基于組合代理模型的零件表面形貌構建*

鄭林青,唐文斌,陳永當,呂英豪,盧媛媛

(西安工程大學機電工程學院,西安 710048)

0 引言

零件表面形貌是反映零件加工質(zhì)量的重要特征,也是零件質(zhì)量控制的重要內(nèi)容[1]。零件表面都包含由粗糙度、波紋度、形狀誤差構成的宏觀和微觀形貌,對零件接觸、摩擦、密封等表界面性能具有重要影響[2-3]。因此,獲得高精度零件表面形貌成為了該研究方向的重要問題。最常用的方法是通過測量零件表面離散的坐標點,直接對坐標點擬合得到零件表面形貌。但是該方法存在測量時間過長,僅能局部抽樣零件表面,測量結(jié)果存在偏差等問題,需要考慮測量方案的合理性和經(jīng)濟性[4]。國內(nèi)外學者針對零件表面形貌構建問題開展大量的研究,有學者利用分形曲面進行粗糙表面建模,但需要根據(jù)尺度選擇適合的表面建模方法[5-6]。有學者結(jié)合小波分析以及分形理論,通過小波分析實現(xiàn)粗糙表面評定及識別,并建立精密表面三維曲面小波頻譜模型,但分形表征參數(shù)的判定還需要通過測量數(shù)據(jù)計算獲得[7-9]。應用代理模型的方法可以優(yōu)化這種工程問題。代理模型是指通過構造一種近似的替代模型從而簡化過大的計算量以及復雜的計算過程并能夠體現(xiàn)真實模型的工程方法。常見代理模型包括:克里金模型(Kriging model)[10]、多項式曲面模型(polynomial response surface model,PRS)[11]、支持向量機模型(support vector machine,SVM)[12]、徑向基函數(shù)模型(radial basis function model,RBF)[13]等。有學者應用克里金插值模型的方法針對三坐標測量數(shù)據(jù)進行插值補充,改善了三坐標測量數(shù)據(jù)偏差問題[14]。不同的代理模型適應性不同,針對構建高精度零件表面形貌問題,提高模型的精度是需要考慮的重要因素。國內(nèi)外學者在提高代理模型精度方面也開展了大量的研究。有學者通過改進交叉驗證方法優(yōu)化RBF形態(tài)參數(shù)進而選擇最佳形態(tài)參數(shù)進行插值計算實驗,得到相對精確的插值結(jié)果[15]。然而單一代理模型針對部分工程問題也無法精確預測結(jié)果。為了解決這類問題,有學者提出使用組合代理模型作為更通用方法獲得更高精度的代理模型以及更好的預測性能[16]。組合模型的建立有多種策略,有學者提出基于遞歸預測方差倒數(shù)的元模型組合構建方法,以組合模型達到理想精度為迭代停止準則,相對單一模型提高了預測精度[17]。有學者基于誤差期望加點的方法,將加點策略與組合代理模型相結(jié)合,提高了預測精度[18]。還有學者通過計算模型初始權因子并且迭代更新得到最優(yōu)權因子的方法建立組合代理模型,并提高模型精度及計算效率[19]。但是將組合代理模型這種方法應用在零件表面形貌建模上少有研究。

綜上所述,針對當前零件表面形貌建模存在單一模型精度要求高,需要測量點數(shù)多的問題,結(jié)合國內(nèi)外學者研究,本文提出基于組合代理模型的零件表面形貌建模方法,通過合理確定克里金模型以及徑向基函數(shù)模型的權重因子,實現(xiàn)兩代理模型的組合并且在減少測量點的情況下提高模型整體精度。

1 零件表面形貌構建方法

1.1 基于克里金模型的零件表面形貌構建

克里金插值法是通過已知樣本值去估計未知點的屬性值,或由不規(guī)則觀測點數(shù)據(jù)生成連續(xù)表面或等值線。從統(tǒng)計的意義上說,是從變量的相關性和變異性出發(fā),在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)域變化量進行無偏估計的一種方法;從插值的角度是對空間分布的數(shù)據(jù)求線性最優(yōu),無偏內(nèi)插估計的一種方法。

克里金插值函數(shù)在未知位置上對觀測值進行加權平均,以預估未知位置上的數(shù)值。將隨機場中變量的估計表示為包含隨機誤差ε的線性系統(tǒng),則該點最佳線性無偏估計可表示為:

(1)

(2)

式中:x0為零件表面未知測量點,{x1,x2,…xn}為區(qū)域變化量Z(x)的樣本。{Z(x);x∈D},其中D表示表面有限區(qū)域,滿足二階平穩(wěn)假設和本征假設,其數(shù)學期望為μ,協(xié)方差函數(shù)c(h)和變異函數(shù)γ(h)存在。則:

E[Z(x)]=μ

(3)

c(h)=E[Z(x)Z(x+h)]-μ2

(4)

(5)

假設在待估計點x0的鄰域內(nèi)有n個實測點,即x1,x2,…,xn則克里金插值公式為:

(6)

(7)

因此,引入拉格朗日系數(shù)構造如下函數(shù)并得到克里金插值的方程組:

(8)

1.2 基于RBF模型的零件表面形貌構建

RBF插值模型是一種基于徑向基函數(shù)的數(shù)學模型,可以用于從已知數(shù)據(jù)點中生成未知位置的數(shù)據(jù)。RBF插值模型能夠以較高的精度對數(shù)據(jù)進行插值,他可以有效捕捉非線性關系,適應復雜數(shù)據(jù)分布,并且它具有較好的全局逼近性能。RBF插值公式為:

(9)

式中:M為插值點,ω0為常數(shù)項,ωk為待定系數(shù)矩陣,φ為徑向基函數(shù)。待定系數(shù)矩陣ωk可以通過下面方程解得:

Φi,jωk=f

(10)

式中:Φ是一個N×N的矩陣,各元素為:

(11)

f是N個點上的函數(shù)值。常用的徑向基函數(shù)有多重二次基函數(shù)(multi quadrics),Gaussian基函數(shù)等。選用Multi Quadrics基函數(shù)針對有效散點數(shù)據(jù)進行插值具有較好的精度。其形式為:

(12)

式中:r=|x-xi|表示兩點之間距離,c表示形狀參數(shù),在本文中形狀參數(shù)取:

c2=d2

(13)

式中:d是支撐區(qū)域中所有點(xi,yi,zi)到鄰近點距離的平均值。利用徑向基函數(shù)插值可以獲得零件表面點的預測值,進而構建零件表面形貌。

與克里金模型相比,RBF模型不需要進行變量轉(zhuǎn)化和模型假設,在數(shù)據(jù)擬合能力上更加靈活。同時,RBF模型具有對噪聲的抗干擾能力強、局部逼近能力優(yōu)異等優(yōu)點。因此,考慮組合這兩種代理模型并使用加權組合的方法構建零件表面形貌。

2 組合代理模型構建

2.1 總體思路

(1)代理模型構建方面,克里金模型和RBF模型都屬于插值模型,具有良好的無偏性。針對非線性問題更加適用。因此選擇克里金模型和RBF模型這兩種代理模型加權組合,其代理模型組合公式如下:

(14)

(2)模型精度驗證指標中,組合代理模型的預測精度指標中使用最廣的是預測平方和(predicted error sum of square,Press),并且應用k折交叉驗證可以得到預測平方和的值。具體計算過程為:

拉丁超立方采樣得到n個樣本點后,對這n個樣本點進行數(shù)據(jù)集劃分,將其劃分為n個子集,使每一個子集只含有一個樣本點,然后進行n次循環(huán)迭代,每次選擇一個樣本點作為驗證集,計算樣本點的響應值,再用其余n-1個樣本點作為訓練集,訓練新的模型。將選擇的樣本點再次帶入訓練的新模型得到新的響應值,則樣本i對應的誤差為:

(15)

Press值為:

(16)

(3)初始權因子ω的計算中,對于兩種模型可以通過反比例平均化法分別計算兩種模型的初始權因子,其公式為:

(17)

式中:Pi表示第i個樣本的預測平方和值。

(4)代理模型的精度驗證指標中,均方根誤差RMSE和均方根標準預測誤差RMSPE是代理模型的精度驗證指標,其表達式為:

(18)

(19)

圖1為組合代理模型總流程圖,本文提出的組合克里金模型和RBF模型關鍵步驟就是確定組合模型的權重因子。若直接使用式(17)計算出的初始權重因子,得到的組合代理模型不能滿足精度要求。因此以兩模型均方根誤差作為判斷條件,并通過更新初始權因子ωi,進而循環(huán)迭代得到滿足精度要求的組合代理模型最終權重因子。

圖1 組合代理模型構建流程圖

2.2 更新模型權因子方法偽代碼

迭代權因子流程如表1所示。

表1 迭代權因子流程

3 實例驗證

3.1 理論實驗設計

首先使用文獻[14]中的方法生成理論數(shù)據(jù),模擬三坐標測量機測量過程,并進行數(shù)據(jù)擬合。

如圖2所示,針對圖2使用組合代理模型的方法構建表面形貌并計算相關指標。首先,在圖2所示的表面形貌選取點數(shù)為30×30的離散點,用于模擬三坐標測量結(jié)果;其次,使用組合代理模型的方法對理論數(shù)據(jù)進行擬合,并分別計算克里金模型,RBF模型以及組合代理模型的均方根誤差以及計算組合代理模型的RMSPE。

圖2 理論數(shù)據(jù)擬合表面形貌

圖3為克里金模型、RBF模型以及組合代理模型的在針對該仿真數(shù)據(jù)計算得到的不同點數(shù)下均方根誤差值,顯然增加測量點的數(shù)量無疑可以提高模型的精度。然而,這也意味著需要更多的測量數(shù)據(jù),從而增加測量時間以及經(jīng)濟成本。但是,過度的測量冗余信息可能破壞原有的模型精度。因此,在追求測量精度的同時,也必須考慮如何最大限度地降低測量成本。換而言之,需要在最小的測量成本下達到最高的測量精度,即需要在測量成本和精度之間找到一種平衡。這時,選擇合適的測量點數(shù)十分關鍵。而RMSPE這一指標針對現(xiàn)有測量信息是否足夠具有敏感的反映。

當RMSPE=1表示模型是精確有效的;當RMSPE>1表示模型的預測值被高估,需要減少測量信息;當RMSPE<1表示需要增加測量點。

圖4為該仿真數(shù)據(jù)應用組合代理模型得到的RMSPE箱形圖,該箱形圖表明隨著采樣點數(shù)增加到350,組合代理模型的RMSPE值逐漸趨向1,當點數(shù)增加到450時,RMSPE>1,證明針對這段仿真數(shù)據(jù)只需要350個采樣點足以構建精確的表面形貌。圖5表示采樣點為350時組合代理模型構建的表面形貌圖。

圖4 組合代理模型RMSPE

3.2 實例驗證

采用實際加工精密零件并應用本文提出的組合代理模型方法進行零件表面形貌構建。實驗使用三坐標測量儀如圖6所示,實驗零件相關參數(shù)以及三坐標測量儀具體參數(shù)如表2和表3所示。

表2 零件相關參數(shù)

表3 三坐標測量儀具體參數(shù)

圖6 NCA8107三坐標測量儀

測量零件表面20×30個點坐標信息,并用代理模型實現(xiàn)零件表面形貌構建,使用組合代理模型的方法擬合并計算相關指標,并驗證代理模型精度。圖7為實驗數(shù)據(jù)下克里金模型,RBF模型以及組合代理模型增加采樣點數(shù)得到的均方根誤差結(jié)果。

圖7 代理模型均方根誤差圖

該結(jié)果表明隨著點數(shù)的增加,模型的均方根誤差都趨向0,而組合代理模型的均方根誤差始終小于克里金模型以及RBF模型,證明了模型的高精度性。圖8為組合代理模型的RMSPE指標。

從圖8可以看出,當取樣點數(shù)等于200時,RMSPE值無限接近1。當點數(shù)大于250時,組合代理模型RMSPE>1。證明針對該實驗數(shù)據(jù)只需要200個點足以構建精確的表面形貌。

圖9為組合代理模型在200個點數(shù)下構建的零件表面形貌圖,該形貌圖可以精確表達零件平面度誤差以及零件真實形貌特征。

圖9 組合代理模型構建表面形貌

4 結(jié)論

考慮精密零件表面形貌建模,通過對比克里金模型,RBF模型以及組合代理模型的預測精度,并且在考慮如何提高代理模型計算效率以及代理模型精度的情況下,挖掘測量點數(shù)對模型預測精度的影響。實驗結(jié)果表明:本文提出的方法可以在較少的測量點數(shù)下達到高精度零件表面形貌的構建,體現(xiàn)了本文提出的組合代理模型方法在零件表面形貌建模問題上的優(yōu)勢,并且該方法可以為精密加工零件質(zhì)量控制提供參考。