構造兩類概率模型解決相關不等式問題

廣東省惠州市第一中學 (516007) 方志平

雖然數學的各分支都有自己的研究方向和重心,但相互之間并不存在不可逾越的鴻溝.構造概率統計模型解決問題,是一種富有創造性的思維方式,它為我們解題提供了另一途徑,不失為一種好方法,該方法對于培養學生思維的廣闊性和創造性,具有重要的意義.本文嘗試構造兩類概率模型解決相關不等式問題,旨在為探索解題新路拋磚引玉.

1.構造獨立事件,巧用概率性質證明

利用概率思想,通過構造恰當的概率模型,解決一些其他數學分科的問題,是一種別開生面的解題方法.概率的性質很多,其中概率的加法公式:設A,B,C是一個隨機試驗中的三個事件,則P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC).它對于解決一些不等式問題,常常表現出簡捷、明快、精巧、新穎的特點,使數學解題突破常規,具有很強的獨特性和創造性,也彰顯了數學的永恒魅力!下面舉例說明.

評注:本題是通過局部分析法,將“二倍角”與“和角”都化為單角,得到sinx+cosx-sinxcosx≤1.由于0≤sinx≤1,0≤cosx≤1.讓我們不難聯想到構造概率,利用兩獨立事件的加法公式幫助證明.

例2 已知0

證明:設A,B,C是三個相互獨立的事件,且P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.由概率加法定理和事件的獨立性得P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC).∴P(A+B+C)=a+b+c-ab-bc-ca+abc,由已知條件0

評注:由條件與所證不等式的結構特征,讓我們聯想、類比三個獨立事件的加法公式.可見觀察與聯想是尋找解題的突破口.

例3 若01-a-b-c-d.

評注:由于0

評注:由于a,b,c是三角形三邊長,且a+b+c=1, 于是要先尋找構成三角形時a,b,c所滿足的條件.另外,條件a+b+c=1在證題時多次被利用,也是證明本題的一個關鍵點.

2.構造分布列,巧用方差公式解題

利用這一結論,在解決有關不等式問題時,若能根據不等式的結構特征,巧妙地構造離散型隨機變量的概率分布列去解決問題,則可另辟蹊徑,往往會給人耳目一新的感覺.

例5 已知實數x,y,z滿足方程x+2y+3z=12,求x2+2y2+3z2的最小值.

評注:觀察條件與所求式子的結構形式,逆向思考,聯想構造離散型隨機變量的分布列,再求隨機變量的期望,巧用方差公式D(X)=E(X2)-(E(X))2≥0,問題則順利得到解決.

例6 (2012年全國高中數學聯賽江西預賽題)若實數a,b,c滿足a+b+c=a2+b2+c2, 則a+b+c的最大值是.

評注:構造概率模型是通過對條件和結論充分細致的分析,抓住問題的特征,設出a+b+c=a2+b2+c2=t,以此架起一座連接條件和結論的橋梁,挖掘問題與概率思維的共性.

例7 (2013年全國高中數學聯賽B卷)假設a,b,c>0, 且abc=1, 證明:a+b+c≤a2+b2+c2.

評注:由于正數a,b,c滿足a+b+c=1,隱藏著0

以上各例,雖然我們用常規的方法也可以去解決,但利用構造概率的方法解題,不僅為我們提供了解決關于一些不等式問題的新方法,而且拓寬了我們的解題思路, 使復雜問題簡單化,從而提高了解題的效率.