一種多策略改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法的混沌系統(tǒng)參數(shù)辨識

潘悅悅，吳立飛，楊曉忠

（1.華北電力大學(xué) 控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院, 北京 102206; 2.華北電力大學(xué) 數(shù)理學(xué)院信息與計(jì)算研究所, 北京 102206）

在非線性科學(xué)領(lǐng)域，混沌系統(tǒng)的控制與同步是研究熱點(diǎn)，其在信息科學(xué)、保密通信等方面應(yīng)用廣泛[1-2]，準(zhǔn)確的混沌系統(tǒng)模型是實(shí)現(xiàn)同步控制的基礎(chǔ)。然而，實(shí)際應(yīng)用中，混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，部分參數(shù)不可知，因此精確辨識混沌系統(tǒng)參數(shù)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[3-4]。

近年來，許多學(xué)者開始關(guān)注和研究混沌系統(tǒng)參數(shù)辨識問題，并應(yīng)用智能優(yōu)化算法辨識系統(tǒng)參數(shù)。Chen等(2019年)[5]使用改進(jìn)花授粉算法估計(jì)混沌和超混沌系統(tǒng)參數(shù)。數(shù)值模擬證明了新算法的有效性和魯棒性。Ahandani等(2020年)[6]提出一種混洗復(fù)雜進(jìn)化算法解決混沌系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)問題，數(shù)值結(jié)果表明改進(jìn)算法提高了參數(shù)估計(jì)的收斂速度和精度。Turgut等(2021年)[7]使用單元拓?fù)涓倪M(jìn)鯨魚算法和正余弦算法，辨識混沌系統(tǒng)參數(shù)，測試結(jié)果證明，新算法成功地解決了參數(shù)識別問題。Ebrahimi等(2021年)[8]提出了一種改進(jìn)洛茲映射混沌優(yōu)化算法，數(shù)值結(jié)果表明，改進(jìn)算法能夠高效、準(zhǔn)確地估計(jì)混沌系統(tǒng)參數(shù)。

鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm，WOA)是一種新型群智能算法[9]，具有搜索能力強(qiáng)、計(jì)算穩(wěn)定等特點(diǎn)，在最優(yōu)控制、光伏系統(tǒng)等方面應(yīng)用廣泛[10-11]。然而WOA存在全局和局部搜索不平衡，易陷入局部最優(yōu)等問題，因此國內(nèi)外學(xué)者對WOA進(jìn)行了有效的改進(jìn)。Chen等(2020年)[12]提出一種準(zhǔn)對立混沌WOA(whale optimization algorithm with chaos mechanism based on quasi-opposition, OBCWOA)，數(shù)值仿真結(jié)果證明了改進(jìn)算法的全局搜索能力。Chen等(2020年)[13]為提高WOA的收斂精度和速度，提出一種雙自適應(yīng)隨機(jī)備用增強(qiáng)WOA(reinforced whale optimization algorithm, RDWOA)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了RDWOA的有效性。Chakraborty等(2021年)[14]為解決高維問題，結(jié)合多種策略，提出一種增強(qiáng)WOA(enhanced whale optimization algorithm, eWOA)，測試結(jié)果表明所提算法能有效解決高維問題。Shen等(2023年)[15]提出一種多策略進(jìn)化WOA(whale optimization algorithm based on multi-population evolution,MEWOA)，試驗(yàn)結(jié)果證明了MEWOA求解優(yōu)化問題的有效性。Deng等(2023年)[16]提出了一種具有多策略混合算法的改進(jìn)WOA(improved whale optimization algorithm, IWOA)，仿真結(jié)果表明，IWOA有較好的收斂速度和穩(wěn)定性。

以上改進(jìn)算法雖然有一定提升，但在收斂精度和速度方面仍有待提高，本文在已有工作的基礎(chǔ)上，以WOA為基礎(chǔ)，使用Chebyshev混沌映射產(chǎn)生均勻分布種群，增加初始種群多樣性。將收斂因子非線性化，增加自適應(yīng)權(quán)重，兼顧全局搜索和局部挖掘。動態(tài)選擇自適應(yīng)t分布或蟻獅優(yōu)化算法[17-18]，跳出局部最優(yōu)。通過對10個基準(zhǔn)函數(shù)和高維測試函數(shù)進(jìn)行仿真試驗(yàn)，驗(yàn)證了MIWOA的優(yōu)越性。將MIWOA應(yīng)用于Ro¨ssler和Lu¨混沌系統(tǒng)參數(shù)辨識，仿真結(jié)果證明了MIWOA辨識混沌系統(tǒng)參數(shù)的有效性。

1 多策略改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法的建立

1.1 基本W(wǎng)OA

WOA模擬了鯨魚捕食行為，其仿生學(xué)原理描述如下：

1) 包圍捕食階段。

鯨魚尋找食物時(shí)，當(dāng)前鯨魚根據(jù)最佳鯨魚位置更新自身位置，公式為

式中：a=2-2t/T，t和T分別為當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)，X*(t)和X(t)分別為最佳鯨魚位置和當(dāng)前位置，r1、r2為[0,1]的隨機(jī)數(shù)。

2) 螺旋更新階段。

在螺旋更新位置時(shí)，鯨魚通過螺旋向上的方式，靠近群體中最優(yōu)位置，更新公式為

式中：D′為第i只鯨魚和獵物之間的距離，b為改變螺旋形狀的常數(shù)，l為[-1,1]中的隨機(jī)數(shù)。

在鯨魚搜索獵物時(shí)，收縮包圍和螺旋更新同步進(jìn)行，位置更新公式為

式中p為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

3) 隨機(jī)搜尋階段。

鯨魚通過|A|大小，選擇隨機(jī)搜尋或者包圍捕食。當(dāng)|A|＞1時(shí)，鯨魚在包圍圈外，通過隨機(jī)搜尋獲得獵物信息，位置更新公式為

式中Xrand為當(dāng)前的一個隨機(jī)鯨魚位置。

1.2 WOA的改進(jìn)

WOA初始化種群時(shí)采用隨機(jī)搜索策略，全局搜索能力弱。包圍捕食和螺旋更新階段，收斂因子線性遞減不能平衡全局和局部搜索。算法后期容易陷入局部最優(yōu)。針對以上缺點(diǎn)，本文通過Chebyshev混沌映射初始化種群。包圍捕食和螺旋更新階段，非線性化收斂因子，加入自適應(yīng)權(quán)重。算法后期，動態(tài)使用自適應(yīng)t分布或蟻獅優(yōu)化算法更新鯨魚位置，對WOA進(jìn)行改進(jìn)。

1) Chebyshev混沌映射。

Chebyshev混沌映射對初值敏感[19]，可產(chǎn)生大量無周期實(shí)值序列。本文采用Chebyshev混沌映射對WOA進(jìn)行種群初始化，迭代方式為

式中k為階次。Chebyshev映射迭代1 000次的分布如圖1所示。

圖1 Chebyshev映射分布Fig.1 Chebyshev map distribution

由圖1可知，映射值分布于[-1,1]，Chebyshev混沌映射能更均衡地選取初始種群。將Chebyshev混沌序列映射到WOA解空間中，規(guī)定鯨魚種群數(shù)為N，隨機(jī)產(chǎn)生第1只鯨魚個體向量，Y=(y1,y2,···,yd)。使用式(10)對Y的各維進(jìn)行n-1次迭代，產(chǎn)生其余的n-1只鯨魚。映射生成n只鯨魚個體為

式中：ud和ld分別為搜索空間第d維的上下界，yid和xid分別為第d維的第i只鯨魚和第i只鯨魚的坐標(biāo)值。

2) 非線性收斂因子和自適應(yīng)權(quán)重。

WOA中，參數(shù)A∈[-a,a]調(diào)節(jié)全局搜索和局部挖掘。當(dāng)|A|≥1時(shí)，算法進(jìn)行全局搜索，當(dāng)|A|＜1時(shí)，算法進(jìn)行局部挖掘。隨著迭代的進(jìn)行，a=2-2t/T線性遞減不能體現(xiàn)實(shí)際優(yōu)化過程，因此改進(jìn)收斂因子，公式為[20]

式中：u為大于零的常數(shù)，調(diào)節(jié)a的衰減程度。T=500時(shí)，圖2為a隨u的變化曲線。

圖2 a的衰減曲線Fig.2 Attenuation curves of a

如圖2，與WOA相比，u越大，a＞1所占的迭代次數(shù)比例越大，算法全局搜索能力越強(qiáng)，局部挖掘能力越弱。反之，u越小，a＜1所占的比例越大，算法局部挖掘能力越強(qiáng)，全局搜索能力越弱。所以a的變化趨勢很大程度地影響優(yōu)化求解。由于本文提出的Chebyshev混沌映射初始化種群策略，可以有效提高算法全局搜索能力，故選取u=0.6，增強(qiáng)局部挖掘能力，加快收斂速度，提高精度。

針對WOA后期局部挖掘時(shí)，權(quán)重固定，不利于算法尋優(yōu)，本文提出一種自適應(yīng)權(quán)重策略，公式為

3) 自適應(yīng)t分布。

t分布又稱學(xué)生分布，概率密度函數(shù)為[17]

圖3 函數(shù)分布對比Fig.3 Function distribution comparison

由圖3可知，t分布的自由度n越小，曲線的雙尾翹越高，中間峰值越小，整體越平滑。反之，自由度n越大，中間峰值越大，整體越陡峭。自適應(yīng)t分布對鯨魚位置的更新為

式中：xti為更新后的鯨魚位置，n和t(n)分別為迭代次數(shù)和以迭代次數(shù)為自由度的t分布函數(shù)。

4) 蟻獅優(yōu)化算法。

在蟻獅優(yōu)化算法中，螞蟻通過隨機(jī)游走更新位置，公式為[18]

式中：cumsum為螞蟻游走位置累加和，T為最大迭代次數(shù)，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，r(t)為0或1的隨機(jī)數(shù)。螞蟻隨機(jī)游走公式的標(biāo)準(zhǔn)化形式為

式中：ai和bi分別為第i個變量的最小值和最大值，和分別為第t代第i個變量的最小值和最大值。

2 混沌系統(tǒng)參數(shù)辨識的MIWOA

2.1 混沌系統(tǒng)的參數(shù)辨識原理

混沌系統(tǒng)參數(shù)辨識原理如圖4所示。

圖4 混沌系統(tǒng)參數(shù)辨識原理Fig.4 Principle of parameter identification for chaotic system

考慮如下n維混沌動力學(xué)系統(tǒng)：

式中：x=[x1x2···xn]T∈Rn為系統(tǒng)的n維狀態(tài)變量，x0為初始狀態(tài)量，θ0=[θ10θ20···θm0]T為參數(shù)真實(shí)值。當(dāng)辨識系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，假設(shè)結(jié)構(gòu)為

式中：y=[y1y2···yn]T∈Rn為辨識系統(tǒng)的狀態(tài)變量，θ=[θ1θ2···θm]T為參數(shù)估計(jì)值。系統(tǒng)參數(shù)辨識是尋找一組最優(yōu)未知參數(shù)，使系統(tǒng)真值x和估計(jì)值y的誤差值最小：

式中：xk和yk分別為k時(shí)刻的系統(tǒng)真值和估計(jì)值，m為參數(shù)辨識狀態(tài)變量序列的長度。目標(biāo)泛函J(θ)的值越小，參數(shù)辨識的精度越高。MIWOA流程如圖5所示。

圖5 MIWOA流程Fig.5 Flow chart of MIWOA

2.2 MIWOA的時(shí)間復(fù)雜度分析

設(shè)種群規(guī)模為N，搜索空間維度為D，最大迭代次數(shù)為T，WOA的時(shí)間復(fù)雜度為O(NDT)。本文MIWOA以WOA為基礎(chǔ)進(jìn)行改進(jìn)，Chebyshev混沌映射初始化種群的時(shí)間復(fù)雜度為O(ND)，非線性收斂因子和自適應(yīng)權(quán)重未在基本W(wǎng)OA基礎(chǔ)上增加循環(huán)嵌套，時(shí)間復(fù)雜度為O(NDT)，動態(tài)選擇自適應(yīng)t分布或蟻獅優(yōu)化算法的時(shí)間為t1，則其時(shí)間復(fù)雜度為O(NDT+t1)，雖然MIWOA的時(shí)間復(fù)雜度相對WOA有所增加，但在可接受范圍內(nèi)，下面通過數(shù)值試驗(yàn)說明MIWOA的卓越性。

3 MIWOA性能測試與分析

3.1 測試函數(shù)的選取

仿真試驗(yàn)基于AMD Ryzen R7 5700U CPU@1.80 GHz，在Matlab R2019a 環(huán)境下運(yùn)行。為了驗(yàn)證MIWOA有更好的尋優(yōu)性能，選取表1的10個基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行測試，ε表示絕對誤差精度。f1～f7為單峰函數(shù)，f8～f10為多峰函數(shù)，10個測試函數(shù)的最優(yōu)值均為0。

表1 基準(zhǔn)函數(shù)Table 1 Benchmark functions

3.2 MIWOA與其他智能算法對比

采用10個基準(zhǔn)函數(shù)檢驗(yàn)MIWOA的性能，與WOA、粒子群算法(particleswarmoptimization，PSO)[21]、人工蜂群算法(artificialbee colonyalgorithm,ABC)[22]、灰狼算法(greywolf optimizer，GWO)[23]和哈里斯鷹算法(harris hawksoptimization，HHO)[24]進(jìn)行測試結(jié)果比較。令N=30，D=30，T=1000，運(yùn)行30次，表2為6種算法的最優(yōu)值、最差值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(黑色粗體為最優(yōu)結(jié)果)。

表2 測試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果Table 2 Test function optimization results

由表2數(shù)據(jù)可知，對于單峰函數(shù)f1、f2，MIWOA的尋優(yōu)結(jié)果均為0， WOA的計(jì)算結(jié)果優(yōu)于PSO、ABC和GWO算法。在f3、f4測試函數(shù)上，MIWOA的計(jì)算結(jié)果優(yōu)于HHO，可取得理論最小值。對于f5～f7函數(shù)，雖然MIWOA沒有達(dá)到最小值，但優(yōu)于WOA。對于多峰函數(shù)f8～f10，MIWOA可收斂到最優(yōu)值附近，其中f9函數(shù)可收斂到最優(yōu)值，說明MIWOA相對于其他算法有更好的收斂精度和穩(wěn)定性。

基準(zhǔn)測試函數(shù)的收斂曲線可以清晰地展現(xiàn)算法的收斂速度，圖6(a)～(d)和(e)～(f)分別為單峰和多峰函數(shù)的平均收斂曲線。由圖6可以看出，對于6個測試函數(shù)，在收斂精度相同的情況下，MIWOA收斂速度更快，說明Chebyshev混沌映射初始化種群策略提高了種群中高質(zhì)量個體的比例，非線性收斂因子和自適應(yīng)權(quán)重平衡了全局和局部搜索，加速收斂。MIWOA收斂曲線波動下降，說明自適應(yīng)t分布或蟻獅優(yōu)化算法的動態(tài)選擇策略有助于算法跳出局部最優(yōu)，提高收斂精度。

圖6 30維測試函數(shù)的平均收斂曲線Fig.6 Average convergence curves of 30 dimensional test functions

3.3 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

Wilcoxon秩和檢驗(yàn)?zāi)軌驒z測更為復(fù)雜的數(shù)據(jù)分布，并與算法多次運(yùn)行的數(shù)據(jù)對比，公平地體現(xiàn)MIWOA的優(yōu)越性[24]。實(shí)驗(yàn)設(shè)定顯著性差異為5% ，當(dāng)p＜5%判定兩算法有明顯差異，反之無明顯差異。符號“＋”“-”和“＝”分別表示MIWOA的性能優(yōu)于、劣于和相當(dāng)于對比算法，N/A表示無法進(jìn)行顯著性判斷。選取MIWOA在10個測試函數(shù)的運(yùn)行結(jié)果與WOA、PSO、ABC、GWO以及HHO運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，計(jì)算p值。表3結(jié)果顯示大部分p＜5%，說明MIWOA的尋優(yōu)能力優(yōu)于5種對比算法。

表3 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果Table 3 Results of Wilcoxon rank sum test

3.4 MIWOA不同改進(jìn)策略的有效性分析

為比較3種改進(jìn)策略對MIWOA性能的影響，令N=30，D=30，T=500，對f1～f10進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算，將MIWOA與WOA、WOA1(采用Chebyshev混沌映射)、WOA2(采用非線性收斂因子和自適應(yīng)權(quán)重)和WOA3(采用自適應(yīng)t分布或蟻獅優(yōu)化算法)比較，計(jì)算結(jié)果如表4。

表4 不同改進(jìn)策略算法性能對比Table 4 Performance comparison of algorithms for different improved strategies

由表4可知，3種改進(jìn)策略對WOA均有不同程度的提升，WOA3的改進(jìn)效果最好，WOA2次之，WOA1的計(jì)算結(jié)果低于其他2種算法的計(jì)算結(jié)果，但對WOA仍有明顯的改進(jìn)效果。將3種改進(jìn)策略相結(jié)合時(shí)，算法搜索最精確，明顯優(yōu)于WOA1、WOA2和WOA3，表明3種改進(jìn)策略是有效的。

3.5 MIWOA與不同策略改進(jìn)WOA對比

為了對比MIWOA與其他改進(jìn)WOA的改進(jìn)效果，令N=30，D=500，T=500，引用3種算法(OBCWOA[12]、eWOA[14]和MEWOA[15])的數(shù)據(jù)，在相同測試條件下，對f1～f10測試，結(jié)果如表5。

表5 MIWOA與其他改進(jìn)WOA性能對比Table 5 Performance comparison between MIWOA and other improved WOAs

表5結(jié)果顯示，對于函數(shù)f1～f4，MIWOA與MEWOA可以在有限次迭代收斂到最優(yōu)值，而OBCWOA和eWOA相對收斂精度較低。對于函數(shù)f5～f10，MIWOA可以使用更少的迭代次數(shù)收斂到最優(yōu)值，說明MIWOA比其他改進(jìn)WOA尋優(yōu)效果更好。

平均絕對誤差(meanabsoluteerror, MAE)是評價(jià)算法有效可行的重要指標(biāo)，計(jì)算公式為[23]

式中：mi為算法求解結(jié)果平均值，oi為各測試函數(shù)理論值，Nf為測試函數(shù)個數(shù)。表6為除理論值非零的f8函數(shù)外，4種算法的MAE排序，由計(jì)算結(jié)果可知，MIWOA的MAE值最小，排名第1，證明了本文改進(jìn)策略的有效性。

表6 4種改進(jìn)WOA的MAE排名Table 6 MAE ranking of four improved WOAs

3.6 MIWOA求解高維函數(shù)的實(shí)驗(yàn)分析

由上述計(jì)算結(jié)果可知，對于低維測試函數(shù)，本文MIWOA尋優(yōu)效果良好，但實(shí)際應(yīng)用中高維大規(guī)模問題普遍存在，為了檢驗(yàn)MIWOA求解高維問題的可行性，將其在10個基準(zhǔn)函數(shù)，N=30，T=500，D=200、500、1000情況下，運(yùn)行30次取平均值，根據(jù)文獻(xiàn)[25]求解算法尋優(yōu)成功率。絕對誤差精度如表1所示，計(jì)算結(jié)果如表7。

表7 高維測試函數(shù)優(yōu)化對比Table 7 High dimensional test functions optimization comparison

從表7可以看出，兩算法在求解高維測試函數(shù)時(shí)，尋優(yōu)精度比求低維函數(shù)略有下降，但整體仍可達(dá)到較高精度，獲得理想結(jié)果。MIWOA在7個基準(zhǔn)函數(shù)上尋優(yōu)成功率達(dá)到了100%，相同維度下，MIWOA的尋優(yōu)效果比WOA更好，說明MIWOA對于求解高維優(yōu)化問題具有較高的計(jì)算精度和穩(wěn)定性。

3.7 MIWOA平均運(yùn)行時(shí)間分析

為了驗(yàn)證MIWOA的計(jì)算速度，將其與PSO、ABC、GWO、HHO、WOA、WOA1、WOA2、WOA3運(yùn)行30次的平均時(shí)間對比，N=30，D=1000，T=500，計(jì)算結(jié)果如表8。

表8 基準(zhǔn)函數(shù)尋優(yōu)平均時(shí)間對比Table 8 Comparison of average time for optimization of benchmark functions

由表8可知，對于元啟發(fā)式算法，WOA與ABC、HHO運(yùn)行時(shí)間相近，可以快速收斂到最優(yōu)值。對于改進(jìn)算法，WOA、WOA1和WOA2的平均時(shí)長相當(dāng)，說明WOA1和WOA2的改進(jìn)策略未增加WOA運(yùn)行時(shí)間。由于算法后期動態(tài)選擇自適應(yīng)t分布或蟻獅優(yōu)化算法，增加了循環(huán)嵌套，WOA3耗時(shí)多于WOA。融合多種改進(jìn)策略的MIWOA搜索范圍變廣，尋優(yōu)時(shí)間增加，但均在合理范圍內(nèi)，與理論分析相符。

4 MIWOA辨識混沌系統(tǒng)參數(shù)

4.1 MIWOA對Ro¨ssler 混沌系統(tǒng)的參數(shù)辨識

Ro¨ssler 系統(tǒng)具有簡單、非對稱吸引子結(jié)構(gòu)，在保密通信中承擔(dān)非常重要的作用。以典型Ro¨ssler混沌系統(tǒng)為例，驗(yàn)證MIWOA可以精確辨識混沌系統(tǒng)參數(shù)。Ro¨ssler系統(tǒng)表達(dá)式為[7]

當(dāng)參數(shù)a=0.2，b=0.2，c=5.7時(shí)，系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，其演化過程如圖7所示。令初值向量為[-101]T，步長h=0.01，使用四階Runge-Kutta法解式(21)，利用前100個解及PSO、WOA、MIWOA辨識待定參數(shù)[abc]T，各算法獨(dú)立運(yùn)行20次。

圖7 Ro¨ssler 混沌系統(tǒng)動力學(xué)軌跡Fig.7 Dynamic track of Ro¨ssler chaotic system

首先測試3種算法在具有一個未知參數(shù)的Ro¨ssler系統(tǒng)參數(shù)辨識中的搜索性能，即每次只辨識a、b、c3個參數(shù)中的一個，測試結(jié)果如表9。由表中數(shù)據(jù)可知，對于參數(shù)a，MIWOA可收斂到理論最優(yōu)值，其最差值優(yōu)于其他2種算法的最優(yōu)值。對于參數(shù)b，WOA和MIWOA均可達(dá)到理論最優(yōu)值，但MIWOA尋優(yōu)效果更好。對于參數(shù)c，MIWOA的適應(yīng)度值小于PSO和WOA的適應(yīng)度值，估計(jì)值很接近真實(shí)值，說明MIWOA具有良好的全局搜索能力和計(jì)算魯棒性。

表9 不同算法的一維參數(shù)估計(jì)結(jié)果比較Table 9 Comparison of one-dimensional parameter estimation results for different algorithms

然后測試各算法在具有2個未知參數(shù)的混沌系統(tǒng)參數(shù)辨識中的搜索性能，計(jì)算結(jié)果如表10。從表10估計(jì)a和b可以看出，各算法搜索精度相似，相對于一個未知參數(shù)的情況，搜索精度略有下降，但MIWOA的計(jì)算結(jié)果仍優(yōu)于PSO和WOA。另外2種情況也得出同樣的結(jié)論，驗(yàn)證了MIWOA辨識2個未知參數(shù)Ro¨ssler系統(tǒng)的可行性。

表10 不同算法的二維參數(shù)估計(jì)結(jié)果比較Table 10 Comparison of two-dimensional parameter estimation results for different algorithms

最后，使用3種算法辨識具有3個未知參數(shù)的混沌系統(tǒng)，表11為各算法運(yùn)行20次的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。由表11中數(shù)據(jù)可知，各算法的搜索精度下降，但MIWOA的最差值優(yōu)于PSO和WOA的最優(yōu)值，在3種算法中搜索精度最高，表明MIWOA對Ro¨ssler混沌系統(tǒng)參數(shù)辨識更具有效性。

表11 不同算法的三維參數(shù)估計(jì)結(jié)果比較Table 11 Comparison of three-dimensional parameter estimation results for different algorithms

圖8和圖9分別是WOA和MIWOA對Ro¨ssler混沌系統(tǒng)的參數(shù)辨識曲線和適應(yīng)度值曲線，從圖中可以看到MIWOA的參數(shù)估計(jì)值可以快速收斂到真實(shí)值，適應(yīng)度值迅速逼近0，表明MIWOA高效的全局搜索能力和快速收斂速度。

圖8 WOA和MIWOA參數(shù)辨識曲線Fig.8 Parameter identification curves of WOA and MIWOA

圖9 WOA和MIWOA適應(yīng)度值曲線Fig.9 Fitness value curves of WOA and MIWOA

4.2 MIWOA對Lu¨ 混沌系統(tǒng)的參數(shù)辨識

為了驗(yàn)證MIWOA對混沌系統(tǒng)參數(shù)辨識的普適性，以Lu¨系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真，表達(dá)式為[26]

其中，系統(tǒng)參數(shù)真實(shí)值為a=30，b=22.2，c=8.8/3時(shí)，系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，其演化過程如圖10所示。

圖10 Lu¨混沌系統(tǒng)動力學(xué)軌跡Fig.10 Dynamic track of Lu¨ chaotic system

令初值向量為[-101]T，使用PSO、WOA和MIWOA辨識Lu¨混沌系統(tǒng)3個參數(shù)未知時(shí)的情況，3種算法獨(dú)立運(yùn)行20次，辨識結(jié)果如表12所示。

表12 各算法的三維參數(shù)估計(jì)結(jié)果比較Table 12 Comparison of three-dimensional parameter estimation results for each algorithm

由表12中數(shù)據(jù)可知，除了MIWOA的最優(yōu)適應(yīng)度值大于WOA的最優(yōu)適應(yīng)度值，MIWOA的計(jì)算結(jié)果均優(yōu)于其他2種算法，說明MIWOA辨識混沌系統(tǒng)具有普適性。

5 結(jié)束語

本文以WOA為基礎(chǔ)，提出一種MIWOA。通過分析初始種群分布，使用Chebyshev混沌映射提高了初始種群質(zhì)量。采用非線性收斂因子和自適應(yīng)權(quán)重，提高了算法全局和局部搜索能力。動態(tài)選擇自適應(yīng)t分布或蟻獅優(yōu)化算法更新鯨魚位置，避免過早收斂。通過對10個基準(zhǔn)函數(shù)和高維測試函數(shù)進(jìn)行測試，以及Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，證明了MIWOA的優(yōu)越性。

將MIWOA應(yīng)用于Ro¨ssler和Lu¨ 混沌系統(tǒng)的參數(shù)辨識，仿真結(jié)果優(yōu)于PSO和WOA，驗(yàn)證了MIWOA辨識混沌系統(tǒng)參數(shù)的高效性。今后將繼續(xù)研究WOA的優(yōu)化策略，將其應(yīng)用到混沌系統(tǒng)控制與同步等其他領(lǐng)域。

致謝本文作者衷心感謝德國阿爾弗雷德韋格納研究所 Sergey Danilov 教授和王強(qiáng)博士在寫作過程中提出的寶貴建議和意見！