2023年全國新高考Ⅰ卷解幾壓軸題解法探究*

江蘇省蘇州第一中學 (215000) 王 耀 蔡玉書

在2023年全國高考數學新高考Ⅰ卷中,壓軸題是一道解析幾何試題,命題者以直線和拋物線的位置關系為命題背景,巧妙地設計了矩形周長的最值問題,對學生的應用數學知識的能力進行了有效地考查.本文以此題為例,從不同的角度研究其解題思路,并總結一般性結論,與讀者分享.

1.試題呈現

2.解法探究

第(2)問,在處理解析幾何問題時,常用的方法是設k法,直線與圓錐曲線進行聯立方程組,利用斜率k表示弦長,再進行求解:

思路一引入雙參數:點A的坐標,直線AB和AD的斜率.利用直線與拋物線方程進行“曲直”聯立,得到弦長之和的表達式,通過分類討論處理雙絕對值函數的最小值問題.

在國家考試中心網站上,還給出了利用直線的方向向量來處理旋轉90°的幾何問題,即如下的設角法:

思路二引入雙參數:點、角度,即長方形的三個頂點的坐標,再引入相鄰兩邊所在直線的方向向量、法向量,從而可表示矩形各邊的長度,并得到證明.

圖1

筆者研究后發現,人教A版(2019年)新教材非常重視向量在新知證明中的應用,上述思路中,在直線的方向向量、法向量的雙重作用下,順利得到長度和角度的等量關系. 事實上,筆者回顧平時的教學過程,在處理與旋轉相關的幾何問題時,既可以使用直線的參數方程的幾何意義來求解,也可以使用圓的參數方程去運算,最終轉化為三角函數的最值問題.即如下兩種求解思路:

思路三引入雙參數:點A的坐標,直線AB的傾斜角θ.利用直線參數方程的幾何意義進行求解.

圖2

證法3:由平移的不變性,將拋物線化為y=x2考慮(如圖2).

思路四引入雙參數:點A的坐標,線段AB的長r1.利用圓的參數方程的表示r1,同理可表示AC的長r2.得到關系式進行分析.

上述思考角度最終都轉化為三角函數問題,事實上,若直接引入點的坐標進行運算(設點法),也能找出其中的等量關系后,再利用兩點距離公式進行求證:

思路五引入三參數:點A,B,D的坐標.利用AB⊥AD找出參數之間的內在聯系,進行轉化求解.

由AB⊥AC可知(a-b,a2-b2)·(a-d,a2-d2)=0,化簡得(a+b) (a+d)=-1.

3.一般性結論及試題溯源

根據前面的幾種解題思路,進一步研究后,還能得到如下一般化結論,并將問題進行題源追溯,可以發現與1998年的上海市高中數學聯賽試題有相似性,一并整理如下:

結論2 已知矩形ABCD有三個頂點在拋物線W:x2=2py(p>0)上,則矩形ABCD的對角線長的最小值為4p.

題源(1998年上海市高中數學競賽)一個正方形的三個頂點A,B,C在拋物線y=x2上,求正方形面積的最小值.

圖3

4.題后反思

美國數學家、心理學家哈爾莫斯曾經在《數學的心臟》一文中指出:“問題是數學的心臟”.的確如此, 問起于題,疑源于思,本文中,從一道高考壓軸題的解法開展思考,自覺以問題為中心,不斷地進行探尋通法,優化解法,解法之間有聯系,更有創新,各具特色.由此可見,面對數學問題,只要學會廣泛的聯想和生動的類比,就會發現寬闊的思路,探究出各式各樣的方法來. 如果在解題過程中,對于每一個細節再進一步深入思考,繼續追尋下去,那么解法還能不斷改進,不斷優化,化復雜為簡單,聚分散為統一.