解題需要重視尋找“切入點(diǎn)”

云南省曲靖市民族中學(xué) (655000) 楊麗瓊

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要解題,而解題方向是否合理,解題過程的繁冗與簡捷,往往在于解題“切入點(diǎn)”的選擇.善于從題目所顯示的或隱含的某些特點(diǎn)中尋找解題“切入點(diǎn)”,既能快速?zèng)Q策解題的方向,也能優(yōu)化解題的過程,起到“四兩撥千斤”的解題效果.本文從幾個(gè)方面闡述尋找“切入點(diǎn)”的途徑.

1 從特殊數(shù)值尋找“切入點(diǎn)”

在數(shù)學(xué)題目中,往往出現(xiàn)具有某種特點(diǎn)的一些數(shù)值,這些數(shù)值對(duì)解題有著重要的導(dǎo)向作用.從這些特殊數(shù)值上展開聯(lián)想,進(jìn)而順藤摸瓜尋找解題“切入點(diǎn)”,則能獲取新穎、獨(dú)到的解法.

2 從圖形背景尋找“切入點(diǎn)”

對(duì)于許多數(shù)量關(guān)系的題目,若挖掘并運(yùn)用蘊(yùn)含在題目中的圖形背景,使得數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為直觀圖形來解決,從圖形背景中尋找“切入點(diǎn)”,則解題思路直觀、清晰.

例2 (1987年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)已知方程|x|=ax+1有一個(gè)負(fù)根而且沒有正根,那么a的取值范圍是( ).

A.a>-1 B.a=-1

C.a≥1 D.非上述答案

分析:本題若按常規(guī)方法來解,需要分為兩個(gè)步驟來進(jìn)行:①先設(shè)x為方程負(fù)根,推出a的范圍;②根據(jù)方程沒有正根求a的范圍時(shí),正難則反,先假設(shè)方程有一個(gè)正根x,得到a的范圍后取其反面.進(jìn)而綜合后得到答案.所以運(yùn)用常規(guī)思路解答邏輯推理要求高,而利用圖形背景,設(shè)出函數(shù)并作圖象,借助圖象化“數(shù)”為“形”,則求解直觀、迅速.

圖1

3 從位置關(guān)系尋找“切入點(diǎn)”

許多與圖形相關(guān)聯(lián)的題目都具有一些特定的“位置”,從與眾不同的位置關(guān)系中去尋找解題的“切入點(diǎn)”,可快速明確解題方向,利用解題.

圖2

4 從式子結(jié)構(gòu)尋找“切入點(diǎn)”

許多題目中式子的結(jié)構(gòu)具有“窗口”作用,善于對(duì)式子結(jié)構(gòu)的觀察、分析,從式子結(jié)構(gòu)中尋找解題“切入點(diǎn)”,則解題往往做到事半功倍.

例4 (2019年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽天津賽區(qū)初賽題)若四個(gè)互不相等的正實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足(a2012-c2012)(a2012-d2012)=2012,(b2012-c2012)(b2012-d2012)=2012,則(ab)2012-(cd)2012的值為( ).

A.-2012 B.-2011 C.2012 D.2011

分析:由已知條件可知,a2012與b2012滿足相同的結(jié)構(gòu)形式,因此構(gòu)造方程(x-c2012)(x-d2012)=2012,整理后利用韋達(dá)定理求解.

解:因?yàn)?a2012-c2012)(a2012-d2012=2012,(b2012-c2012)(b2012-d2012)=2012,所以a2012與b2012是方程(x-c2012)(x-d2012)=2012,即x2-(c2012+d2012+(cd)2012-2012=0的兩根.根據(jù)韋達(dá)定理,得a2012·b2012=(cd)2012-2012,即(ab)2012=(cd)2012-2012,所以(ab)2012-(cd)2012=-2012.故選A.

5 從整體關(guān)系尋找“切入點(diǎn)”

在解決一些題目中,若把某些具有一定關(guān)系的式子視為一個(gè)整體,以此為解題“切入點(diǎn)”,則往往使題目得到迅速解決.

分析:若先求解已知中的一元二次方程,然后將求出的解代入所求式,很是繁冗.這里著眼整體關(guān)系,先將所求分式化簡,再把x+2y-1=0變形,整體代入化簡的分式求值.

6 從差異中尋找“切入點(diǎn)”

數(shù)學(xué)解題的過程,從一定意義上講,就是實(shí)現(xiàn)從題設(shè)到結(jié)論進(jìn)行推證的過程,而識(shí)別題設(shè)與結(jié)論或量與量之間的差異,則能幫助我們尋找解題的“切入點(diǎn)”.

例6 (2022年江蘇省南通市中考題)已知實(shí)數(shù)m,n滿足m2+n2=2+mn,則(2m-3n)2+(m+2n)(m-2n)的最大值為( ).

解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要手段和途徑,而解題方向是否正確,解題過程是否簡捷,這都需要尋找到一個(gè)好“切入點(diǎn)”.因此,在解題中重視尋找“切入點(diǎn)”,對(duì)于優(yōu)化解題方案,縮短思維線路起著舉足輕重的作用.