由一道高考模擬題探究圓錐曲線恒過定點問題*

聊城大學數學科學學院 (252000) 張瑞雪 房元霞 徐茂林

由于圓錐曲線作為坐標平面內點的運動軌跡,蘊含著運動變化過程中保持的某種“規律性”或“不變性”[1],而這種“規律性”或“不變性”就是圓錐曲線的性質.本文以2023年某市高三二模第21題為例,利用GeoGebra軟件探究圓錐曲線的定點問題.

一、題目

(1)求該雙曲線C的方程;(2)若直線l與雙曲線C在第一象限交于A,B兩點,直線x=3交線段AB于點Q,且SΔFAQ:SΔFBQ=|FA|:|FB|,證明:直線l過定點.

本題以雙曲線為載體,考察轉化和聯立方程的計算能力,第(2)問更是蘊含了圓錐曲線一般性結論.我們設直線l與雙曲線C交于任意兩點A,B,直線x=3推廣至垂直于坐標軸的直線x=t(或y=t),然后利用GeoGebra軟件探究得到如下情形與結論.

二、推廣到一般

圖1

注:本文僅以焦點在x軸上的圓錐曲線為例進行證明,焦點在y軸上的證明不再累述.

圖2

圖3

定理3 設拋物線C:y2=2px,若直線l與拋物線C交于A,B兩點(如圖 3),直線x=t交線段AB于點Q,交x軸于點F,且SΔFAQ:SΔFBQ=|FA|:|FB|,則直線l過定點(-t,0).

圖4

定理4 設拋物線C:x2=2py,若直線l與拋物線C交于A,B兩點(如圖 4),直線y=t交線段AB于點Q,交x軸于點F,且SΔFAQ:SΔFBQ=|FA|:|FB|,則直線l過定點(0,-t).

注:針對拋物線y2=2px直線y=t的情形,由于證明過程中m與k存在反比例關系,即無法證明定點與變量k無關,所以此種情況拋物線不過定點,類似的,拋物線x2=2py直線x=t的情況同樣不過定點.

上述,我們從雙曲線出發,通過類比、猜想、實驗、證明等數學思想方法的指引,得出了橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線一般性的結論,“對圓錐曲線進行一般化推廣,變的是曲線,不變的是方法,將問題進行一般化的推廣,有助于學生進一步認識圓錐曲線的性質.”[2]啟發學生做一道題,要學會解一類題,拓展自己的解題空間,培養數學思維的廣闊性、靈活性和深刻性,進而發展創造性.