與生活經驗的互融共生。如《孔子家語》有云：“夫布指知寸，布手知尺，舒肘知尋，斯不遠之則也。”寸、尺、尋這樣的長度單位是通過具身操作建立的，這便是身體尺。教師在教學時融入這段史料，能讓學生對身體尺的認識更深刻。

以“直線、射線和角”一課為例，筆者試著“不走尋常路”，用身體操作代替以往教學中的畫線段以及線段兩次延長的過程。依據具身認知的理念，筆者先通過情境喚醒學生對線段的認知，再基于學生已有的“比大小”“比多少”“比長短”的經驗，以學生想著再“長一些”的認知需求為契機，正向引導，喚醒學生的身體“細胞”。對于生活中很難體會到的“無限長”，則讓學生不斷地向身體兩側移動拳頭，感受這樣比畫出來的長度有限。通過幾個人手牽手，學生發現能找到更長的長度，而隨著人數增多，學生便會脫口而出“無限長”?！爸本€、射線和角”一課完整的具身體驗教學活動流程如圖1所示。

（三）高階任務重現經典時刻

以史為鑒，方能確保知識的學習水到渠成。在教學“第二次倒轉”前，教師要精心篩選史料。

以“圓的周長”為例，筆者的教學過程如下。

師：這里有2個圓，哪個圓的周長大？再觀察2個圓的直徑，哪個圓的直徑大？對比圓的直徑和周長，你發現了什么？

生1：直徑越大，周長越大。

師：怎么量出圓的周長呢？

生2：可以先用一條線沿著圓的邊線圍一圈，再量出所用的線的長度。

生3：在圓上做標記，以直尺的0刻度線為起點將圓沿直線滾動一圈，滾動的距離即為圓的周長。

師：你們說的這兩種方法都是將圍成圓的曲線化為直線，這種轉化數學上稱之為“化曲為直”。我們知道正方形的周長是邊長的4倍。圓的周長與直徑是否存在倍數關系呢？先做一做（如圖2），再說一說。

生4：3個圓的周長除以直徑的商都是3倍多一些。

師：數學是一門嚴謹的學科，所有圓的周長都比直徑的3倍大一些嗎？

筆者通過兩個數學活動將濃縮的圓周率的數學史在一節課中慢慢“泡”開，讓學生得以“細品”與“回味”。另外，在帶領學生探索圓的直徑與周長的關系時，筆者將教材的例題呈現順序進行了兩處改編。

第一處改編是將教材中例4的情境改為直接呈現2個大小不同的圓，以簡潔清晰的環節介紹圓的周長的含義，指出圓的周長與直徑的關系。這一改編避免了教學中可能出現的無關信息的干擾——英寸和厘米的轉換問題，以及將輪胎滾動一周的長度轉化為周長（空間想象）的問題。直接出示2個大小不同的圓，學生就能很明顯看出大圓的周長大。學生通過對比2個圓的直徑的大小很容易得出：圓的直徑越大，周長越大。將“輪胎滾動一周的長度就是圓的周長”這一知識點調整為“繞圓法”“滾圓法”后，也與“圓”的數學史發展進程一致。

第二處改編是實驗探究圓的周長除以直徑的商的規律，再通過對比，學生一致得出：圓的周長總是比直徑的3倍大一些。

從歸納推理到演繹推理，由“易”到“難”，這更符合學生的學習規律，也更貼合數學史上古人發現圓的周長與直徑之間的倍數關系的過程。

又如，在“認識幾分之一”一課中，筆者帶領學生經歷分數的“第二次倒轉”，在引入分數時重現分數起源的關鍵步驟。如在“吃餅”的教學情境中，從“吃2個餅沒飽”到“再吃1個餅，吃不完一整個，但是還想再吃一小塊”，引導學生用一句話或一個數來表示，讓別人一聽就知道這一小塊餅是多大。學生的思維是發散的，每個人對“一小塊”的理解不一樣。有人說：“一小塊比較小，可以看作是一個餅的四分之一。”筆者及時捕捉學生交流中出現的“四分之一”，緊扣四分之一中“四”與“一”的含義，引導學生理解部分與整體的關系，從而構建分數的意義。

在形成概念的過程中，教師要緊扣“以史為鑒”，同時鼓勵學生將數學史進行“再創造”，經歷知識內化過程中的“重演”“評判”“選擇”（如圖3），讓學生真正收獲知識。

在“圓的周長”一課即將結束前，筆者沒有立即進行習題檢測，而是讓學生欣賞“圓周率鋼琴曲”。在美妙的音樂中，人類探索圓周率的一幕幕如電影般浮現在學生眼前。學生沉浸其中，不斷地回味這節課的學習過程。

數學史中有精彩的故事，也有具體的人——杰出的數學家，以及數學家的探究精神。將數學史浸潤課堂，不僅能讓學生得到數學文化的熏陶，增強文化自信和民族自豪感，還能讓學生感悟數學家的人格魅力，樹立學好數學的信心，樹立為數學學科發展做貢獻的遠大志向。如此，數學的“學科育人”才是真正落到實處。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 張奠宙.關于數學史和數學文化[J].高等數學研究，2008（1）：18-22.

[2] 郭華.帶領學生進入歷史：“兩次倒轉”教學機制的理論意義[J].北京大學教育評論，2016（2）：8-26，187-188.

[3] 蔡宏圣.數學史走進小學數學課堂：案例與剖析[M].北京：教育科學出版社，2016.

[4] 李淑文，張同君.“超回歸”數學理解模型及其啟示[J].數學教育學報，2002（1）：21-23.