利用努氏硬度表征金屬的彈性模量和屈服強度

劉 明,徐智通,尉賀寶

(1.福建省太赫茲功能器件與智能傳感重點實驗室(福州大學), 福州 350108; 2.福州大學 機械工程及自動化學院,福州 350108; 3.上海中研儀器制造有限公司,上海 201411)

金屬材料硬度[1]、彈性模量[2]和屈服強度是工程應用中重要的力學性能參數。硬度對微觀組織結構和加工工藝敏感,是彈性模量和屈服強度的綜合反映,基于壓痕法獲得材料的力學性能適用于小試樣,較傳統測試方法具有實驗過程簡便且對試樣破壞小的優點,對材料力學性能的快速檢測和降低測試成本有重要意義。努氏硬度HK和維氏硬度HV廣泛應用于各種材料的表征,如涂層、薄膜、生物材料、陶瓷和金屬玻璃等。同一種材料在相同載荷下,努氏壓痕比維氏壓痕深度淺,對試樣破壞更小,測量精度高。由于維氏壓痕兩條對角線長度相等,對材料的彈性回復不敏感,無法定量表征材料的彈性回復,使得維氏硬度及其壓痕對角線不能用于表征材料的彈性模量。Marshall等[3]根據努氏壓痕短對角的彈性回復求解得到了玻璃和陶瓷等脆性材料的彈性模量E。基于努氏硬度表征彈性模量的方法對于壓痕短對角線處堆積不太明顯的材料較適合(如陶瓷、玻璃、光學晶體和熱噴涂層),在較大載荷下同樣適用于聚合物,但不適合短對角線處堆積較嚴重的金屬材料。Conway[4]也提出了一種利用努氏壓痕彈性回復計算彈性模量的方法,應用于玻璃、陶瓷和熱障涂層。金屬材料的名義硬度H可以衡量材料抗滑移性能,預估屈服強度σy[5]。基于HK可以獲得金屬玻璃的E和σy[6],對于理想塑性材料,其H與σy直接相關;對于非理想塑性材料,H和σy之間有線性關系(例如σy≈H/3)[7],并會受到材料(例如E和泊松比v)和壓頭(例如等效圓錐半頂角θ)的影響[8]。金屬、陶瓷、玻璃、聚合物等材料的顯微硬度存在壓痕尺寸效應,即隨著載荷的增加硬度值有下降的趨勢:金屬材料顯微硬度的尺寸效應可以用Meyer定律[9]、彈塑性變形模型[10]、Hays-Kendll模型[11]和比例試樣阻力模型[12]等解釋。材料的彈性模量可以被儀器化壓入方法有效表征。儀器化壓入具有試樣制備簡單和測試分辨率高等優點,廣泛應用于表征各類材料(比如金屬、高分子、陶瓷、玻璃和薄膜等)在微小區域的力學性能(比如壓入硬度、結合強度、拉伸性能、斷裂韌度、殘余應力和黏彈塑性等)。分析儀器化壓入載荷-位移曲線的加載[13]或卸載階段都可以獲得材料的彈性模量和硬度。儀器化壓入過程的復雜應力使得通過載荷-位移曲線很難求解材料的屈服強度和硬化指數,并且單種壓頭下結果不唯一[14],需要結合有限元和機器學習[15]和基于能量等效原理[16]等才能表征彈塑性本構力學參數。

本文首次利用努氏硬度表征金屬材料的彈性模量和屈服強度。在考慮金屬材料壓痕短對角線堆積和壓痕尺寸效應影響下,利用金屬材料的努氏硬度建立了快捷估算材料彈性模量和屈服強度的修正模型,有助于降低實驗成本,開拓了努氏硬度在金屬材料力學性能表征的應用。

1 努氏硬度和儀器化壓入試驗

對35種金屬材料進行多級水磨,隨后進行機械拋光去掉試樣表面劃痕,最終達到鏡面效果,最后依次在丙酮、無水乙醇和超純水中進行10 min的超聲清洗,除油去污,用高純氮氣吹干后放入干燥恒溫箱中密封保存備用。35種金屬材料的彈性模量文獻報道值Eref(下標“ref”表示由文獻報道)見表1。利用上海中研儀器制造有限公司的HVST系列顯微硬度計進行努氏硬度測試。努氏壓頭是兩棱間半夾角分別為θ1=86.25°,θ2=65.00°的金剛石四棱錐壓頭[6],實驗載荷為0.245～9.800 N。為使壓痕不超過屏幕顯示范圍,軟材料的最大測試載荷較小,各種材料測試的最大載荷見表1。每種載荷測試5次取平均值,保載時間為15 s,卸載后分別測量努氏壓痕兩條對角線的長度。努氏硬度HK為實驗載荷P與卸載后壓痕投影面積AP的比值[17]為

表1 35種金屬材料的力學性能(Eref、υ、σyref)[21-22]、努氏硬度測試的最大載荷、最大載荷下努氏壓痕長對角線d、b/d和努氏硬度HKTab.1 Mechanical properties of 35 metals (Eref,υ, σyref) [21-22], Knoop hardness HK, long diagonal d, and b/d under maximum load

(1)

式中d為努氏壓痕長對角線長度。

采用Anton Paar公司型號為NHT2的儀器化納米壓入儀在大氣環境下采用載荷控制模式將金剛石三棱錐Berkovcih壓頭垂直壓入試樣表面測試金屬材料的彈性模量EIT。儀器化壓入載荷-位移(F-h)曲線的卸載段可以用冪函數擬合[18]:

(2)

式中:Fmax、hmax分別為最大載荷和最大位移,殘余接觸位移hp、m(大多數材料的m范圍為1.2～1.7[17])為擬合參數。

接觸剛度S在卸載初始(即最大位移hmax)處確定:

(3)

彈性模量EIT可由縮減模量Er獲得,即

(4)

式中:υ為被測材料的泊松比(見表1),Ei=1 141 GPa和υi=0.07分別為金剛石壓頭的彈性模量和泊松比,β=1.034[19]為Berkovich壓頭的形狀修正因子, 接觸投影面積Ap(hc)為接觸深度hc(在hmax處確定)的函數,通過對彈性模量和泊松比已知的標準材料(如熔融石英)進行儀器化壓入試驗獲得若干hc下的Ap,利用B-樣條插值擬合得到[19],常數ε與壓頭幾何形狀有關,同時取決于擬合指數m[20]。

2 微米努氏硬度尺寸效應分析

2.1 努氏硬度的Meyer定律[9]

Meyer定律中壓痕的實驗載荷P與努氏壓痕長對角線d之間滿足:

P=A0dn,lnP=lnA0+nlnd

(5)

式中A0和材料有關,指數n可以衡量微米硬度的尺寸效應:n=2時無尺寸效應,此時硬度不隨載荷的增加而變化;n<2時材料有正尺寸效應,此時硬度隨著載荷的增加而降低;n>2時材料有逆壓痕尺寸效應,此時硬度隨著載荷的增加而增加。圖1顯示了硬度尺寸效應的示意圖,尺寸效應在小載荷下較為顯著,在大載荷下硬度近似為常數,尺寸效應可以忽略,所以在大載荷下測量得到的硬度更接近材料的真硬度。

圖1 壓痕尺寸效應曲線Fig.1 Schematic illustration of indentation size effect

2.2 努氏硬度的彈塑性變形模型(EPD)[10]

壓頭尖端的鈍化和卸載后壓痕的彈性回復等都會對測量結果產生影響[10],因此努氏壓痕長對角線d和載荷P有如下關系:

(6)

式中:d0受壓頭鈍化及壓痕彈性回復綜合影響,A1與材料有關。式(6)兩側同時除以d2可得

(7)

式中可以解釋努氏硬度隨載荷下降。隨著載荷的增加d0/d和P/d2都逐漸減小,d0/d趨近于0,P/d2趨近于A1。與載荷無關的真硬度為

(8)

2.3 努氏硬度的Hays-Kendall(H-K)模型[11]

材料發生塑性變形時對應一個臨界載荷W,施加的載荷大于W時材料才會發生塑性變形,否則只會發生彈性變形。努氏壓痕長對角線d與載荷P滿足如下關系:

(9)

式中A2與材料有關,而與載荷無關。W/d2隨載荷的增大而降低,趨近于0,使得P/d2趨近于A2,因此硬度隨著載荷增加而降低,趨于常數。與載荷無關的真硬度為

(10)

2.4 努氏硬度的比例試樣模型(PSR)[12]

Li等[12]提出了比例試樣模型來解釋材料的壓痕尺寸效應:

(11)

式中A3、A4分別為與材料的彈性和塑性性能相關的常數。隨著載荷的增大,A3/d逐漸減小,使得P/d2趨近于A4,因此硬度逐漸變小,趨于常數。材料的真硬度為

(12)

圖2顯示60Si2Mn、HT150、Q235和T2紫銅4種典型材料的努氏硬度隨載荷的增加而降低,最后趨于穩定,有正壓痕尺寸效應,其他材料具有相同的變化趨勢。金屬材料的維氏硬度[23]和壓入硬度也有相同的現象。

圖2 不同載荷下的努氏硬度Fig.2 Variation of Knoop hardness with load

利用4種模型對努氏硬度的尺寸分析分別如圖3(a)～3(d)所示,4種模型擬合效果都很好,置信度R2均大于0.99,擬合參數見表2。35種金屬材料在Meyer定律中的n在1.73～1.98之間(在1.60～2.00之間,屬于軟材料特性),都表現出正壓痕尺寸效應。Meyer定律能直接反映材料的壓痕尺寸效應,但不能解釋壓痕尺寸效應的原因。對于彈塑性變形模型,d0在0.50～16.00 μm之間,較大的d0其他文獻也有報道。對于Hays-Kendall模型,W的值在11.00～272.00 mN之間,說明不同材料加載時需要克服的最小彈性載荷不同。對于比例試樣模型,A3在0.488～3.750 mN/μm之間,不同材料加載至相同深度時需要克服的彈性性能不同。雖然d0、W和A3都和材料的彈性性能相關,然而通過分析表1、2中的數據并沒發現這些參數與彈性模量E或HK/E之間的關系,因此各模型中參數的物理意義還有待于進一步深入研究。

圖3 努氏硬度尺寸效應分析Fig.3 Analysis of size effect of Knoop hardness

表2 壓痕尺寸效應分析結果Tab.2 Analysis results of indentation size effect

圖4顯示了4種模型的擬合參數之間的關系。d0隨n的增大有線性減小的趨勢,這是因為材料的正壓痕尺寸效應越明顯時,n會越小或d0會越大。A3隨W的增大有線性增大的趨勢,這是由于發生塑性變形的最小載荷變大時,A3和W都會變大。

圖4 4種壓痕尺寸模型擬合參數之間的關系A3、W和d0、nFig.4 Relationships among fitting parameters of the 4 models for indentation size effect：A3,W and d0,n

圖5比較了不同模型計算的真硬度(HK,EPD、HK,Hays和HK,PSR,見表2)和趨于穩定的努氏硬度(即最大載荷下的硬度值,見表1),3個模型(EPD、Hays-Kendoll、PSR)計算的真硬度與趨于穩定的HK大體一致,可以用大載荷下的努氏硬度值表示材料的真硬度,因此本文均采用大載荷下趨于穩定的努氏硬度值(見表1)來表征材料的彈性模量和屈服強度。小載荷下材料的微觀組織對努氏硬度有較大影響,應選用大載荷下的硬度值作為真硬度,此時,壓痕尺寸遠大于晶粒尺寸,努氏硬度受材料的各向異性和微觀不均勻性的影響可忽略。

圖5 3種壓痕尺寸模型得到的真硬度(HK,EPD、HK,Hays和HK,PSR)與努氏硬度HK的比較Fig.5 Comparison between true hardness (HK,EPD, HK,Hays, and HK,PSR) by 3 indentation size models and Knoop hardness HK

3 利用儀器化壓入表征彈性模量

圖6(a)～6(d)分別為純W、H13模具鋼、T2紫銅和AZ61鎂合金的儀器化壓入載荷-位移曲線以及壓痕光學圖像。不同Fmax下加載曲線基本重合,壓痕清晰,無裂紋。純W和H13模量鋼的壓痕可以觀察到材料堆積;T2紫銅有較明顯的堆積,所以大部分金屬材料的b/d>1/7.11,見表2;AZ61鎂合金的壓痕出現了明顯的沉陷現象,所以鎂合金的b/d<1/7.11。4種材料的彈性模量EIT(下標“IT”為由儀器化壓入測得)隨Fmax的變化如圖6(e)所示。大部分材料的EIT基本不隨Fmax變化,例如H13模具鋼、T2紫銅和AZ61鎂合金的EIT可近似為常數。少數材料的EIT在大載荷下緩慢下降,只有在小載荷下可近似為常數,比如純W的EIT在小載荷下(Fmax<200 mN)可近似為常數,而在大載荷時(Fmax>200 mN)緩慢下降,這是因為純W脆性較大,在大載荷下引起材料損傷,這時小載荷下的平均值才是材料真實的彈性模量。35種金屬材料的EIT在穩定區間(一般是大載荷,硬脆材料是小載荷)的平均值見表1。圖6(f)比較了35種金屬材料由儀器化壓入得到的彈性模量EIT和文獻報道值Eref(見表1)。EIT和Eref近似成比例,EIT略大于Eref,這是由于Eref通常是由宏觀拉伸試驗獲得,受材料的各種缺陷影響較大,然而儀器化壓入只測試微小局部區域,缺陷較少,所以由儀器化壓入測得的彈性模量一般比宏觀測試結果略大。

圖6 利用儀器化壓入表征金屬材料的彈性模量:4種典型金屬的力和位移曲線,彈性模量隨加載力的變化;35種金屬材料利用儀器化壓入測得的彈性模量EIT與文獻結果Eref的比較Fig.6 Characterization of elastic modulus of metals by instrumented indentation：indentation load-displacement curves and variation of elastic modulus with applied load for 4 representative metals, and comparison of elastic modulus EIT measured by instrumented indentation and Eref reported in the literature of 35 metals

4 利用努氏硬度表征金屬材料的彈性模量

圖7(a)、7(b)分別為W18Cr4V和T2紫銅的努氏壓痕光學形貌。b′、d′分別為在最大載荷時努氏壓頭與材料接觸投影面的長對角線和短對角線(不考慮材料堆積或者壓痕沉陷,由壓頭的幾何形狀可知b′/d′=1/7.11[6]);b、d分別為在卸載之后殘余壓痕投影面的長對角線和短對角線。對于玻璃和陶瓷等脆性材料:壓痕是沉陷(sink-in)的,不會發生材料堆積(pile-up);卸載后努氏壓痕長對角線的彈性回復可以忽略不計,即d≈d′;但壓痕短對角線發生明顯彈性回復,使得b

圖7 努氏殘余壓痕形貌和努氏壓痕短對角線堆積示意Fig.7 Residual morphologies of Knoop imprints and schematic diagram of pile-up around short-diagonal of Knoop imprint

(13)

式中：α為與材料有關的常數(對于陶瓷等脆性材料α=0.450,對于牙齒α=0.370,對于聚合物α=0.473,對于大塊金屬玻璃α隨b/d線性增加[6]);HK應選用大載荷下趨于穩定的努氏硬度值(見表1)。

Conway[4]對努氏壓痕進行了分析,結果表明當壓痕周圍無明顯堆積和沉陷時,通過分析壓痕短對角線的彈性回復可以確定材料的彈性模量E為

(14)

式中:υ為材料泊松比(見表1),γ=75°為努氏壓頭的等效半角,b′=d′/7.11=d/7.11。

Marshall模型和Conway模型主要用于硬脆材料,壓痕周圍無明顯的堆積或沉陷,并且b/d<1/7.11,可以利用壓痕短對角線的彈性回復來計算彈性模量。利用有限元對金屬材料的努氏壓痕進行模擬,發現當材料的屈服強度和縮減模量之比σy/Er<0.032時,滿載下壓痕短對角線處有較大的堆積,雖然卸載后壓痕的短對角線會有一定的彈性回復,但短對角線處仍然有較為嚴重的材料堆積,使得b>b′,如圖7(c)所示;而長對角線基本無堆積且彈性回復量可以忽略不計,仍然有d′=d[24],于是殘余壓痕形貌的短對角線和長對角線的比值b/d>1/7.11。35種金屬材料在最大載荷下的b/d見表1,對于大部分金屬材料b/d>1/7.11(≈0.14),Marshall模型和Conway模型不適用(適用條件需滿足b/d<1/7.11),需要對模型進行修正。

對于Marshall模型,根據已知的彈性模量EIT(由儀器化壓入測得),系數α可以由式(13)計算:

(15)

35種材料的α隨b/d的變化如圖8(a)所示。大部分材料的b/d>1/7.11,所以α為負數,這是由于金屬材料有嚴重的堆積,導致利用努氏硬度表征彈性模量只能應用于硬脆材料,還不能應用于金屬材料;金屬材料的α是b/d的二次函數,對Marshall模型進行修正,首次利用努氏硬度表征金屬的彈性模量為

圖8 Marshall和Conway模型中系數的變化Fig.8 Variations of the empirical parameters of Marshall and Conway models

(16)

對Conway模型引入修正系數β,并認為:

(17)

由式(14)和已知的彈性模量EIT可以計算出β為

(18)

35種金屬的β隨b/b′的變化如圖8(b)所示,隨著壓痕短對角線比值的平方(7.11b/d)2的增加,β有線性增加的趨勢(Ti6Al4V除外),適用于金屬材料的Conway修正模型為

(19)

根據修正后的Marshall模型和Conway模型,見式(16)和式(19),可分別計算得到35種金屬材料的彈性模量Eα、Eβ,如圖9(a)所示,大部分材料的Eα、Eβ和儀器化壓入測得的彈性模量EIT一致(Ti6Al4V的彈性模量會被高估),置信度R2不低于0.94。圖9(b)放大展示了圖9(a)中低硬度材料(HK<1.00 GPa)的結果:兩修正模型計算的3種AZ系列鎂合金的彈性模量與EIT基本相等,但會低估硬度較小的Sn(HK=0.08 GPa)的彈性模量。

圖9 金屬彈性模量比較:Marshall和Conway的修正模型計算的Eα、Eβ與儀器化壓入得到的EITFig.9 Comparison between Eα, Eβ, and EIT obtained by modified Marshall model, modified Conway model, and instrumented indentation, respectively

5 利用努氏硬度表征金屬的屈服強度σy

利用硬度表征材料屈服強度的模型首先是基于圓錐壓頭提出的,也適用于維氏壓頭(可通過等效圓錐半頂角等效為圓錐壓頭)。因為努氏硬度與維氏硬度相關性很強[25],所以可以利用努氏硬度表征材料的屈服強度。相比于維氏壓頭,努氏壓頭長對角線遠大于短對角線,如圖7(a)所示,對材料的各向異性較為敏感[26],大載荷下的結果更能代表金屬材料宏觀的屈服強度[27]。

Schuh等[28]研究金屬材料的塑性變形時發現不同形狀壓頭下屈服強度σy和名義硬度H呈線性關系:

(20)

式中:對于努氏壓頭取θ=77.64°×π/180°,P為最大載荷,Ac為最大壓入深度下壓頭和材料的接觸投影面積。

Yu等[29]發現屈服強度σy和名義硬度H之間滿足:

(21)

Zhang等[7]在分析膨脹腔模型時發現材料的屈服強度σy、名義硬度H、彈性模量E和泊松比υ之間滿足:

(22)

Fornell等[8]基于膨脹腔模型得到新的表達式為

(23)

Vandeperre等[30]考慮了彈性表面變形的影響,提出另一種表達式:

(24)

根據式(20)～(24),當材料的名義硬度H、彈性模量E(即儀器化壓入測試的彈性模量EIT,見表1)、泊松比υ(見表1)和壓頭的等效圓錐半頂角θ已知時,可以求得材料的屈服強度σy。式(20)、(21)可直接計算材料的屈服強度σy,式(22)～(24)可采用牛頓迭代法計算,初始迭代點可采用σy≈H/3。由式(1)和式(20)可知名義硬度H和努氏硬度HK成比例,H=0.905HK。將不同模型的名義硬度H替換為大載荷下趨于穩定的努氏硬度HK(見表1),可計算得到35種金屬屈服強度,與文獻報道值(見表1)的比較如圖10(a)所示,除60Si2Mn彈簧鋼外,不同模型計算的屈服強度和文獻報道值近似成比例,可以引入修正系數k來對模型進行修正,k表示文獻值與原模型計算值的比值(擬合時未考慮偏離線性趨勢較遠的60Si2Mn彈簧鋼)。60Si2Mn彈簧鋼具有較高的彈性極限,并且其屈服強度與抗拉強度十分接近,與普通金屬材料差異顯著,所以適用于普通金屬的公式不適合60Si2Mn彈簧鋼。Vandeperre和Marsh兩個模型的k值近乎等于1,模型不需要修正。基于k值,同時把名義硬度H替換成努氏硬度HK,對其他3個模型(Lockett、Johnson和Yu)進行了修正,修正前、后的模型僅僅差一個系數,即Lockett的修正模型為

圖10 35種材料屈服強度的計算值和文獻值σyref比較Fig.10 Comparison between values of yield strength calculated by different models and σyref reported in the literature

(25)

3個修正模型計算出的35種金屬屈服強度σym(下標“ym”表示修正模型計算值)與文獻報道值σyref(見表1)的比較如圖10(b)所示,修正后模型計算的屈服強度與文獻報道值一致,置信度R2不低于0.90,說明修正后的模型可以準確預測大部分金屬材料的屈服強度,偏差主要是由于金屬材料的屈服強度受加工過程等因素影響,使得金屬的屈服強度是一個范圍,見表1。圖10(c)放大展示了圖10(b)中低硬度材料(HK<1.00 GPa)的結果:修正后的模型計算的低硬度材料的σym與σyref基本一致,說明修正后模型也適用于硬度較低的金屬。Marsh、Johnson、Vandeperre模型需要利用牛頓迭代法解方程來計算材料的屈服強度σy,Lockett、Yu模型可直接計算σy,由于Lockett形式更簡單,所以當努氏硬度容易測量時,推薦式(25)計算金屬材料的屈服強度。大塑性變形得到的硬度還與材料的硬化指數有關[25],而本文中的模型均未考慮硬化指數的影響,因此適用于硬化指數對大變形影響不大的金屬材料,從而為工程實踐中基于努氏硬度評估金屬材料的屈服強度提供簡便方法。

6 結 論

1)對35種金屬材料進行努氏硬度試驗,發現金屬材料的努氏硬度存在正壓痕尺寸效應,大載荷下的硬度值區域穩定,并與彈塑性變形模型(EDP)、Hays-Kendall模型和比例試樣模型(PSR)各自計算的真硬度值一致。

2)首次考慮金屬材料在努氏壓痕短對角線處材料堆積的影響,利用最大載荷下的努氏硬度值計算金屬材料的彈性模量和屈服強度,將Marshall模型中原有的常參數α修正為b/d(努氏壓痕短對角線與長對角線的比值)的二次函數;將Conway模型乘以與b/d的平方呈線性關系的修正系數β。除Ti6Al4V和Sn外,修正模型與儀器化壓入測得的彈性模量一致,置信度R2不低于0.94。

3)通過比較文獻值與Lockett、Yu、Marsh、Johnson和Vandeperre模型計算的屈服強度,引入修正系數k(文獻值與原模型計算值的比值),首次建立了基于努氏硬度表征金屬材料屈服強度的模型。除60Si2Mn彈簧鋼外,修正模型計算值與文獻值一致,置信度R2不低于0.90。