結合面法向接觸阻尼能量耗散彈塑性分形模型*

孫 萬,姚志廣,任曉霞,郭政堃,蘭國生

(1.山西能源學院機電工程系,晉中 030600;2.太原科技大學環境與資源學院,太原 030024)

0 引言

眾所周知,制造業是我國戰略規劃的主要產業之一,機床特別是數控機床在由原先只為滿足預定功能的要求逐漸向性能好、精度高、速度快、運行穩定等方面發展。然而結合面在機械系統中是不可缺少的,對機械系統的靜態和動態行為都有顯著影響[1-2]。表面之間的接觸在許多自然現象和工程應用中起著重要作用。大多數表面在微觀尺度上是粗糙的,因此實際接觸面積僅為名義面積的一小部分。表面之間的相互作用,如電流、熱量、法向力和剪切力的流動,都發生在這個小的實際接觸面積上。

機械結合面的形式和材料各異,根據具體應用需求,可選擇例如螺紋連接、鍵槽連接、鎖定套筒連接、正圓錐連接等不同的結合方式。機械結合面的材料也有很多選擇,例如鑄鐵、鋁合金、鋼等。在機械制造過程中,機械結合面需要經過加工工藝,例如銑削、車削、磨削等加工方法,以達到精確的尺寸和光潔度。此外,機械結合面的表面質量對于機械配合的性能和壽命有很大的影響,光潔度和平整度越高,使用壽命就越長。機械接觸特性由許多因素決定:表面形貌、材料參數、施加的載荷、滑動速度等。

REN等[3]指出機床總剛度的60%～80%都來自其結合面。IBRAHIM等[4]指出機械總阻尼的90%都來自結合面。為此,許多學者從理論、實驗和數值分析等方面對結合面接觸特性進行了深入研究。CHANG、GAO等[5-6]針對特定機械結構,通過試驗模態或頻率響應分析與結構的集中參數、分布參數或有限元模型結合,分析結合面接觸特性參數(剛度、阻尼),但是這些方法所需工作量大,通用性差,無法分析結合面的普遍規律;尤晉閩等[7-8]針對大部分粗糙面具有分形特性,建立了結合面接觸特性分形模型,但忽略了分布域擴展因子這一因素;LAN等[9]考慮了微凸體的變形過程,建立了結合面法向剛度和阻尼預測模型;PAN等[10]針對結合面存在干摩擦的情況,通過建立三維接觸模型,研究了結合面接觸阻尼特性;王慶朋、傅衛平等[11-12]依據微凸體變形過程,結合統計學理論對結合面接觸阻尼進行量化,但是這種方法受儀器精度的影響,其研究結果并不具備唯一性;文獻[7]～文獻[12]所建模型與結合面基體質量有關,不同基體質量的結合面接觸阻尼并不相同,這就使得模型不再具有普適性。陳永會等[13]以彈簧和黏性阻尼器等效結合面法向動力學特性,由此所建阻尼模型與基體質量無關,所得規律更具普適性;陳永會等[14]使用彈性力學表達式和塑性力學表達式擬合了彈塑性力學表達式,根據這種特定的彈塑性力學表達式獲得了處于彈塑性變形階段的微凸體的能量儲存與損耗,進而建立了彈塑性阻尼模型,但這種分離彈塑性能量儲存和耗散方法通用性差。綜上所述,在結合面法向接觸阻尼能量耗散的理論建模研究工作較少。

鑒于此,本文考慮了分布域擴展因子和彈塑性變形機制對結合面特性的影響,通過引入微凸體的加卸載模型,推導出處于彈塑性變形的微凸體的能量儲存與耗散表達式,建立了更為符合實際接觸情況的結合面法向接觸阻尼能量耗散模型及其損耗因子彈塑性分形模型。通過仿真分析研究相關參數對結合面法向接觸阻尼能量耗散的影響,通過與經典模型比較驗證模型的有效性。

1 結合面微凸體加卸載接觸力學模型

為方便研究將結合面的接觸等效為一粗糙表面和一剛性平面的接觸。等效粗糙表面上有不同曲率的半球體。設其等效曲率半徑為R,當在法向力的作用下,接觸區域半徑為r,法向接觸變形為ω。若此時去除法向力的作用,微凸體恢復變形,由于存在殘余變形,所以完全卸載后殘余變形量為ωres。

圖1 微凸體加卸示意圖

1.1 彈性變形

彈性微凸體接觸載荷和接觸面積與變形量之間的關系分別為:

(1)

a=πRω

(2)

由式(1)和式(2)可得:

(3)

其彈性應變能為wine,若此時去除作用在微凸體上的力,微凸體恢復原始形態,所以彈性儲能等于彈性應變能,即:

(4)

1.2 彈塑性變形

微凸體的彈性臨界變形量為[15]:

(5)

式中:H為較軟材料的硬度,K硬度系數,硬度系數和較軟材料的泊松比之間的關系為K=0.454+0.41v。

兩段彈塑性微凸體接觸載荷和接觸面積與變形量之間的關系分別為[16]:

(6)

(7)

由式(5)～式(7)可得,一段彈塑性臨界接觸面積為aepc=7.1197aec,二段彈塑性臨界接觸面積為apc=205.3827aec,處于兩段彈塑性微凸體接觸載荷分別為:

(8)

(9)

由式(6)和式(8)可得,一段彈塑性微凸體的應變能為:

(10)

由式(7)和式(9)可得,二段彈塑性微凸體的應變能為:

(11)

彈塑性微凸體在卸載過程中接觸載荷和接觸面積與接觸變形量之間的關系分別為[17]:

(12)

(13)

式中:pu和au分別為微凸體加載變形量為ωmax時,對應的接觸載荷和接觸面積。殘余變形量ωres與加載最大變形量的ωmax關系如下:

(14)

由式(12)、式(13)可得:

(15)

(16)

由式(6)、式(8)、式(14)和式(16)可得,一段彈塑性微凸體所儲存的彈性勢能為:

(17)

由式(7)、式(9)、式(14)和式(16)可得,二段彈塑性微凸體所儲存的彈性勢能為:

(18)

1.3 塑性變形

塑性微凸體接觸載荷和接觸面積與接觸變形量之間的關系分別為[18]:

pp=2πHRω

(19)

a=2πRω

(20)

由式(19)和式(20)可得:

pp=Ha

(21)

由式(20)和式(21)可得,塑性微凸體應變能為winp,若此時去除作用在微凸體上的力,微凸體已經屈服不會復原,因此能量耗損等于塑性應變能,即:

(22)

2 結合面法向接觸阻尼分形模型

2.1 分形理論

根據文獻[19]可知,改進的等效單變量W-M函數的余弦項為:

(23)

式中:r為微凸體接觸半徑,φ1,n0為(0,2π)范圍內均勻分布的隨機相位,G為分形粗糙度參數,D為粗糙表面分形維數,γ為隨機輪廓的空間頻率,一般取值為1.5。

等效微凸體的曲率半徑為:

(24)

式中:g1(D)=21-D×π1+0.5D(lnγ)0.5GD-1,a=πr2為微凸體截斷接觸面積。

微凸體接觸面積的分布函數為[20-21]:

(25)

式中:al為最大的微凸體接觸面積,ψ微接觸分布域擴展因子,它與粗糙表面分形維數的關系為:

[ψ(2-D)/2-(1+ψ-D/2)-(2-D)/D]/[(2-D)/D]=1,(ψ>1)

當微凸體接觸面積a小于其彈性臨界接觸面積aec時,微凸體將處于彈性變形階段,即:

(26)

當微凸體的接觸面積a大于其彈性臨界接觸面積aec,小于其一段彈塑性臨界接觸面積aepc時,微凸體將處于一段彈性變形階段,即:

(27)

當微凸體的接觸面積a大于其一段彈塑性臨界接觸面積aepc時,小于其二段彈塑性臨界接觸面積apc時,微凸體將處于二段彈性變形階段,即:

(28)

當微凸體的接觸面積a大于其二段彈塑性臨界接觸面積apc時,微凸體將處于塑性變形階段,即a≤ac2。

2.2 結合面法向接觸阻尼能量耗散建模

結合面的真實接觸面積為:

(29)

由式(3)、式(5)、式(8)、式(9)、式(21)、式(24)和式(25)可得,結合面總法向載荷為:

(30)

由式(4)、式(5)、式(10)、式(11)、式(22)、式(24)和式(25)可得,結合面總的應變能為:

(31)

由式(4)、式(5)、式(17)、式(18)、式(24)和式(25)可得,結合面總的彈性勢能為:

(32)

由式(31)和式(32)可得,結合面總的能量損耗即為結合面總的法向力所做功減去儲存的彈性勢能:

Wd=Win-Ws

(33)

由式(32)和式(33)可得結合面的阻尼損耗因子η為:

(34)

對所建模型無量化處理:

(35)

3 所建模型的仿真與分析

3.1 仿真計算

等效粗糙表面的計算參數如表1所示,根據上文中推導出的結合面實際接觸面積,法向接觸載荷,法向接觸阻尼能量耗散,法向彈性儲能無量綱形式的計算公式,將表1中的參數輸入計算機用MATLAB程序計算可以得到無量綱理論結果的數值解。

表1 等效三維粗糙表面力學特性計算參數

3.2 仿真結果分析

(a) G*=10-11

(a) D=1.3 (b) D=1.5

(a) G*=10-11

(a) D=1.3 (b) D=1.5

基于考慮彈塑性變形機制的法向接觸載荷和法向接觸阻尼能量耗散及其損耗因子分析,本文研究了結合面法向載荷和粗糙表面分形參數對法向接觸阻尼能量耗散及其損耗因子的影響。本文所建模型其變化趨勢與經典模型[9-11、22-23]以及實驗[10]變化趨勢一致。因此本文的建模方法以及所建模型的預測結果對于工程應用有一定的參考價值。

(2)由圖6可得,處于彈塑性一階段變形的微凸體,隨著其接觸面積的減小,下壓變形量與臨界變形量比值由6減小到1,可恢復變形量與下壓變形量比值由72.01%增加到99.92%,能量耗損與彈塑性一段應變能比值由27.65%減小到2.92%;處于彈塑性二階段變形的微凸體,隨著其接觸面積的減小,下壓變形量與臨界變形量比值由110減小到6,可恢復變形量與下壓變形量比值由31.95%增加到70.56%,能量耗損與彈塑性一段應變能比值由72.51%減小到29.67%。

(a) 彈塑性一階段 (b) 彈塑性二階段

(3)由圖7可得,無論G*取何值,隨著結合面分形維數D增大,處于彈塑性一階段變形的所有微凸體的能量耗損與彈塑性一段應變能比值由3.28%增加到13.06%,其能量儲存大于能量耗散;處于彈塑性二階段變形的所有微凸體的能量耗損與彈塑性一段應變能比值由33.70%增加到52.05%,當D=1.1～1.7時,其能量儲存大于能量耗散,當D=1.8～1.9時,其能量儲存小于能量耗散。

(a) 彈塑性一階段 (b) 彈塑性二階段

(4)由圖8可得,無論G*取何值,隨著結合面分形維數D增大,結合面上彈塑性區的能耗與其彈塑性應變能之比由3.28%增加到36.13%;結合面上彈塑性一區能耗與總能耗比值由99.99%減小到3.14%;結合面上彈塑性二區能耗與總能耗比值先由0%增加到53.92%再減小到18.13%,在D=1.6時,比值最大;結合面上塑性能耗與總能耗比值由0%增加到78.72%。當D=1.1～1.52時,彈塑性一區能耗占比最大,當D=1.52～1.74時,彈塑性二區能耗占比最大,當D=1.74～1.9時,塑性能耗占比最大。

(a) G*=10-11～10-9 (b) G*=10-11～10-9

(a) D=1.3,G*=10-11 (b) D=1.5,G*=10-10

4 結論

(1)結合面法向接觸阻尼能量耗散及其損耗因子隨著分形粗糙度參數的增大而增大;隨著分形維數的增大先減小后增大,且在1.2附近出現最小值。

(2)結合面法向接觸阻尼能量耗散隨著法向接觸載荷的增大而增大,損耗因子隨著法向接觸載荷的增大而減小。

(3)通過與經典模型比較,證明了本文模型的有效性,并揭示了未考慮彈塑性變形機制會高估結合面法向接觸阻尼能量耗散。本文模型可為結合面接觸阻尼的研究提供理論基礎,有助于加深對粗糙表面摩擦及磨損機理的認識。