新高考背景下高中數(shù)學復習課之微專題策略

陳美蘭

【摘要】高考作為學生要面對的一次重大考驗，也是人生的一大轉折點，重要性不言而喻，隨著新高考政策的頒布與實施，對廣大高中教育工作者來說是嚴峻挑戰(zhàn)，同時對學生的備考也產生一定影響，他們應給予格外關注.在新高考背景下的高中數(shù)學教學中，復習課是一個常設課型，教師可引入微專題的復習模式，讓學生產生更好的復習狀態(tài)，提升他們的復習質量.本文以新高考背景下高中數(shù)學復習課之微專題為研究對象，同時制定部分有效策略.

【關鍵詞】新高考；高中數(shù)學；復習課

微專題作為高中數(shù)學復習課中比較常用的一種方式，因為高中數(shù)學知識比較抽象，難度較大，微專題可以把抽象的復習內容轉變?yōu)楹唵蔚膶W習過程，且立體直觀的呈現(xiàn)出來，有助于學生進一步鞏固所學的數(shù)學知識，幫助他們在未來高考中獲得優(yōu)異成績.高中數(shù)學教師需主動響應新高考的要求，關注學生的個體差異與學習狀態(tài)，不斷完善微專題在復習課中的使用方式，使其更加易于接受，接觸到更為具體與全面的數(shù)學知識，全力提升他們的數(shù)學知識水平［1］.

1? 教材內容分析

微專題具有“微”的特征，與大專題相比較來說，通常屬于大專題構成部分之一，其范圍比較小，內容較少，極具精確性、精準性與針對性，往往圍繞一種常見題型、某一特色問題或者一種常用解題方法等展開，同時也有“專”的特征，對某個特定數(shù)學問題的難點、原理、解法、思路等進行深層次分析.

本文以高中數(shù)學復習課中“函數(shù)零點數(shù)量的判斷”為例介紹微專題的具體應用，函數(shù)的零點作為高中數(shù)學課程體系中的重要概念之一，是學生學習導數(shù)、不等式、二分法等知識的理論基礎，本節(jié)課作為一節(jié)復習課，教師從不同視角把函數(shù)和方程、數(shù)和形巧妙整合起來，體現(xiàn)出函數(shù)和方程、數(shù)形結合、從特殊到一般、轉化和化歸等數(shù)學思想方法，增進他們對函數(shù)的零點相關知識的理解與認識.

本節(jié)復習課的主要目標是幫助學生能夠熟練判斷不含參數(shù)函數(shù)的零點數(shù)量，促使他們進一步掌握判斷含參數(shù)函數(shù)零點數(shù)量的技巧［2］.

2? 具體教學安排

2.1? 關注基礎，總結方法

例1? （1）函數(shù)f（x）=x2－3x－4的零點數(shù)量有幾個？

（2）證明函數(shù)f（x）=lnx+x－3的零點數(shù)量有且只有1個；

（3）已知偶函數(shù)f（x）滿足f（x－1）=f（x+1），且當x∈［0，1］時，f（x）=－x+1，那么有關x的方程f（x）=lg（x+1）在x∈［0，9］上解的數(shù)量有幾個？

針對第（1）題，可以直接求方程x2－3x－4=0的根，或者通過畫圖的方式來判斷該函數(shù)的零點個數(shù).

針對第（2）題有兩種解法：

解法1? 因為函數(shù)f（x）單調遞增，且f（1）〈0，f（e）〉0，根據(jù)函數(shù)零點的有關定理進行分析和判斷，發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)的零點數(shù)量為1個；

解法2? 將原函數(shù)轉變?yōu)楹瘮?shù)g（x）=lnx與h（x）=x－3，發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標只有一個，即為證明該函數(shù)有且只存在1個零點.

針對第（3）題，可以將原題轉變成函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=lg（x+1）在區(qū)間［0，9］中交點的數(shù)量問題.

通常而言，針對如函數(shù)f（x）=g（x）－h(huán)（x）的零點等價與方程g（x）－h(huán)（x）=0的根，繼而等價于函數(shù)y=g（x）和y=h（x）圖像之間的交點，這叫做分離函數(shù)法.

接著，教師組織學生一起探討和歸納解題技巧，他們將會歸納如下：

①函數(shù)y=f（x）的零點數(shù)量就是對應方程f（x）=0根的數(shù)量；

②可運用函數(shù)零點存在性定理來判斷零點的具體數(shù)量；

③借助等價變形的方法把方程解的情況轉變成兩個函數(shù)圖像之間的交點問題.

設計目的：本組試題都屬于對函數(shù)零點數(shù)量的判斷，雖然考查的知識點以基礎內容為主，但是能夠展現(xiàn)出函數(shù)零點數(shù)量的實質，即為函數(shù)圖像與x軸相交的點的橫坐標，或者為f（x）=0的根［3］.

2.2? 深化理解，培育素養(yǎng)

例2? 已知函數(shù)f（x）=2x－1，x>0－x2－2x，x≤0，函數(shù)g（x）=f（x）－m存在3個零點，那么實數(shù)m的取值范圍是什么？

并安排以下變式：

變式1? 已知函數(shù)f（x）=2x－1，x>0－x2－2x，x≤0，函數(shù)g（x）=f（x）－mx存在2個零點，那么實數(shù)m的取值范圍是什么？

變式2? 已知函數(shù)f（x）=2x－1，x>0－x2－2x，x≤0，函數(shù)g（x）=f（x）－m存在3個零點，分別是x1，x2，x3，那么x1+x2+x3的取值范圍是什么？

變式3? 已知函數(shù)f（x）=2x－1，x>0－x2－2x，x≤0，函數(shù)g（x）=f（f（x））－m存在3個零點，那么實數(shù)m的取值范圍是什么？

解題思路? 例2中的題目能夠等價轉變成方程f（x）=m剛好存在3個根，然后等價為函數(shù)f（x）圖像和直線y=m之間的交點數(shù)量是3個，并結合直線y=m的上下變動情況輕松確定實數(shù)m的取值范圍，同時也能夠把這一問題的零點數(shù)量進行變換，該方法的實質是參變分離，即為分離參數(shù)法；

變式1能夠轉化成函數(shù)f（x）的圖像與直線y=mx之間的交點數(shù)量為2個，結合直線y=mx圍繞原點進行轉動符合條件時直線的起始位置，從而把實數(shù)m的取值范圍計算出來；

變式2是深化學生對數(shù)形結合思想與轉化思想的理解和運用；

變式3設t=f（x），這時應分析方程f（t）=m與方程t=f（x）即可，如果當0〈m〈1時，f（t）=m存在3個解，分別記作t1，t2，t3，且（t1〈－1〈t2〈0〈t3），再根據(jù)f（x）=t1有1個解，f（x）=t2有1個解，f（x）=t3有3個解，由此一共得到5個解，與題意明顯不符，同理可以分析當m=0，m=1，m〈0，m〉1的不同情況，綜合分析可可得m=0或者m=1.

變式3可歸結為復合函數(shù)的零點問題，該解題方法是對“f（t）=m”進行整體代換，即為對整體代換法的使用.

設計目的? 本組題目都是結合函數(shù)零點數(shù)量來求參數(shù)范圍，通過一題多變的方式揭示此類題目主要考查的是學生對數(shù)形結合思想的理解情況與應用能力，也就是根據(jù)函數(shù)圖像同x軸之間的交點情況來判定零點個數(shù)，也可以拆分成兩個函數(shù)進行分析，結合它們的公共點情況找到參數(shù)的具體范圍，常規(guī)解題流程是先“形”后“數(shù)”.這樣學生借助一題多變訓練了解和掌握處理函數(shù)零點問題的幾種常用方法，鍛煉他們的解答此類數(shù)學試題的能力，基本實現(xiàn)微專題復習的教學目的［4］.

2.3? 親身實踐，增強能力

例3? 已知函數(shù)f（x）=2lnx－x2+ax（a∈R），如果函數(shù)g（x）=f（x）－ax+m在區(qū)間［1e，e］中存在2個零點，請求出實數(shù)m的具體取值范圍.

經過前面幾個環(huán)節(jié)的學習，學生基本學會處理函數(shù)零點問題中找到參數(shù)取值范圍的技巧，教師應鼓勵他們盡可能找出不同的解題方法，主要有以下幾種：

解法1? 圖像法，運用導數(shù)對函數(shù)的單調性進行分析，根據(jù)題意畫出圖1，

圖1

因為函數(shù)g（x）=f（x）－ax+m，

所以g′（x）=2x－x=－2（x+1）（x－1）x，

又因為x∈［1e，e］，

所以根據(jù)g′（x）=0能夠求得x=1，

當1e≤x〈1時，g′（x）>0，函數(shù)g（x）具有單調遞增的特性，

當1〈x≤e時，g′（x）〈0，函數(shù)g（x）具有單調遞減的特性，

故當x=1時，函數(shù)g（x）有最大值g（1）=m－1，

又因為g（1e）=m－2－1e2，g（e）=m+2－e2，

所以g（x）=f（x）－ax+m在區(qū)間［1e，e］內存在2個零點需要滿足的條件是g（1）=m－1>0，g（1e）=m－2－1e2≤0，g（e）=m+2－e2≤0，

解之得1〈m≤2+1e2，

所以說實數(shù)m的取值范圍是（1，2+1e2］；

解法2? 分離函數(shù)法，

因為出g（x）=2lnx－x2+m=0，

所以2lnx=x2－m，

讓函數(shù)h（x）=2lnx（x∈［1e，e］），φ（x）=x2－m（x∈［1e，e］），

能夠等價轉變成函數(shù)h（x）和函數(shù)φ（x）的圖像剛好存在2個交點，然后按照正常步驟進行求解.

解法3? 參變分離法，

令g（x）=2lnx－x2+m=0，可以得到m=x2－2lnx，

能夠轉變成函數(shù)h（x）=x2－2lnx（x∈［1e，e］）同直線y=m剛好存在2個交點，然后按照正常步驟進行求解.

設計目的? 本環(huán)節(jié)的安排緊緊圍繞本節(jié)復習課的微專題展開，難度系數(shù)略高于前面兩道例題，能夠進行一題多解訓練，教師要給予學生充裕的時間進行思考和分析，讓他們親自動手進行實踐解題，從而實現(xiàn)檢測練習的目的，使其將各自的解法分享出來，組織學生相互討論和評價，使其及時發(fā)現(xiàn)問題和糾正，讓他們深化理解這幾種不同處理函數(shù)零點問題的方法，使其形成不錯的解題能力［5］.

3? 本課教學感悟

在本節(jié)復習課中采用微專題模式，帶領學生復習“函數(shù)零點問題”，主要有以下幾個方面的感悟：

（1）針對高中數(shù)學復習課來說，采用微專題教學，能夠助推學生更好的處理部分熱點問題與高頻考點，提升他們復習行為的針對性與目的性，以此節(jié)省寶貴的復習時間，使其有的放矢彌補自己的不足之處，并增強對高考重點與熱點的鞏固，升華復習效果.

（2）在高中數(shù)學復習中，通常要安排一些月考、綜合測試、單元測試與模擬考試等，針對考試中學生出現(xiàn)的問題，十分適合采用微專題的形式來講評試卷，顯得求專不求全，借助問題生成微專題，讓他們解決在復習中真實存在的問題，使其復習行為變得根據(jù)針對性與目的性［6］.

（3）微專題教學能夠充分激活學生的背景知識，發(fā)散他們的數(shù)學思維，使其深入探究解決數(shù)學試題的方法與竅門，利用一題多變幫助學生突破固有章節(jié)的束縛，使其通整合與串聯(lián)建立完善的數(shù)學知識體系，促使他們對學習內容融會貫通，改善數(shù)學綜合能力與素質.

4? 總結

總的來說，在新高考背景下的高中數(shù)學復習課教學活動中，教師應充分意識到微專題的作用和價值，結合數(shù)學學科特征與知識特色巧妙引入微專題復習模式，把復雜、困難的高中數(shù)學復習內容設計成多個微專題，將復習任務變得更為精細化、精確化與精準化，降低學生的復習難度，從根本上幫助他們解決復習中遇到的問題，進一步提升數(shù)學學習能力，全力改善復習質量，使其以更好的心態(tài)去應對每一次考試，增強自信心，為高考做好充足準備.

【福建省莆田市2023年度名師工作室專項課題：“四新”背景下高中數(shù)學復習課之微專題策略研究（PTMS2023051）研究成果】

參考文獻：

［1］張鵬理.高中數(shù)學復習中微專題的價值探究與實施途徑［J］.數(shù)學教學通訊，2023（09）：43-45.

［2］姬彩生.利用微專題復習高中數(shù)學知識確保高考備考更科學［J］.中學數(shù)學，2022（11）：49-50.

［3］方章顏.基于深度學習的高中數(shù)學微專題教學策略［J］.中學數(shù)學，2022（15）：13-15.

［4］黃祥嘉.高中數(shù)學微專題課堂教學的有效實施［J］.試題與研究，2021（33）：97-98.

［5］倪樹平.精準·精細·精煉：高中數(shù)學微專題深度教學的思考［J］.中學數(shù)學教學參考，2020（19）：67-70.

［6］陳志恩.再談高中數(shù)學“微專題”教學——微專題的編制策略與方法［J］.中學理科園地，2020，16（05）：44-46.