利用“六何”深度學習法指導課堂教學

彭瑛晶

【摘要】學生是教育教學的主體，數學教育的目的不僅是為了讓學生掌握數學知識，更是讓學生能夠在未來生活中有高效的學習能力，即學生的數學學科核心素養.這是傳統教學所不能達到的.通過“從何→是何→與何→如何→變何→有何”的深度學習方式，可以讓學生明白為什么學數學、怎樣學數學、如何用數學的問題，從而達到高中數學新課程標準的要求.

【關鍵詞】六何；深度學習；課堂教學

本文將利用“六何”認知鏈指導教師課堂教學從而引導學生深度學習.提出“六何”深度學習法就是讓學生明白數學問題及新知從哪兒來？——從何；所學新知是什么？——是何；這些數學知識內部要素之間、要素與總體之間的聯系與區別——與何；學了這些知識應該怎樣用？如何解決一些實際問題及現有數學問題的解答——如何；當條件、情境發生變化時，結論又怎樣變化？——變何；最后有什么收獲？——有何.該法能指導教師和學生更好地理解教材，讓學生明白為什么學數學，怎樣學數學，如何用數學的問題，知其然知其所以然，在深度學習中落實數學核心素養的培養.

以普通高中教科書數學必修一第一冊人教（2019）A版第5章§5.2.1三角函數的概念為例.

1? 新知從何而來？（從何）——創設情景，引出新知

高中已經學習了哪些基本初等函數？請大家回憶一下，我們研究這些函數的過程是什么？（承上啟下）本章引言告訴了我們生活中哪些周期變化現象？（鼓勵學生回答）

問題1? 我們只要坐在摩天輪上，就可以周而復始地一直坐下去，如果把摩天輪看成一個圓，我們看做點P，以水平位置OA做起始位置，按逆時針方向旋轉到終止位置OP，形成一個角α，如何借助角α的大小變化刻畫點P的位置變化？（圖1）我們可以用什么表示點P的位置？

圖1

設計意圖? 明確本章引言的重要性，通過閱讀第五章的章頭引言讓學生明白本章要學什么？從哪里來？到哪里去？從函數定義提問到研究函數的一般方法，不僅為后面抽象概括出三角函數概念做鋪墊，也是為了讓學生梳理研究函數的方法，體現大單元教學的重要性.通過研究摩天輪上點的運動，培養學生數學建模的能力，從而為后續深度學習打下鋪墊.

2? 所學新知是什么？（是何）——觀察分析，探究新知

問題2? 既然我們借助角α的大小刻畫點P的位置變化.當旋轉角α=π6時，點P的坐標是什么？你們如何求點P的坐標？若旋轉角α=π2或2π3時，點P的坐標分別是什么？

問題3? 請問這三個角所對應的點的坐標是唯一確定的嗎？

問題4? 任意給定一個角α，它的終邊OP與單位圓的交點P的坐標也是唯一確定的嗎？

通過上述問題，學生可分析出：當角α確定時，它的終邊也就唯一確定，則終邊與單位圓的交點也就唯一確定，那么點的坐標也唯一確定.

問題5? 任意給定一個角α屬于實數，那么對于點P而言，既有唯一確定的橫坐標與之對應，也有唯一確定的縱坐標與之對應.這種對應關系符合我們前面所學的什么定義？

結合引入部分的鋪墊，學生是可以迅速得出符合“函數”定義的.

于是得出三角函數的概念：

設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P（x，y），

（1）把點P的縱坐標y叫做α的正弦函數，記作sinα，即y=sinα; α∈R，

（2）把點P的橫坐標x叫做α的余弦函數，記作cosα，即x=cosα; α∈R［1］.

設計意圖? 通過動點P在單位圓周上的運動，由特殊到一般，借助信息技術觀察動點變化，在一般函數概念的指導下，探究確認點P的橫坐標x，縱坐標y與角α的對應關系就是函數，再抽象概括出三角函數的概念.（突破三角函數的概念這節課的重難點）通過問題串逐漸引導學生思考所要學的知識是什么？怎么來的？從而培養學生邏輯推理、數學抽象的核心素養.

問題6? 請仔細閱讀課本178頁回答下面問題？

為什么說yx也可以看成關于角α的函數？其中角α也可以取任意實數嗎？

由于α確定了，點P的坐標就唯一確定了，那么坐標的比值也就唯一確定了，所以yx也可以看成關于角α的函數；

由于x≠0，α的終邊不能在y軸上，所以α≠π2+kπ（k∈Z），

于是可以得到把點P的縱坐標與橫坐標的比值yx叫做α的正切，記作tanα，即yx=tanα（x≠0）［1］

設計意圖? 通過閱讀教材與回答問題，進一步進一步加深學生對三角函數定義的理解，從而培養學生的自學歸納推理能力.在這個推導過程中有學生會問由于α確定了，點P的坐標就唯一確定了，那么坐標的比值也就唯一確定了，那么xy（y≠0）也可以看成角α的函數，還有1x（x≠0）和1y（y≠0）.在這個過程中教師要對學生的提問和給出的結論給予肯定和鼓勵，并可以補充給出余切、正割、余割函數的定義.作為教師就是要教會學生用已有的知識推導出新知識的方法進而達到深度學習，從而培養適應未來社會需要的人才.

3? 所學新知與原有知識有什么關系？（與何）——新舊辨析，加強理解

探討? 回憶初中學習的銳角三角函數的定義，并與高中所學任意角三角函數的定義進行對比，你們發現有什么區別？

sinα=ABOAcosα=OBOAtanα=ABOB

sinα=ycosα=xtanα=yx

圖3

由上述對比（圖3）可以得出：初中所學銳角三角函數是以銳角為自變量，以三角形邊長的比為函數值的函數；而高中所學任意角三角函數是以任意角為自變量，以單位圓上的點的坐標或者坐標的比為函數值的函數.（在這個過程中鼓勵學生作答比如從角的范圍、表達形式的不同等角度作答，只有通過交流才可能指導其更深層次地理解概念）.

追問? 兩種三角函數的定義方式顯然是不同的，但是這兩種不同定義方式的三角函數有沒有聯系？如果我們取同一個銳角α，那么在這兩種定義中的三角函數值會一樣嗎？

問題7? 設α∈0，π2，把按銳角三角函數定義求得的銳角α的正弦記為z1，并把按本節三角函數定義求得的α的正弦記為y1，z1與y1相等嗎？［2］

不妨將三角形OAB的角α平移與坐標單位圓O中的角α重合（圖4），學生通過小組合作或獨立探究利用相似三角形是能證明z1與y1相等的.

追問? 對于余弦與正切也有相同的結論嗎？（鼓勵學生作答鞏固所學方法）

上述問題可得出：初中銳角三角函數的定義方式與高中三角函數的定義方式不同，但角α∈0，π2時，我們利用三角形相似推導出三角函數值是一樣的，這也說明任意角三角函數定義與原有知識并不矛盾，而是更好地刻畫了周期變化現象.

設計意圖? 對比分析銳角三角函數與任意角三角函數，明確兩種定義的區別與聯系，體會所學新知的重要性與必要性，加強對三角函數概念的理解.在這個過程中培養學生探究及深度思考問題的意識.

4? 所學新知如何應用？（如何）——概念鞏固、歸納總結

例1? 求5π3的正弦值、余弦值和正切值.

解? ?在直角坐標系中，作∠AOP=5π3，如圖6所示，易知∠AOP的與單位 圓的交點坐標為12，-32，

所以sin5π3=－32，cos5π3=12，tan5π3=－3.

圖6

圖7

問題8? 請總結出求給定角三角函數值的方法？（讓學生通過完成練習結合定義總結方法）

設計意圖? 鞏固概念，歸納總結出單位圓定義求一個角的三角函數值步驟：①畫出角α的終邊與單位圓;②求出角α的終邊與單位圓的交點坐標；③寫出角α的三角函數值.在此不僅夯實所學新知，更能培養學生歸納總結的能力，明確所學知識如何應用.

5? 所學新知條件發生改變時，該怎么辦？（變何）——探究變式，提升素養

例2? 如圖7，設α是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點0重合）的坐標為（x，y），點P與原點的距離為r.

求證：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx.

問題9? 通過例2的解答，你能得到什么結論？

通過例2，學生可以掌握只要知道角α終邊上任意一點P的坐標，就可以求得角α的各個三角函數值的方法.

設計意圖? 通過例2進一步建立與銳角三角函數的聯系，也進一步理解了任意角三角函數的定義，將三角函數的“單位圓定義”與“終邊上點的坐標比定義”相結合推導出新的結論.從而啟發學生思考當我們所學知識的條件發生改變時，該怎么辦？只要掌握了研究的方法，問題自然迎刃而解.我們數學教育的目的不就是要教會學生用所學知識解決未知問題、探究新知識的能力嗎？

6? 你學到了什么？（有何）——歸納總結，回味無窮

通過這節課的學習掌握了哪些知識與方法？從而獲得了哪些數學能力？

設計意圖? 通過上述簡單問題不僅能讓學生回顧總結所學知識，還能有效地培養學生自我構建知識體系的能力.在逐漸培養學生自我總結和學習的過程中落實數學核心素養，從而達到數學新課程標準的要求.

7? 結語

本文研究以“六何”方式組織課堂教學，落實學生新知學習為問題切入點，以學生沒有行之有效的學習方法為研究假設，遵循數學學科知識及學生認知發展規律，設計“六何”深度學習法的課堂教學方法.讓學生對數學理解從“不會”→“會”→“對”→“好”的創新思維能力和實踐能力.“六何”深度學習法能幫助教師和學生更好的理解教材，讓教師落實大單元教學，讓學生明白為什么學數學，怎樣學數學，如何用數學，從而在深度學習中落實數學核心素養.

【課題：《指向數學核心素養的“六何”深度學習法實踐研究》省級編號：2022B213市級編號：GYYB22176】

參考文獻：

［1］章建躍，李增滬.普通高中教科書數學必修第一冊（2019）A版［M］.北京：人民教育出版社，2019：177-179.

［2］吳海鳳.基于“六何認知鏈”的高中數學教材的比較研究［D］.南寧：廣西師范大學，2015.