兩個三角基本不等式及推論的應用*

四川省成都七中數學組 (610000) 夏 雪

四川省成都西藏中學 (610000) 汪 洋

三角函數與導數綜合問題在近期試題中非常常見.三角函數具有的單調性、有界性、求導特征均為導數的研究帶來活力.本文對涉及三角函數的導數的幾個不等式及其應用展開討論,以展示這類不等式的重要應用.

一、兩個三角基本不等式

不等式1 當x>0時,sinxx.

注:該不等式可統一成|sinx|≤|x|(當且僅當x=0時取等).

二、三角基本不等式的應用

(1)當a=0時,求b的取值范圍;

(2)求證:a2+b2>e.

解:(1)易求得b∈[2e,+∞).

點評:此題為2022年天津卷高考導數壓軸題,難度較大.若能從構造a2+b2入手,借助柯西不等式及前面所述三角基本不等式,可以找到該題的簡潔解答.

例2 已知函數f(x)=ae-x+sinx-x.

(1)若f(x)在(0,2π)單調遞減,求實數a的取值范圍;(2)證明當a∈Z時,f(x)至多一個零點.

解:(1)f′(x)=-ae-x+cosx-1,令f′(x)≤0,則-a≤ex(1-cosx)對x∈(0,2π)恒成立,但ex(1-cosx)>0,且當x→0時ex(1-cosx)→0,條件等價于-a≤0?a≥0.故所求范圍是a≥0.

(2)令f(x)=0,則a=ex(x-sinx)=g(x),則g′(x)=ex(x-sinx+1-cosx).當x≥0時,g′(x)≥0,故g(x)在[0,+∞)單調遞增,值域[0,+∞).當x<0時,由x-1,即證ex(x-sinx)>-1?e-x+x-sinx>0.事實上,e-x+x-sinx>-x+1+x-sinx=1-sinx≥0,于是當x<0時g(x)∈(-1,0).

綜上所述,對于a∈Z,當a≥0時,f(x)恰有一個零點;當a<0時f(x)無零點.

點評:此題的巧妙之處在于利用零點的等價轉化構造函數g(x).而函數g(x)的研究借力三角基本不等式1,注意到a∈Z,此命題易證.

例3 若關于x的方程mxsinx+x=ex-1(0≤x≤π)有兩個不等實數根,求實數m的取值范圍.

點評:解法一采用先分離及三角基本不等式的放縮,尋找不等式成立的必要條件.再證充分性;解法二采用分象限討論,結合零點存在定理,這是處理三角函數與導數問題相結合問題的常見方法.

例4 已知函數f(x)=asinx+sin2x,a∈R.

點評:此題首先尋找不等式成立的必要條件.再證充分性.充分性的證明過程借助了三角基本不等式二的推論1,使得證明過程簡潔明了.