一種高斯-重尾切換分布魯棒卡爾曼濾波器

2024-04-13 08:56:50付紅坡章衛國

哈爾濱工業大學學報 2024年4期

黃偉,付紅坡,2,李煜,章衛國

(1.陜西省飛行控制與仿真技術重點實驗室(西北工業大學),西安 710072;2.信息融合技術教育部重點實驗室(西北工業大學),西安 710072)

在組合導航、目標跟蹤、飛行器姿態控制、故障診斷等眾多工程領域中,系統的狀態估計是關鍵問題。在狀態估計方法中,卡爾曼濾波器(Kalman filter,KF)因其簡潔性、高效性與最優性被廣泛應用于上述領域[1-6]。但是,在實際應用中,觀測常常受到強未知干擾和儀器故障的影響,系統本身也會受到隨機和未建模干擾的侵蝕,這些都容易造成未知異常值的出現。這種情況下,過程與量測噪聲往往是非高斯重尾分布,這違背了KF的噪聲是精確高斯的假設,從而破壞了濾波器的準確性和可靠性[7-10]。對于這一問題,許多優秀的研究者已經提出了很多魯棒卡爾曼濾波器(robust Kalman filters,RKFs)。

雖然Huber-RKFs[11-12]和最大/最小相關熵準則RKFs[13-15]可以在一定程度上降低重尾噪聲的負面影響,但由于沒有充分利用該噪聲固有的重尾特性與不能適用于復雜的噪聲環境限制了它們的性能。針對這一問題, 學生t KF(Student’s t KF,STKF)[16]和魯棒學生t KF(robust Student’s t KF,RSTKF)[17]先后被提出,其中狀態后驗的概率密度函數 (probability density function, PDF)被建模為學生t分布,并通過變分貝葉斯 (variational Bayesian,VB)推理估計狀態和噪聲統計量。為進一步提高濾波器的魯棒性能,基于野值魯棒學生t KF(outlier-robust Student’s t KF,ORSTKF)[18]和基于重尾混合分布的RKF(heavy-tailed mixture RKF,HTMRKF)[19]被設計。雖然上述提到的RKFs在平穩重尾噪聲環境中表現良好,但是如果存在由動態異常值引起的非平穩重尾過程和測量噪聲,即噪聲有時是高斯噪聲,有時是不同類型的重尾分布,上述RKFs的性能會下降。例如在自主水下航行器協同定位中,由于傳感器的離群值、聲通道的多徑效應以及水下環境的變化,實際狀態和測量噪聲可能是非平穩非高斯分布的[20]。還有在無人潛航器的慣性導航/多普勒組合導航實際實驗中,也出現了類似的噪聲環境[21]。因此在設計魯棒濾波器時需考慮這樣的噪聲環境。

考慮到上述問題,一種新的高斯-學生t混合分布(Gaussian-student’s t mixture distribution,GSTM)[22]被構造以建模非平穩重尾噪聲, 該算法通過自適應學習高斯分布和學生t分布之間的混合概率來適應噪聲的非平穩性。并通過引入伯努利隨機變量,將所提出的GSTM分布表示為分層高斯形式,并在此基礎上構造了新的分層線性高斯狀態空間模型以推導一種新的基于GSTM分布的RKF(GSTMRKF),其中狀態向量、輔助隨機變量、伯努利隨機變量和混合概率用VB方法聯合推導。仿真結果表明,在非平穩重尾噪聲情況下,該濾波器比現有的標準KF和ORSTKF具有更好的估計精度。這是由于混合參數克服了自由度參數自適應的困難,能更好地模擬非平穩重尾分布噪聲。然而該濾波器的噪聲尺度矩陣必須是預先已知的。在文獻[22]工作的基礎上,基于兩種高斯分布混合(mixture of two Gaussian distr-bution)的RKF(M2GRKF)[23]被提出。但實際上,由于不同類型的異常值隨機出現,非平穩重尾噪聲的特征是難以描述的,這使得上述RKFs很難預先選擇尺度矩陣和利用單個伽馬分布的粗略先驗信息來近似重尾特征。

本文以應對上述難題為目標,提出了一種基于高斯-重尾切換分布的魯棒卡爾曼濾波器(Gaussian-heavy-tailed switching distribution based robust Kalman filter,GHTSRKF)。所設計的GHTS分布可以通過在線調整高斯分布和新的重尾分布之間的切換概率來對非平穩重尾噪聲進行建模。具有虛擬協方差的高斯分布用于處理協方差矩陣不準確的高斯噪聲。重尾分布由高斯分布和混合伽馬分布構成,前者利用一個尺度參數來描述重尾噪聲;后者可以根據精確先驗對尺度參數進行建模,所使用的精確先驗是通過自適應學習混合概率向量從一組粗略的先驗信息中提取的。本文首先建立一種新的GHTS分布對實際情況可能出現的非平穩重尾噪聲進行建模。其次引入兩個分別滿足分類分布和伯努利分布的隨機變量將GHTS分布PDF轉換為分層高斯形式以便于算法的進一步推導。最后利用VB方法推導出GHTSRKF,該濾波器中一步預測和測量似然PDFs被建模為GHTS分布,并采用固定點迭代聯合估計狀態和模型參數。

1 問題描述

離散時間狀態空間模型如下:

(1)

式中:xt∈Rnx、zt∈Rmz分別為狀態向量與量測向量,Ft-1、Ht分別為狀態轉移矩陣與量測矩陣,ωt-1、υt分別為系統與量測噪聲向量,且協方差矩陣分別為Qt-1與Rt,同時,假設狀態與兩種噪聲相互獨立。

KF可以根據給定的狀態空間模型與量測z1∶t估計出系統狀態xt。在卡爾曼理論中,當狀態空間模型是線性的且系統與量測噪聲是準確已知的高斯分布時,KF的估計是最優的。然而實際情況中,系統本身與觀測傳感器由于變化的環境和自身的原因,過程與量測中會出現未知的動態野值,導致系統的過程和測量噪聲是非平穩重尾分布,這違背了卡爾曼理論中精確高斯分布的假設,嚴重影響到了濾波的估計精度和可靠性。

考慮到上述現實問題,本文以降低KF對精確先驗噪聲統計的依賴,并改善在復雜噪聲,如重尾噪聲、非平穩重尾噪聲等環境下的狀態估計性能為目標,研究一種應用更廣、性能更好的魯棒濾波器。

2 高斯-重尾切換分布(GHTS)

本文首先引入了一種新的重尾分布,也稱為高斯-混合伽馬(Gaussian-mixing Gamma,GMG)分布以建模重尾噪聲[10]。基于混合概率向量ξ的服從GMG分布的隨機向量y的PDF表示為

(2)

文獻[24]考慮了貝葉斯框架下高斯混合分布的標準共軛先驗,利用狄利克雷分布對混合系數進行建模。基于該方法,本文假定混合概率向量ξ服從如下狄雷克利分布:

p(ξ)=Dir(ξ;w,m)

(3)

式中,向量w=[w1,w2,…,wm]且wm>0是狄利克雷分布的集中參數。

(4)

為準確描述非平穩重尾噪聲,設計了一種新的GHTS分布。服從該分布的隨機向量y的PDF為

p(y|μ)=μN(y;λ,Λ)+
(1-μ)GMG(y,λ,Λ,e,f)

(5)

文獻[10]設計了貝葉斯框架下實現了兩種不同噪聲分布之間的切換,并利用貝塔分布建模兩種分布之間的切換概率。基于該結果,本文的切換概率μ也服從以下貝塔分布:

p(μ)=B(μ;v,1-v)

(6)

式中:B(·;v,1-v)為形狀參數為v∈[0,1]的貝塔分布,v為先驗切換概率,則v=E[μ]。

根據式(5)、(6), GHTS的PDF表示為

(7)

引入一個伯努利參數ζ和一個服從分類分布的向量ρ=[ρ1,ρ2,…,ρM],將GHTS分布的PDF表示為

(8)

其中ζ、ρ的PDFs為

式中:Bern(·)為伯努利分布,Cat(·)為Categorical分布。式(8)中的混合概率向量ξ和切換概率μ已經在式(3)和式(5)中被假設為狄利克雷和貝塔分布。

由于先驗噪聲統計不準確與野值干擾使得尺度矩陣Λ不太準確,假設其服從[23]:

p(Λ)=IW(Λ;V,σ)

(9)

式中IW(·;V,σ)為逆尺度矩陣V和自由度參數σ的逆威沙特分布。

利用式(3)～式(9)可將GHTS分布表示為

(10)

接下來,基于式(10)和VB方法將推導出一種新的GHTSRKF。

注1針對實際工程領域中可能因傳感器故障、環境干擾等造成的野值引發的重尾噪聲情形,文獻[17-18]中的高斯伽馬分布/學生t被廣泛用于建模該類型噪聲。進一步,為了更精確地建模該類型噪聲,文獻[10]中設計了一種高斯-混合伽馬分布,即式(2)中的GMG分布來應對復雜的重尾噪聲。它是基于多個不同參數的伽馬分布的一組粗糙先驗得到的精確先驗來描述噪聲尺度參數。因此本文利用GMG分布來描述重尾噪聲。但考慮到GMG分布在無異常值情況下的性能受限,本文開發了如式(7)所示的GHTS分布,這可以擴展GMG的應用范圍,提高其適用性與估計性能。

注2在文獻[23]中,設計了一種基于兩個高斯分布混合的魯棒濾波器,本文的GHTS分布與其相似。但相比于文獻[23]中的M2G分布,在系統噪聲與量測噪聲是未知重尾分布時,GHTS分布中的混合伽馬分布的設計能夠預先提供一組粗略先驗信息,并通過混合概率向量的自適應學習提取出一個準確的先驗,這使得提出的濾波器能夠對不同的重尾噪聲進行更加準確描述,魯棒性也更強。而M2G分布中只能有一個協方差較大的高斯分布以應對重尾噪聲,因此在應對重尾分布噪聲時其性能略差于GHTS分布。這將在仿真中進一步驗證。

注3在式(2)中,由于混合伽馬分布中元素的數量直接決定了GHTS分布的性能,其選擇應慎重。當M較小時,由于缺乏足夠的先驗噪聲信息,濾波器的估計精度較差。隨著M的增加,濾波器的估計精度會提高,而學習的參數越多,算法的計算量就越大。但是,如果M過大,對估計結果的影響將非常有限,甚至一個或多個混合元會陷入過擬合,這將大大降低估計的精度。而且,較大的M也會導致較大的計算復雜度,不利于算法的實時性估計。綜上所述,在實際應用中,為了平衡估計精度和計算效率,混合數量M的設置應靈活適度。

3 基于GHTS分布的魯棒卡爾曼濾波器(GHTSRKF)

3.1 分層高斯狀態空間模型

對于式(1)所示的狀態空間模型,當過程與量測噪聲是非平穩重尾噪聲時,本文將一步預測與量測似然PDFs建模為GHTS分布:

(11)

式中:yt、rt為伯努利變量,σt、πt為尺度參數,εt、ηt為分類分布向量,δt、λt為切換概率,θt、τt為混合概率向量,Σt、Rt為尺度矩陣,I、L為伽馬分布的數量。

(12)

先驗集中參數向量et|t-1、gt|t-1,先驗自由度參數st|t-1、ut|t-1,先驗逆尺度矩陣St|t-1、Ut|t-1分別為

(13)

(14)

根據式(10)、(11),一步預測與量測似然PDFs的分層高斯形式可以分別表示為

(15)

式(12)～式(15)構成了一個分層高斯狀態空間模型, 其模型如圖1所示。然后,進一步利用VB方法推導出GHTSRKF。

圖1 基于GHTS分布的分層高斯狀態空間模型Fig.1 Graphical model for hierarchical Gaussian state-space model based on GHTS distribution

3.2 后驗PDFs的聯合VB推理

正如式(15)所示,由于模型參數與狀態向量之間存在相互耦合關系,通過解析的方式獲取狀態向量的后驗估計是很麻煩的。因此為了估計變量集合Θ,本文利用VB方法通過最小化Kullback-Leibler發散代價函數實現對真實聯合后驗PDFp(Θ|z1:k)的最優近似[25]。使用的近似后驗PDFq(Δ)滿足:

logq(Δ)=EΘ-(Δ)[logp(Θ,z1:t)]+cΔ

(16)

式中:E[·]為期望計算,變量集合Θ={xt,σt,πt,yt,rt,δt,λt,εt,ηt,θt,τt,Σt,Rt},Θ(-Δ)為Θ的一個子集,其滿足{Δ}∪Θ(-Δ)=Θ,cΔ為獨立于Δ的常數。

考慮到式(15)中變分參數之間的耦合,本文采用固定點迭代法對式(16)進行迭代求解以計算q(Δ)。在(j+1)次更新時,利用q(j)(Θ(-Δ))將q(Δ)更新為q(j+1)(Δ)。根據貝葉斯理論,真實聯合PDF分解為

(17)

對式(17)進行對數運算可得

ytlogδt+(1-yt)log(1-δt)+(k0-1)logδt-k0log(1-δt)-

(18)

本文利用固定點迭代法對系統狀態與模型參數的近似后驗q(Δ)進行迭代求解[25]。

命題1該命題是在噪聲尺度參數、切換概率等未知參數與噪聲協方差矩陣{σt,πt,yt,rt,δt,λt,εt,ηt,θt,τt,Σt,Rt}保持不變的情況下實現狀態xt的后驗估計,即在Δ=xt的同時將式(17)代入式(16),然后近似后驗PDFq(j+1)(xt)可以被迭代更新為以下高斯分布:

(19)

(20)

(21)

推導1將式(16)代入式(18)有

(22)

由貝葉斯理論可以得到命題1中式(19)～式(21)。

命題2該命題是在狀態向量、伯努利參數等未知參數與噪聲協方差矩陣{xt,yt,rt,δt,λt,εt,ηt,θt,τt,Σt,Rt}保持不變的情況下實現噪聲尺度參數σt和πt的變分近似估計,分別使Δ=σt和Δ=πt并將式(17)代入式(16),然后近似后驗PDFsq(j+1)(σt)和q(j+1)(πt)可以被迭代更新為以下伽馬分布:

(23)

(24)

(25)

推導2將式(16)代入式(18)有

(26)

對式(26)兩邊進行對數操作,并由伽馬分布的定義可以得到命題2中的式(23)～式(25)。

命題3該命題是在狀態向量、噪聲尺度參數等未知參數與噪聲協方差矩陣{xt,σt,πt,δt,λt,εt,ηt,θt,τt,Σt,Rt}保持不變的情況下實現伯努利參數yt和rt的變分近似估計,分別使Δ=yt和Δ=rt并將式(17)代入式(16),近似后驗PDFsq(j+1)(yt)和q(j+1)(rt)可以迭代更新為

(27)

中間參數分別由以下方程計算:

(28)

推導3將式(16)代入式(18)有

(29)

對式(29)兩邊進行對數操作,并根據伯努利分布的定義可以得到命題3中的式(27)、(28)。

命題4該命題是在狀態向量、噪聲尺度參數等未知參數與噪聲協方差矩陣{xt,σt,πt,yt,rt,εt,ηt,θt,τt,Σt,Rt}保持不變的情況下實現切換概率δt和λt的變分近似估計,分別使Δ=δt和Δ=λt并將式(17)代入式(16),然后近似后驗PDFsq(j+1)(δt)和q(j+1)(λt)可以被迭代更新為以下貝塔分布:

(30)

推導4將式(16)代入式(18)有

(31)

對式(31)的兩邊進行對數操作,并根據貝塔分布的定義可以得到命題4中的式(30)。

命題5該命題是在狀態向量、噪聲尺度參數等未知參數與噪聲協方差矩陣{xt,σt,πt,yt,rt,δt,λt,θt,τt,Σt,Rt}保持不變的情況下實現分類分布參數εt和ηt的變分近似估計,分別使Δ=εt和Δ=ηt并將式(17)代入式(16),然后近似后驗PDFsq(j+1)(εt)與q(j+1)(ηt)可以被迭代更新為以下分類分布:

(32)

(33)

推導5將式(16)代入式(18)有

(34)

對式(34)的兩邊進行對數操作,并根據分類分布的定義可以得到命題5中的式(32)、(33)。

命題6該命題是在狀態向量、噪聲尺度參數等未知參數與噪聲協方差矩陣Θ={xt,σt,πt,yt,rt,δt,λt,εt,ηt,Σt,Rt}保持不變的情況下實現混合概率向量參數θt和τt的變分近似估計,分別使Δ=θt和Δ=τt并將式(17)代入式(16),然后近似后驗PDFsq(j+1)(θt)和q(j+1)(τt)可以迭代更新為狄利克雷分布:

(35)

推導6將式(16)代入式(18)有

(36)

對式(36)兩邊進行對數操作,并根據狄利克雷分布的定義可以得到命題6中的式(35)。

命題7該命題是在狀態向量、噪聲尺度參數等未知參數{xt,σt,πt,yt,rt,δt,λt,εt,ηt,θt,τt}保持不變的情況下實現噪聲協方差矩陣Σt和Rt的變分近似估計,分別使Δ=Σt和Δ=Rt并將式(17)代入式(16),然后近似后驗PDFsq(j+1)(Σt)和q(j+1)(Rt)可以迭代更新為逆威沙特分布:

(37)

推導7將式(16)代入式(18)有

(38)

對式(38)的兩邊進行對數操作,并根據逆威沙特分布的定義可以得到命題7中式(37)。

在式(19)～式(37)所示的近似后驗PDF的迭代更新中,涉及的模型參數期望可計算為

(39)

根據式(12)～式(14)中的時間更新與式(19)-式(39)所示的量測更新給出了如下的GHTSRKF的一次迭代的執行過程,其中算法輸入為上一時刻的后驗估計結果。

注4在提出的GHTSRKF中,其一步狀態預測PDF和量測似然PDF分別建模為式(11)中GHTS分布,通過標準高斯分布與重尾分布之間的自適應切換以適應非平穩重尾狀態與量測噪聲。然后對于兩種PDFs中的狀態向量、噪聲協方差矩陣、噪聲尺度參數、伯努利參數等未知參數根據VB理論實現式(16)中變分近似并利用式(19)～式(39)中固定點迭代方法進行近似估計。最后得到GHTSRKF算法如下,其通過時間更新與迭代量測更新過程實現了非高斯噪聲條件下的狀態估計。

算法:提出的GHTSRKF

時間更新:

通過式(12)～式(14)計算先驗參數。

量測更新:

利用式(39)計算初始參數期望。

forj=0:J-1

根據式(19)更新q(j+1)(xt);

由式(26)～式(39)更新q(j+1)(Σt)、

q(j+1)(Rt);

end

3.3 對提出的GHTSRKF的討論

首先分析了GHTSRKF與現有的濾波器之間的關聯。當混合伽馬分布的數量I=L=1時,混合伽馬分布會退化為單一伽馬分布,這時GHTSRKF幾乎等同于M2GRKF[23]和噪聲尺度矩陣未知情況下的GSTMRKF[20]的濾波框架。與此同時,當先驗形狀參數k0=h0=1時,GHTSRKF會進一步退化為變分自適應KF[25];當k0=h0=0時,GHTS-RKF基本與現有的ORSTKF[18]的形式一樣。從上述分析可知,變分自適應KF,ORSTKF,GST-MRKF和M2GRKF是本文提出的濾波器的幾種特殊形式,這在一定程度上說明了所提出的濾波器性能更全面。

在文獻[22]的GSTM分布和文獻[23]的M2G分布中,單一伽馬分布被用來建模尺度參數以近似重尾噪聲的特性,但是動態野值特點是很復雜的,單一伽馬分布所包含先驗信息在這樣的情況下過于簡單而不能準確的近似重尾特性。而在GHTS分布中,本文構造的混合伽馬分布可以提供一個粗略先驗信息集合并通過自適應學習混合概率向量從該集合中提取一個準確先驗用于建模尺度參數。因此理論上,如此的GHTS分布可以更準確描述非平穩重尾噪聲,基于該分布的GHTSRKF的魯棒性能將會更優越。

對式(13)中的調節參數mt與遺忘因子ρ進行分析,聯立式(13)、(21)、(37)可得

(40)

(41)

對于固定點迭代數量J的選取需要平衡算法的估計精度與計算復雜度,該參數對濾波器性能的影響在仿真中會被討論。

對于一個動態系統來說,其系統不確定性主要有兩個方面:噪聲不確定性(系統與量測噪聲)與系統參數不確定性(未知輸入、失配的系統與量測矩陣)。本文提出的魯棒濾波器主要是為降低系統與量測噪聲的不確定所帶來的負面影響,沒有考慮系統參數的不確定所帶的影響。受限于時間與現有的知識儲備,在本文中沒有針對系統參數的不確定問題進行研究,在下一步的研究中,結合本文方法對系統參數的不確定問題進行深入研究。

4 仿真與分析

4.1 設置

考慮以下場景驗證所提濾波器的性能。

場景1時變高斯噪聲為:

wt-1～N(0,Qt-1),vt～N(0,Rt)

(42)

場景2非平穩重尾噪聲為

(43)

式中:q1=0.85、q2=0.95分別表示概率,真實的時變噪聲協方差矩陣Qt-1、Rt分別為

(44)

為了從統計意義上評估不同濾波器的估計性能,本文將均方根誤差(root mean square error, RMSE)和平均均方根誤差(average root mean square error,ARMSE)作為性能指標,分別定義為

(45)

4.2 估計精度

首先,在不準確時變高斯噪聲的情況下,分別來自現有的濾波器與提出的濾波器的位置與速度的估計結果在圖2中呈現。

圖2 場景1中位置與速度的RMSEsFig.2 RMSEs of position and velocity in Case 1

由圖2可知,所提出的GHTSRKF的精度優于其他RKFs,它的RMSEs最接近噪聲信息準確的KFTNC的RMSEs。由于不準確的時變噪聲的影響,KFNNC的精度嚴重退化。GSTMRKF的估計結果與KFNNC類似,雖然此濾波器設計時考慮了高斯噪聲的情況,但預選的噪聲尺度矩陣不準確嚴重影響了GSTMRKF的性能。其次,由于ORSTKF和HTMRKF只考慮了存在野值的情況,因此它們估計效果不理想。M2GRKF受益于兩個高斯分布混合框架,在噪聲是未知時變高斯的情況下依然取得了較好的估計結果。然而由于單一的粗糙先驗信息,現有的M2GRKF與提出的GHTSRKF相比并不占優勢。因此可以得到結論,當系統與量測噪聲是未知時變高斯噪聲時,相比于現有的濾波器,GHTSRKF具有更好的估計性能。

然后,非平穩重尾噪聲情況下,分別來自現有的濾波器與提出的濾波器的位置與速度RMSEs被展示在圖3中。

圖3 場景2中位置與速度的RMSEsFig.3 RMSEs of position and velocity in Case 2

由圖3可知,提出的GHTSRKF在所有時段的位置與速度估計結果都明顯優于現有的RKFs,這證明了GHTS分布更適合對非平穩重尾噪聲建模。在1～200、401～600、801～1 000 s 3個時間段內,各濾波器的表現與圖1結果基本一致。在201～400、601～800 s時間段內不同的重尾噪聲情況下,KFNNC的性能出現不同程度的惡化,這也說明了發展與研究RKF的必要性。GSTMRKF表現出了一定的魯棒性,但由于承受著噪聲尺度矩陣需要事先已知的限制,魯棒性能依然較差。ORSTKF和HTMRKF由于所構建的分層高斯狀態模型而對這種情況有著不錯的魯棒性能,并且HTMRKF受益于其采用的重尾混合分布在性能上以微弱優勢贏得了ORSTKF。由于針對非平穩重尾噪聲的設計,現有的M2GRKF呈現出了更好的估計性能,然而M2GRKF在估計精度方面比提出的GHTSRKF表現略差。本文猜測應該是混合伽馬分布能夠預先提供豐富的粗略先驗信息,并通過混合概率向量的自適應學習提取出一個準確的先驗,這使得提出的濾波器能夠對不同的重尾噪聲進行更加準確描述,因此魯棒性也更強。綜合所有時間段的估計結果,可以發現提出的濾波器受益于高斯和新設計的重尾分布的切換和多重伽馬分布混合對尺度參數的建模,其性能在非平穩重尾噪聲情況下明顯優于現有的RKFs。

除此之外,本文比較了所提出的濾波器與其他濾波器算法的每步迭代計算時間,結果見表1。從表1可以看出,在上述濾波器中,標準CKF的計算速度最快。由于狀態和未知參數的VB迭代極大地增加了算法的計算負荷,各魯棒濾波器算法每一步迭代時間明顯增加。與RSTKF、GSTMRKF、HTMRKF和M2GRKF相比,本文濾波器的運行時間略有增加。這說明本文濾波器在略微增加計算負擔的基礎上實現了更高的狀態估計精度。

表1 各算法單次運行的時間Tab.1 Run times in a signal step from each algorithms

4.3 參數影響

本文分析了最大迭代數目J,調節參數mt和伽馬分布的混合數量I和L對所提出的濾波器性能的影響,在場景2下該濾波器的位置與速度的ARMSEs分別展示在圖4～6中。

圖4 J=1,2,…,20時GHTSRKF的ARMSEsFig.4 ARMSEs of GHTSRKF with J=1,2,…,20

圖4顯示了當迭代次數J≥6時,濾波器收斂,這說明本文的GHTSRKF具有滿意的收斂速度。而且也說明了在滿足估計精度的同時可以設定合理的固定點迭代數目以提升濾波器的計算效率。圖5呈現了當固定點迭代次數J∈[1,20],調節參數mt∈[1,20]時提出的濾波器的位置與速度估計。結果顯示,當mt>4時,調節參數對ARMSEs的影響是有限的,mt=4時估計精度相對最優,從圖5中可得該參數選擇的區間范圍推薦為mt∈[3,8]。

圖5 mt=1,2,…,20時GHTSRKF的ARMSEsFig.5 ARMSEs of GHTSRKF with mt=1,2,…,20

圖6呈現了當固定點迭代次數J在區間[1,20]時,伽馬分布數量I=L∈[1,20]時提出的濾波器的位置與速度估計,結果顯示所提出的GHTSRKF的精度應隨著伽馬分布混合的數量I=L的增加而單調上升。然而,當I=L≥7時,濾波器的估計精度的提升很小,因此通過仔細選擇I和L的大小可以平衡算法的估計精度和計算復雜度。