“正本促思”：指向素養(yǎng)提升的計(jì)算教學(xué)的應(yīng)有路徑

江蘇省無錫市蕩口實(shí)驗(yàn)小學(xué) 華 鎧

計(jì)算教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要地位，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、提升其運(yùn)算能力、發(fā)展其數(shù)學(xué)思維都起著積極作用。然而，在很多教師眼里，計(jì)算有規(guī)定的法則和順序，有統(tǒng)一的格式和要求，簡單的不需要講，復(fù)雜的又講不清，于是少講多練、以練代講的教學(xué)行為長期占據(jù)著計(jì)算課堂。在這樣的課堂上，學(xué)生或許能習(xí)得熟練的計(jì)算技能，但能得到多少思維的發(fā)展、能力的鍛煉呢？在著力培育學(xué)生核心素養(yǎng)的今天，如何改變計(jì)算教學(xué)“重技能習(xí)得，輕思維發(fā)展”的現(xiàn)狀呢？“正本促思”是指向素養(yǎng)提升的計(jì)算教學(xué)的應(yīng)有路徑。

一、正兒童之本，按需教學(xué)，促思維走向有序

“算理”與“算法”是計(jì)算教學(xué)中的兩大主角。以知識(shí)邏輯論，算理是算法的依據(jù)，沒有算理，算法就是無根之木，理當(dāng)先教算理再教算法；以認(rèn)知特點(diǎn)論，算法易于掌握，算理難于內(nèi)化，由易到難，理當(dāng)先教算法再教算理。那么，“算法”和“算理”二者到底該誰先誰后呢？走近學(xué)習(xí)的主體——兒童，認(rèn)識(shí)兒童真正的起點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)兒童真實(shí)的需求，堅(jiān)持以兒童為本，一切從兒童的需要出發(fā)，按需教學(xué)，有序教學(xué)，才能引領(lǐng)學(xué)生的思維走向有序。

（一）算理先行，循理入法

算理是客觀存在的規(guī)律，算法則是人為規(guī)定的操作程序，當(dāng)這種人為規(guī)定的操作程序?qū)W(xué)生來說是全然陌生的、憑借經(jīng)驗(yàn)完全無法推演時(shí)，先教學(xué)算法就如建造空中樓閣，顯然是行不通的。這時(shí)，教師就應(yīng)該搭好“算理”這個(gè)腳手架，這樣，學(xué)生才能在理解算理的過程中提煉算法，完成自主構(gòu)建。

例如，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”是乘法計(jì)算中的難點(diǎn)。沒有超前的學(xué)習(xí)，對(duì)于豎式這種前人高度概括總結(jié)出來的方法，學(xué)生光憑短暫思考是很難理解的。然而，盡管“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)全新的跨越，但是，當(dāng)我們追根溯源剖析其本質(zhì)時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)它的算理其實(shí)毫不陌生，即拆分成“兩位數(shù)乘一位數(shù)”和“兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)”。因此，以舊引新，催生轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)需，先弄懂算理就成了這節(jié)課的前奏。有了算理的鋪墊，算法自然水到渠成。

（二）算法先行，循法追理

理解算理固然是得出算法的必經(jīng)之路，然而，當(dāng)學(xué)生能夠獨(dú)立地從舊有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中自主遷移延伸，順利掌握新的算法時(shí)，他們還有必要倒退回去先理解算理再推理算法嗎？顯然，順應(yīng)學(xué)生的天性，先嘗試算法，讓學(xué)生感受不教而會(huì)的成功感，再循著算法深究背后的算理以此來驗(yàn)證算法的正確性更合理。

例如，“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”的教學(xué)片段如下。

情境：李叔叔想從某城市乘大巴車去上海需要12小時(shí)，大巴車每小時(shí)行80 千米；王叔叔想從某城市乘火車去上海也需要12 小時(shí)，火車每小時(shí)行120 千米。

師：閱讀以上信息，你能提出什么數(shù)學(xué)問題？

生1：李叔叔所在的城市到上海一共多少千米？

生2：王叔叔所在的城市到上海一共多少千米？

師：解決這兩個(gè)問題該怎樣列式？為什么用乘法？

生：“80×12”“120×12”，都是“路程= 速度×?xí)r間”。

師：這兩個(gè)乘法算式會(huì)計(jì)算嗎？選一個(gè)試著算一算吧!

學(xué)生板書：

師：“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”我們已經(jīng)學(xué)過了，可“三位數(shù)乘兩位數(shù)”老師還沒有教，同學(xué)們?cè)趺炊歼@么厲害已經(jīng)會(huì)算并還能算正確了？

生：這道題可以和“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”一樣，都是先用個(gè)位的數(shù)乘第一個(gè)乘數(shù)，再用十位的數(shù)乘第一個(gè)乘數(shù)，最后再把它們的積加起來。

師：這種能夠借助舊知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)探究新知識(shí)的方法在數(shù)學(xué)中叫“遷移”，你們真聰明。

有了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的筆算經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生完全可以自覺地完成類推。因此，教師創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境引導(dǎo)學(xué)生自主提問、自主計(jì)算解決，放手讓學(xué)生自主探索“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的算法，待學(xué)生順利完成算法的遷移之后，再追問“為什么這個(gè)新知不學(xué)就能算”。巧妙的提問不僅幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握算法，還厘清了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”“三位數(shù)乘兩位數(shù)”背后共同的算理。

二、正學(xué)科之本，深度教學(xué)，促思維走向深刻

許多計(jì)算課堂，有熱熱鬧鬧的計(jì)算，卻沒有安安靜靜的思考，在對(duì)計(jì)算結(jié)果和速度的過分追求中，數(shù)學(xué)被淺表化了。計(jì)算是數(shù)學(xué)，但是，數(shù)學(xué)不只是計(jì)算。張奠宙教授說過，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程，是數(shù)學(xué)思想方法的提煉、數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)的計(jì)算內(nèi)容雖然基礎(chǔ)、簡單，但背后同樣蘊(yùn)藏著豐富而深刻的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)精神。教師只有堅(jiān)守學(xué)科之本，設(shè)計(jì)能觸摸數(shù)學(xué)內(nèi)涵、感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的深度教學(xué)，才能引領(lǐng)學(xué)生的思維走向深刻。

（一）操作啟思，突破難點(diǎn)

例如, “兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”的教學(xué)片段如下。

情境: 計(jì)算能解決我們生活中的很多問題，比如，你能算一算這個(gè)電影院一共有多少個(gè)座位嗎？（出示點(diǎn)子圖，圖略）

師：如果一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)座位，一排有28 個(gè)座位，有12 排，一共有多少個(gè)座位呢？要求全部的座位，也就是求12 個(gè)28 是多少，你會(huì)利用點(diǎn)子圖先分一分，再列算式計(jì)算嗎？

生1：我是這樣分的，先算28×6=168，再算168×2=336。

生2： 我這樣分，先算28×8=224，再算28×4=112，最后算224+112=336。

生3：我這樣分，先算28×10=280，再算28×2=56，最后算280+56=336。

生4：我這樣分，先算20×12=240，再算8×12=96，最后算240+96=336。

……

師：同學(xué)們通過分點(diǎn)子圖找到了這么多種不同的計(jì)算方法，這些各不一樣的方法有沒有什么共同的地方？

生：它們都是先分再合。

師：為什么先要分？先分的好處是什么？

生： 先分可以把還沒學(xué)過的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”變成學(xué)過的“兩位數(shù)乘一位數(shù)或兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)”，這樣，對(duì)于沒學(xué)過的乘法，我們也能算出來了。

師：是啊，分的過程也就是把新知轉(zhuǎn)化成舊知的過程。剛才我們借助點(diǎn)子圖，分三步求出一共有336 個(gè)座位，那你們能不能用豎式把這三步過程清楚地表示出來呢？來，試試看。

師：能說說你們都是怎么想的嗎？比較這三種方法，你有什么想說的？

……

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”教學(xué)的難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生理解豎式中兩個(gè)部分積的意義，也就是對(duì)基于乘法分配律的算理的理解。教師運(yùn)用點(diǎn)子圖，從最基本的乘法意義著手，讓學(xué)生動(dòng)手操作，分一分、算一算，使抽象的乘法算式在直觀的圖示上獲得清晰的解釋。在此基礎(chǔ)上，教師再引導(dǎo)學(xué)生想一想、說一說“這些不同的方法之間有什么共同的地方”，最后讓學(xué)生將操作的過程用豎式表達(dá)出來。精心設(shè)計(jì)的深度教學(xué)在學(xué)生畏難處“濃墨重彩”，使學(xué)生在輕松的做與思中，自動(dòng)解鎖難點(diǎn)，自然體會(huì)方法，使學(xué)習(xí)走向深處。

（二）對(duì)話導(dǎo)思，追根溯本

例如，“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的教學(xué)片段如下。

師：我們已經(jīng)會(huì)用口算的方法和擺小棒的方法計(jì)算“46÷2”了，下面你能自己嘗試用豎式來計(jì)算嗎？

師：（指生1 的豎式）“46÷2”明明是一個(gè)除法算式，為什么這個(gè)同學(xué)寫了兩個(gè)除法豎式？你明白他是怎樣想的嗎？

生：因?yàn)椤?6÷2”要先算“40÷2”，再算“6÷2”，所以，他列了兩個(gè)除法豎式。

師：真不錯(cuò)，用兩個(gè)除法豎式能清楚地表達(dá)“46÷2”要分2 次計(jì)算。那如果要分3 次，要列幾個(gè)豎式？(3 個(gè))分4 次，5 次，6 次，更多次呢？

生：太麻煩了！

師：（指生2 的豎式）這個(gè)同學(xué)倒是一點(diǎn)不麻煩，一個(gè)這么簡單的豎式就把結(jié)果計(jì)算出來了，只是——

生：感覺太簡單了，這個(gè)豎式都不能看出要分2 次。

師：有道理！有沒有辦法只用一個(gè)豎式就能把分2 次的過程表達(dá)得很清楚呢？

師：（指生3 的豎式）這個(gè)同學(xué)和數(shù)學(xué)家的做法不謀而合呢！從這個(gè)豎式中，你能看出計(jì)算“46÷2”時(shí)先算什么，再算什么嗎？

……

數(shù)學(xué)知識(shí)可以分為顯性知識(shí)和隱性知識(shí)。“46÷2”該怎樣列豎式，這是程序性的顯性知識(shí)，易于傳授；而“46÷2”的豎式本質(zhì)就是口算中兩次平均分過程的表達(dá)，這是隱性知識(shí)，難于把握。教師要用智慧解讀學(xué)生的作品、學(xué)生的心理，用智慧創(chuàng)設(shè)有豐富對(duì)話空間的場域。通過不斷交流、質(zhì)疑、探討、思考，學(xué)生主動(dòng)取長補(bǔ)短，促使自己打破固有觀念，知其然并知其所以然。精心設(shè)計(jì)的深度教學(xué)追根溯本，讓隱性知識(shí)得以顯現(xiàn)、內(nèi)化，讓學(xué)生的思維走向深入。

（三）聯(lián)結(jié)拓思，融會(huì)貫通

例如，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)片段如下。

課本原題 改編后題

師：不計(jì)算，你能很快判斷出這個(gè)計(jì)算結(jié)果是否正確嗎？

生：不正確！

師：這么快就確定結(jié)果是錯(cuò)誤的，你的理由是什么？

生：我看積的最后一位，“1×3”結(jié)果應(yīng)該是3，所以它錯(cuò)了。

師：真不錯(cuò)，用上了尾數(shù)判定法。大家還有不一樣的想法嗎？

生1：我是估算的，“120×10”結(jié)果是1200，結(jié)果應(yīng)該比1200 大，所以是錯(cuò)的。

生2：三位數(shù)乘兩位數(shù)，積最少也應(yīng)該是四位數(shù)，因?yàn)樽钚〉娜粩?shù)100 乘最小的兩位數(shù)10 結(jié)果也是1000 呢！

師：猜一猜，造成錯(cuò)誤的原因是什么？

……

課本的原題是一道普通的改錯(cuò)題，旨在讓學(xué)生在專項(xiàng)練習(xí)中進(jìn)一步明確單一知識(shí)點(diǎn)“用十位上的數(shù)去乘，積的末位應(yīng)該在十位上”。教師巧妙地把錯(cuò)題的中間過程隱藏了起來，并精心設(shè)計(jì)提問：“不計(jì)算，你能很快判斷出這個(gè)計(jì)算結(jié)果是否正確嗎？你的理由是什么？”原本簡簡單單的一道題融合了估算、巧算、筆算等知識(shí)點(diǎn)，留給學(xué)生的思考空間更大了，學(xué)生的推理能力、問題解決能力等也由此得到了提升。

計(jì)算課絕不應(yīng)該就計(jì)算論計(jì)算，而應(yīng)以學(xué)科能力的生長為目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)讓數(shù)學(xué)知識(shí)真正在學(xué)生的心靈深處得以融會(huì)貫通。

（四）整理反思，遷移內(nèi)化

例如，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)片段如下。

師：同學(xué)們，三年級(jí)我們一起學(xué)習(xí)了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，四年級(jí)我們學(xué)習(xí)了“三位數(shù)乘兩位數(shù)”，猜一猜五年級(jí)、六年級(jí)我們又會(huì)學(xué)什么乘法呢？

生：五年級(jí)我們學(xué)“四位數(shù)乘兩位數(shù)”，六年級(jí)我們學(xué)“五位數(shù)乘兩位數(shù)”。

師：是這樣嗎？遺憾地告訴大家，五年級(jí)、六年級(jí)甚至初中，我們都不會(huì)再學(xué)習(xí)幾位數(shù)乘幾位數(shù)的乘法了，想一想，為什么就不學(xué)習(xí)下去了呢？

生：太麻煩了，生活中又不用。

師：哦，位數(shù)多了，乘起來確實(shí)有點(diǎn)麻煩呢，但生活中有時(shí)也會(huì)碰到三位數(shù)乘三位數(shù)的乘法，比如“123×456”，那不學(xué)又不用計(jì)算器的話，是不是就不會(huì)算了？

生：“三位數(shù)乘三位數(shù)”，我們也會(huì)算的，方法是一樣的，先算“123×6”，再算“123×50”，然后算“123×400”，最后合起來。

師：那四位數(shù)乘四位數(shù)、八位數(shù)乘九位數(shù)……你們會(huì)算嗎？

生：會(huì)！方法和道理都是一樣的。

弗賴登塔爾認(rèn)為，反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力。深度課堂是基于反思的課堂，經(jīng)歷了對(duì)知識(shí)的深度探究后，教師一定要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思和感悟。“為什么不學(xué)下去了？”“不學(xué)是不是就不會(huì)算了？”富有挑戰(zhàn)性且直抵核心的問題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的認(rèn)知重新認(rèn)知，對(duì)自己的思考重新思考，使知識(shí)進(jìn)一步得以拓展遷移，使學(xué)生進(jìn)一步深化理解，內(nèi)化感悟、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、提升數(shù)學(xué)能力。

三、正發(fā)展之本，綜合實(shí)踐，促思維走向開放

隨著科技的進(jìn)步，要得到正確的計(jì)算結(jié)果，只需在計(jì)算器上按下數(shù)字和運(yùn)算符號(hào)就能輕松獲取，甚至更復(fù)雜、更高級(jí)的計(jì)算也有超級(jí)計(jì)算機(jī)可以幫忙。那么，為什么我們還要花費(fèi)時(shí)間教學(xué)生學(xué)計(jì)算？一切為了學(xué)生的發(fā)展。在計(jì)算教學(xué)中，教師不僅要發(fā)展學(xué)生的計(jì)算能力，還要發(fā)展學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”“會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的能力。因此，在常規(guī)的課本計(jì)算教學(xué)之外，堅(jiān)定發(fā)展之本，開展更綜合性的主題學(xué)習(xí)、項(xiàng)目學(xué)習(xí)成為必然。例如，在學(xué)習(xí)了基本的整數(shù)計(jì)算之后，教師可以設(shè)計(jì)“三日周邊短途游的方案預(yù)算”“家里衛(wèi)生間翻新的預(yù)算”等實(shí)踐活動(dòng)；在學(xué)習(xí)了小數(shù)計(jì)算之后，設(shè)計(jì)“數(shù)說浪費(fèi)小調(diào)查”“我家一周伙食小調(diào)查”等實(shí)踐活動(dòng)……豐富多彩的綜合實(shí)踐活動(dòng)將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界緊密相連，在解決真實(shí)問題的過程中，使學(xué)生的思維走向開放。

總之，有價(jià)值的數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)，給予學(xué)生的影響應(yīng)該是多元而立體的，既要有知識(shí)的豐厚、技能的純熟，也要有方法的領(lǐng)悟、思想的啟迪、精神的熏陶、能力的鍛煉。事實(shí)上，立足“正本促思”的數(shù)學(xué)計(jì)算課的確擁有這一切，而且也可能傳遞這一切。