欠采樣下的多頻帶通信信號高精度載頻估計

黃翔東 宋金水 李燕平

(天津大學 天津 300072)

1 引言

非合作目標的載頻估計是通信偵察中的關鍵環節，旨在從寬范圍監測頻帶中快速、高精度地捕獲目標頻率位置。其接收機通常采用超外差結構，即將射頻信號與本振信號相混頻，并借助中頻濾波器提取出其固定頻帶，再進行模數轉換與數字譜分析；然而該方法因依賴混頻器、本振和中頻濾波器等模擬器件(當進行大范圍載頻捕獲時，甚至需要設置多級混頻)，存在硬件成本高、功耗大、不易小型化的缺點[1-3]。為克服該缺陷，將數字采樣從中頻段前移至射頻段是載頻估計的趨勢。然而，若在射頻端直接采用經典奈奎斯特采樣模式，需使用高速模數轉換器(Analog-to-Digital Converter,ADC)，這對系統的硬件成本和功耗都提出很高要求。因而，欠采樣下的非合作目標的載頻估計是當前頻譜分析迫切需要解決的問題，而欠采樣下的頻率估計難點在于解決混疊頻率的解模糊問題。

為解決混疊頻率的解模糊問題，常用方法有以下3種。(1)利用中國余數定理(Chinese Remainder Theorem, CRT)完成折疊整數的計算[4,5]，然而直接用這些CRT算法處理具體欠采樣波形時，只能適用于復數信號，不能適應于實數信號，其原因是CRT必須依賴多路欠采樣，即使對于單頻信號，其單通道實數波形必然對應兩個復指數譜邊帶，從而m ≥2路多通道采樣就會產生2m個余數，故必然對僅需m個余數的CRT重構造成余數選取模糊問題。(2)借助多通道互素欠采樣，利用查找表或頻率配準完成混疊頻率的解模糊[6,7]。這種方法依賴多通道欠采樣率的互素關系，頻率檢測范圍受限于多通道欠采樣率的最小公倍數，不適用于在大帶寬頻率檢測范圍內對非協作信號的頻率估計。(3)借助欠采樣譜分析方法估計出全景譜避免欠采樣導致的頻率混疊問題，再利用其他手段完成頻率校正。目前主流的方法為借助基于調制寬帶轉化器(Modulated Wideband Converter, MWC)的譜分析方法估計出信源在整個頻率檢測范圍的頻譜支撐，再通過將每個頻譜切片移動到頻譜中的適當位置并疊加生成奈奎斯特采樣序列，進而完成頻率估計[8-10]。顯然，基于MWC的譜分析并恢復奈奎斯特采樣序列完成載頻估計的關鍵點在于正確估計出信源的頻譜支撐。

具體來說，基于MWC的頻率估計方法采用多路并行欠采樣結構，在每路ADC前用乘法器、高頻脈沖發生器和模擬低通濾波器替代了超外差的混頻器、本振和中頻濾波器，故其模擬電路成本和功耗有所降低；在譜重構算法設計方面，MWC通常采用壓縮感知重構算法以構造全景譜。近年來，該方法被用于非合作目標的聯合到達角和載頻的估計方法中[11-13]。

然而MWC方法仍存在欠采樣通道數目多、載頻估計精度低和對信源頻帶分布稀疏度約束條件高等缺陷。原因在于：(1) MWC的譜重構方法是基于壓縮感知原理的，要求欠采樣通道數目m ＞2U，U為譜成分數目；(2) 壓縮感知譜重構算法只能將載頻定位在有限的譜支撐區上，奈奎斯特序列的生成只是簡單的頻譜切片合并，其頻率估計精度受限于頻譜支撐的準確性；(3) 壓縮感知重構條件要求信源稀疏分布，當多信源呈現密集分布時(如信源跨越多個譜支撐區情況)，MWC方法即失效。因此，目前MWC方法的最新研究進展都在于提高頻譜支撐估計的準確性。文獻[9]通過判斷2次重構的子帶能量之間的相關性判斷MWC壓縮采樣重構是否準確。文獻[10]改進了譜重構中使用的貪心算法(即最短距離正交匹配跟蹤算法)，不僅將譜重構的復雜度降低50%，而且具有更好的譜支撐集估計精度。

為根本解決當前主流的MWC欠采樣譜分析方法的3個問題，本文提出基于互素譜相位差校正的通信信號載頻估計方法，該方法只需在兩路互素欠采樣條件[14,15]下，即可實現包含多個通信信號的高精度載頻估計，且適合于跨頻段和密集譜估計。

2 互素欠采樣概述及問題分析

經典互素譜分析流程如圖1所示。

圖1 經典互素譜分析流程圖

圖1中，M, N為互素整數對, 設定載頻估計上限頻率為FN(對應Nyquist采樣周期T=1/FN，快拍周期為MNT)，則兩路互素欠采樣速率設置為FS1=FN/N,FS2=FN/M。圖1中子濾波器Hk(z),Gl(z) 是由截止頻率為 π/M, π/N的原型低通濾波器H(z),G(z)做多相分解而得[14,15]

從圖1可看出，兩路欠采樣序列x(Nn),x(Mn)分別經過多相濾波(上、下通道的支路濾波器分別為H0(z),...,HM-1(z),G0(z),...,GN-1(z)), IDFT運算和通道間各支路的互相關掃描，即得互素譜輸出Sxx(ωi),i=0,1,...,MN-1 其 中ωi=iΔω,Δω=2π/MN。

然而，作為離散譜分析方式，互素譜的頻率分辨率受限于 Δω=2π/MN[15](對應的模擬頻率分辨率為 Δf=FN/MN)，該分辨率仍無法滿足實際載波頻率估計精度要求。為提升精度，一方面需挖掘載頻與互素譜通道的映射關系，基于此設計互素譜校正方法，實現高精度載頻估計；另一方面需設計提升互素譜分析的分辨率的措施。

3 載頻估計方法

3.1 載頻與互素譜通道映射關系分析

以單頻帶二進制相移鍵控調制(Binary Phase Shift Keying, 2PSK)信號為例說明該映射關系，2PSK信號為

其中，載頻fc=(i+δ)Δf,fc＜FN/2 ,Δf=FN/MN, i是載頻的整數部分 (0≤i ≤MN/2-1),δ是載頻的小數部分 (-0.5≤δ ＜0.5)。a[u]是2PSK調制符號序列，TB為符號周期，g(t)是脈寬為TB的脈沖整形函數。

顯然，x(t) 的 Nyquist樣本為(為方便，將s(nT)表示為s(n))

則在采樣率為FS1的上通道中，第個時延器的輸出為

進而對x(N(n-))做抽取因子為M的下采樣后，其各路子濾波器實際工作在FS1/M的低速率上，由于MN個Nyquist樣本組成1個快拍，則對于第v個快拍，子濾波器(z)的輸入信號可等價表示為

考慮到欠采樣可能會使得式(7)中的角頻率(i+δ)2π/M超過 2π，因此該角頻率可表示為

同理，在下通道中，角頻率(m+δ)2π/N也可表示為

其中“ [·]”為四舍五入取整。聯立式(10)、式(11)，則可推導出如下數字載頻值fc/Δf與互素譜IDFT輸出支路序號對(k, l)、頻偏之間的映射關系

其中，fc/Δf實際為 (i+δ)，故從式(13)中可推出，兩個待定折疊整數可通過對全景譜序號i作如式(14)的模除下取整操作而確定，即

因而，精確載頻估計的關鍵在于：(1)準確獲知譜序號i(即要求產生無偽峰全景譜)；(2)精確估計出頻偏值δ(可通過本文提出的相位差校正方法求得)。

3.2 兩路并行互素譜分析

本文設計出如圖2所示的兩路并行互素譜分析器，不僅可消除經典互素譜分析的偽峰效應[16]，而且還可將頻率分辨率提升1倍。

圖2 兩路并行互素譜分析器

圖2中H(1)(z),G(1)(z),H(2)(z),G(2)(z)為本文設計的最小尺寸全相位濾波器，使用其作為互素譜分析中的原型濾波器可以降低載頻估計方法的計算復雜度。該設計要求對理想原型濾波器頻率響應H(jω),G(jω)做最小尺寸采樣，可得如式(15)的兩個最短頻率采樣向量

為構造兩路并行互素譜分析，不妨對向量H,G作如式(16)的對半分解

進而采用文獻[17]的基于偶對稱頻率采樣的全相位濾波器設計法，可推導出與這4個頻率向量相對應的H(1)(z),G(1)(z),H(2)(z),G(2)(z)對應的原型濾波器系數分別為

其中，wc(n)為 單窗卷積窗函數[17]，將H(1)(z),G(1)(z)進行多相分解所得的子濾波器代入圖2的第1路互素譜分析，將H(2)(z),G(2)(z)進行多相分解所得的子濾波器代入其第2路互素譜分析，則可分別在如下兩個頻點集合Γ1,Γ2中得到各自的功率譜估計結果

進而將Γ1,Γ2的兩路譜分析結果合并，即可得全景譜Sxx(ω),ω ∈Γ1∪Γ2。既然Sxx(ω)的觀測頻點數相比于經典互素譜分析增加了1倍，其頻率分辨率也相應提升1倍。需指出的是，源于最小尺寸全相位濾波器對半分解的作用，全景譜Sxx(ω)可根本消除經典互素譜分析的偽峰效應，保證了可從互素譜輸出中準確取得式(14)所需的全景譜序號i。

令M=23, N=19,FN=6.555 GHz，則Δf=FN/MN=15 MHz ，對頻率為 130.48Δf、幅值為2、初始相位為 3π/7的余弦信號進行欠采樣譜分析。圖3(a)、圖3(b)分別給出了經典互素譜分析和本文提出的兩路并行互素譜分析的全景譜估計結果(由于為實信號，只給出了左半頻率軸)。

圖3 經典互素譜分析、兩路并行互素譜分析的全景譜

從圖3(a)可看出，除期望位置i=130處，經典互素譜分析還產生了3根冗余偽峰；而圖3(b)本文提出的分析器則完全消除了偽峰效應，僅從譜峰位置即可確認全景譜序號i。

3.3 基于相位差的互素譜校正方法

本文提出基于相位差的互素譜校正方法用于估計式(13)中的頻偏值δ，以提升載頻估計精度。將從全景譜觀察到的頻率fc的序號i、頻率f的序號i*分別代入式(12)，可分別得到與fc對應的余數對(k,l) 和與對應的 (k*,l*)。

注意到圖1的互素譜分析過程只涉及移相、濾波、加法和IDFT等線性運算，從而整體上可將其視為線性系統。故可基于線性性質，推導相鄰快拍激勵下的IDFT輸出(k)與v+1(k)之間的相位關系。

不妨將式(3)的當前第v個快拍的激勵表達為

式(19)的基帶信號s(n)實際表征通信載頻包絡，當符號率不高時，其相鄰快拍采樣值可視為不變，即s(n+MN)≈s(n) ，基于此，可推出第v+1個快拍的激勵表達式為

聯立式(19)、式(20)可發現:對于ωc成分，相鄰快拍之間的激勵變化可完全由復增益ejωcMN來表述，從而根據線性系統的齊次性，上通道的第v個快拍和第v+1 個快拍的IDFT輸出值(k),v+1(k)存在如式(21)的簡單相位關系

式(22)中未知整數m*引起的整周模糊度可通過如下模除求余操作而消除

既然δ ∈[-0.5,0.5)，進而可推導出上通道第v個快拍第k路IDFT輸出的頻偏估計

類似地，也可獲得下通道第v個快拍第l路IDFT輸出的頻偏估計值。并在L個快拍范圍內對,作平均，即可得到更高精度的頻偏估計

進而結合兩路并行互素譜分析器觀測到的全景譜序號i,可得到如式(26)的載頻估計值

3.4 算法流程總結

容易將以上過程推廣至多頻帶通信信號情況，其載頻估計流程可總結為算法1所示。

4 實驗驗證

4.1 多頻帶數字已調信號的載頻估計

算法 1 多頻帶通信信號載頻估計流程

設互素整數對M=23, N=19，上限Nyquist頻率FN=6.555 GHz， 兩路欠采樣率分別為FS1=FN/N=345 MHz,FS2=FN/M=285 MHz，原始頻率分辨率Δf=FN/MN=15 MHz。結合式(17)設計出最小尺寸全相位濾波器，構造出兩路并行互素譜分析器，其頻率分辨率為 Δf/2=7.5 MHz。測試信號為如式(27)所示各自包含U=4個頻帶的幅移鍵控(Amplitude Shift Keying, ASK), 正交相移鍵控(Quadrature Phase Shift Keying, QPSK)信號

其中，sASK(t),sQPSK(t)分別為對應基帶信號，載頻f1,f2,f3,f4依次為： 28.12Δf,29.88Δf,42.11Δf,86.96Δf，相應的通信信號帶寬分別為0.5Δf, 0.5Δf,1Δf, 3Δf,z(t)是加性高斯白噪聲。向并行互素譜分析器饋入時長為100個快拍的欠采樣樣點(對應上通道饋入100M=2 300個樣點x1(n)，下通道饋入100N=1 900個樣點x2(n))。圖4給出信噪比SNR=10 dB時，兩路并行互素譜分析器對QPSK信號估計的全景譜。

圖4 兩路并行互素譜分析的全景譜

定性而言，從圖4全景譜分布，可發現其呈現如下特征:

(1)共包含4簇譜線，與真實源數目一致，證實了所提出的兩路并行互素譜分析器可根本消除偽峰；

(2)不僅能識別帶寬不超過 Δf的窄帶成分(如f1,f2,f3)，而且可識別超過 Δf的寬帶成分(如帶寬為3 Δf的f4成分)。

(3)可以區分間距僅為1.76 Δf的密集譜成分f1,f2。

定量而言，在 SNR∈[-18 dB,10 dB]內改變信噪比對本文方法做測試，分別估計包含4個頻帶的ASK信號、QPSK信號的載頻，對每種SNR和每種數字調制情況，開展D=1 000次蒙特卡洛試驗，每次試驗按式(28)算出其相對誤差ξd進而取所有試驗結果的數學期望，即可得總體相對誤差ξ=E(ξd)。 對于QPSK和ASK兩種數字調制情況，其載頻估計的相對誤差總體測試曲線如圖5所示。

圖5 本文方法載頻估計的相對誤差曲線

結合圖5與信源分布，可得以下兩點結論：

(1) 當信噪比高于-10 dB時，兩種數字調制的載頻估計相對誤差均低于0.002%。

(2) 由于信源分布包含密集頻帶和大帶寬成分，反映出本文方法對信源稀疏性不作限制。

4.2 與基于壓縮感知的載頻估計方法比較

為檢驗本文方法的載頻估計精度，將其與基于MWC欠采樣結構的壓縮感知估計方法對比，文獻[10]報道了該方法的最新研究進展(對支撐區重構算法的改進)。本文方法的參數設置沿用4.1節不變。而在MWC方法中，設定其欠采樣通道數為m=40(其檢測頻帶數目理論上限為20)，欠采樣因子B=195，單通道欠采樣率為FS=FN/B=33.6 MHz，MWC中的調制脈沖周期Tp=1/FS=29.76 ns，在譜重構階段，使用文獻[10]所提出的最短距離正交匹配跟蹤算法完成信源頻譜支撐的估計。測試信號選為，在 SNR∈[-20 dB,10 dB]內，頻帶數量在U ∈[2,16]內 變化的QPSK信號(符號周期同為 0.267 μs，對應信號帶寬同為 0.5Δf)，U個載頻均在(0,FN/2)隨機生成。圖6給出兩種方法的相對誤差曲線。

圖6 兩種載頻估計方法的相對誤差曲線

結合圖6和兩種方法參數設置，本文所提出的載頻估計方法具有如下優勢：

(1) 本文方法具有遠比MWC方法更高的載頻估計精度。 表現在，當U=2, 4時， MWC載頻估計方法(虛線)相對誤差低于0.01%的SNR閾值分別為-14 dB, -12 dB；而本文方法(實線)的相對誤差在SNR∈[-20 dB,10 dB]范圍內始終低于0.01%，且在SNR大于-12 dB時，相對誤差甚至低于0.001%。

(2) 本文方法具有遠比MWC方法更高的稀疏度魯棒性。表現在，當成分數量U=8時，MWC方法的SNR門限為 -4 dB, 而本文方法SNR門限則為-12 dB，在SNR=10 dB時，本文方法的相對誤差為MWC方法的1/20；當成分數量U=16時，已無法繪制出MWC的相對誤差曲線，而本文方法SNR門限則為 -10 dB。這是因為：一方面，MWC的壓縮感知重構失敗概率隨信噪比降低會急劇增大；另一方面，當隨機成分數量U增大時，產生密集信源分布的可能性增大，使得待估計信源分布不滿足壓縮感知對信源稀疏度的要求，導致譜重構失敗。而本文方法對以上兩個因素不敏感。

(3) 本文方法具有遠比MWC方法更高的樣本利用率。表現在，MWC方法所需的總采樣率為mFS=1344 MHz ，而本文所需的總采樣率為FS1+FS2=630 MHz，由于兩者觀測時段相同，意味著本文方法消耗的樣本數僅為MWC方法的630/1344=46.88%，即獲得如上所述的載頻估計性能的全面改善效果。

5 結論

本文提出互素欠采樣條件下的多頻帶通信信號高精度載頻估計，通過將兩路并行互素譜分析與基于相位差的互素譜校正方法結合起來，既克服了MWC欠采樣結構的載頻估計方法存在的欠采樣通道多、精度低、稀疏性要求等不足，又彌補了經典互素譜分析存在偽峰效應的缺陷，且突破了頻率分辨率限制，提高了載頻估計的精度。故在通信偵察、電子支援等非合作目標載頻捕獲中具有廣闊的應用前景。