試從不同視角理解輔助角公式的由來

強睿琦

【摘要】輔助角公式俗稱“二合一”公式，對正弦、余弦兩個異名同角三角函數的和進行合二變一起到了重要的作用.然而輔助角公式在實際教學中地位略顯尷尬，因此如何建立合適的教學表征，讓學生從本質上理解輔助角公式，在實際教學中就顯得尤為重要.

【關鍵詞】高中數學；輔助角公式；教學表征

1? 引言

輔助角公式是三角函數這一章節中的一個重要公式，它是由李善蘭先生提出的一種高等三角函數公式.輔助角公式的具體表達式是asinθ+bcosθ=a2+b2sinθ+φ，其中φ為引入的輔助角，因而得名“輔助角公式”.其中角φ是由cosφ=aa2+b2與sinφ=ba2+b2共同決定的.輔助角公式在對正弦、余弦兩個異名同角三角函數的和進行合二變一起到了相當重要的作用，因此也將輔助角公式稱為“二合一”公式.利用輔助角公式可以將asinθ+bcosθ的形式化為Asinθ+φ的形式，為后續三角函數式的化簡以及研究三角函數圖象的周期、單調區間、最值都提供了極大的便利.輔助角公式在歷年高考題中都是必考內容之一，由此可見，輔助角公式在高中階段是一個極其重要的公式.

在實際教學中，多數一線教師會把輔助角公式放在一個重要的位置，因為考試需要這個公式，然而這個公式對學生來說不好記，對教師來說不好教，但對教材編者來說，不能拔得太高，因為這是一個派生公式.因此，教材與考試在這個公式上就有了一定的分歧，所以迫切需要從本質上研究這個公式，使之易于教學.

2? 教科書中的輔助角公式

“教材是教與學的基本依據，它為教學活動的開展提供了基本依據，是學生學習的重要資源.”同時，章建躍老師對概念教學提出必須體現概念的形成過程.基于此，首先對2019年人教A版教科書以及滬教版教科書中輔助角公式的呈現方式進行研究，試從教材入手，從本質上理解輔助角公式.

輔助角公式表達式1：

asinθ+bcosθ=a2+b2sinθ+φ.

輔助角公式表達式2：

acosθ－bsinθ=a2+b2cosθ+φ.

輔助角公式對三角函數中的化簡、求值、證明、單調性、周期性以及奇偶性等問題的解決都起到了極大的作用，對于輔助角公式的推導，人教A版教材與滬教版教材使用了不同的方法，現將兩版教材中輔助角公式的內容呈現如下.

2.1? 人教A版教科書

人教A版教科書在推導輔助角公式的過程中使用的是“待定系數法”：

設asinx+bcosx=Asinx+φ，

則asinx+bcosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ，

于是Acosφ=a，Asinφ=b，

于是A2cos2φ+A2sin2φ=a2+b2，

所以A2=a2+b2，

取A=a2+b2，

則cosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2，

于是有asinx+bcosx=a2+b2sinx+φcosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2.

2.2? 滬教版教科書

滬教版教科書在推導輔助角公式的過程中使用的是“三角換元法”：

asinα+bcosα=a2+b2aa2+b2sinα+ba2+b2cosα.

注意到aa2+b2，ba2+b2為單位圓上的一點，由正弦與余弦的定義，存在唯一確定的角α∈0，2π，

使得cosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2，于是有

asinα+bcosα=a2+b2sinαcosφ+cosαsinφ

=a2+b2sinα+φ.

兩版教材意圖是通過適當的變形，通過逆用兩角和與差的正弦與余弦公式，將兩個不同三角比的和式化為一個三角比.通過有層次的變式，逐步引導學生看到為了逆用兩角和與差的正弦與余弦公式，就要從系數入手，生成a2+b2，然而能否生成又如何生成a2+b2是一難點也是一重點.因此，為了讓學生明白a2+b2是如何得到的，我們就需要從本源上去認識這個公式，生成最合適的教學表征［1］.

3? 輔助角公式中a2+b2的本質

從兩版教材對輔助角公式的呈現來看，雖然在教學中做了一定的鋪墊，但是學生還是不能從方法水平上理解上述做法，只能當作一種問題解決的技巧來認識，這表明了邏輯方法的局限性.人教A版教材與滬教版教材對于“輔助角公式”的推導過程看似不同，實則本質相同，都是對于兩角和與差的正弦與余弦公式的逆用，因此我們不妨抓住本質，追根溯源，從兩角和與差的正弦與余弦公式入手，讓學生明白a2+b2是如何得到的，探明a2+b2的本質，利用類比思想直接推導出輔助角公式.

3.1? 向量a，b的模

在人民教育出版社出版的2017年版《普通高中教科書數學（A版）》必修四的內容中，對于兩角和與差的正弦與余弦公式采用向量進行推導.因此我們不妨類比兩角和與差的正弦與余弦公式的推導方法，試著推導出輔助角公式.具體推導如下：

在直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊，先作出角π2－θ，

其終邊與單位圓相交于點

P1cosπ2－θ，

sinπ2－θ，

再作出角φ，其終邊經過點P2a，b，

則∠P1OP2=π2－θ－φ.

由于余弦函數是周期為2π的偶函數，因此只需討論0≤π2－θ－φ≤π的情況.

設向量OP1=cosπ2-θ，sinπ2-θ，OP2=a，b，

則OP1·OP2=OP1·OP2cos∠P1OP2=

a2+b2cosπ2－θ－φ=a2+b2sinθ+φ.

另一方面，根據向量數量積的坐標表示，有OP1·OP2=cosπ2－θ，sinπ2－θ·a，b=acosπ2－θ+bsinπ2－θ=asinθ+bcosθ.所以，asinθ+bcosθ=a2+b2sinθ+φ，其中tanφ=ba.

上述推導過程中使用向量的數量積以及向量的坐標表示進行推導，最終得到了輔助角公式.從整個推導過程中不難看出，其中a2+b2的本質是向量a，b的模.

3.2? 點到原點之間的距離

同樣的，在人民教育出版社出版的2019年版《普通高中教科書數學（A版）》的內容中，對于兩角和與差的正弦與余弦公式的推導進行了修訂，使用了兩點之間的距離公式進行了推導，故而我們同樣可以從該角度入手，推導輔助角公式.具體推導如下：

在直角坐標系xOy中，任取一點P，則點P的坐標為a，b.

以點O為圓心，OP為半徑作圓，交x軸于點A，不難得到點A的坐標為a2+b2，0.

再作角π2－θ，其終邊與圓O交于點

P1a2+b2cosπ2－θ，a2+b2sinπ2－θ.

設∠AOP=－φ，

則∠P1OP=π2－θ－φ=π2－θ+φ.

將直線POP1繞點O旋轉φ角后直線與圓相交于點P2，

則∠AOP2=π2－θ+φ，

于是有P2a2+b2cosπ2－θ+φ，

a2+b2sinπ2－θ+φ.

因為弧PP1與弧AP2相等，則PP1=AP2，根據兩點之間的距離公式，

得a－a2+b2sinθ2+b－a2+b2cosθ2

=a2+b2－a2+b2sinθ+φ2+

0－cosθ+φ2，

化簡得：acosθ+bsinθ=a2+b2sinθ+φ，tanφ=ba.

同樣的，上述推導過程中使用了兩點之間的距離公式，通過觀察不難看出，其中a2+b2的本質是點到原點之間的距離.

3.3? 簡諧振動“合振動”的振幅

此外，我們可以建立學科之間的聯系，將數學與物理相結合進行探究.歷史上，物理是產生數學與應用數學最重要的領域.從物理角度看數學，不僅能了解數學知識的直觀背景，還能知曉數學知識在物理上的廣泛應用.由于三角函數是勻速圓周運動的本質表現，因此我們不妨從數學的角度刻畫勻速圓周運動，進而推出輔助角公式.

三角函數是勻速圓周運動的本質表現，因此我們可以利用三角函數從數學的角度刻畫勻速圓周運動.

設點A與點B分別在半徑為a和b的圓上做勻速圓周運動.點A的初相為a，點A與點B的相位相差π2.

根據簡諧振動的定義，我們不難得到y=asina表示質點A以單位速度在半徑為a的圓上做勻速圓周運動時，質點在y軸上的投影所做的是簡諧振動.同理，y=bcosa表示質點B以單位速度在半徑為b的圓上做勻速圓周運動時，質點在y軸上的投影所做的是簡諧振動.

將上述兩個簡諧振動合成后得到的依舊是一個簡諧振動.于是有OC= OA+OB，OC的運動表示了振動對應的勻速圓周運動.在矩形AOBC中，OC表示的質點在半徑為a2+b2的圓上做勻速圓周運動，質點的相位是∠xOC=∠xOA+∠AOC=a+arctanba，即表示的簡諧振動為

y=a2+b2sina+arctanba.

所以asina+bcosa=a2+b2sina+arctanba，

其中a2+b2的本質是簡諧振動“合振動”的振幅.

綜上可知a2+b2可以表征為三重意義：一是向量的模；二是點到點的距離；三是簡諧振動“合振動”的振幅.這樣就說清楚了輔助角公式的由來，特別是a2+b2的意義.

4? 結語

著名數學家波利亞曾經說過“數學是一門演繹的學問”.因此從多角度探究輔助角公式并非吹毛求疵，而是力求吃透一個知識點，正是因為多角度的探究，才使得我們更加透徹地理解了輔助角公式.

參考文獻：

［1］徐章韜.asinθ＋bcosθ=a2＋b2 sinθ＋arctan ba的推導——生成合適的教學表征的一個案例［J］.中學數學教學參考（上半月高中），2009（06）：13-14.