平面向量模問題的求解策略研究*
——從一道高考真題說起

福建省福安市第一中學 (355000) 徐志剛

平面向量是高考命題的重要考點,尤其是平面向量模的問題,時常出現在高考題的填空題中.我們知道,向量既有大小又有方向,這里的大小就是指向量的模,也叫向量的長度.計算向量的模或模的最值(取值范圍)是一類常考題型.那么這類問題該如何破解,本文從一道高考真題談起.

本題題干中的兩個向量滿足的條件都是以向量模的形式出現,無論是已知條件還是所求結論都統一到向量的模這個“焦點”上,主題十分明確.可以說,本題是一道語言精煉,考點明確不可多得的好題.那么這道題該如何解呢?

首先,我們都知道向量模的運算往往與兩類的數量積有關,于是出現了一下兩種思路:

思路1直接利用向量數量積的律運算求解

思路2換元再結合數量積的運算律求解

上述兩種解法只是表述上的不同,實質是一致的,有時應用了向量的數量積運算的有關公式.其實,在求解向量問題時,還有一種方法不可忽視,那就是坐標法.

思路3引入向量坐標,轉化為方程組

解答高考題,直接法固然是最常用的方法,但對于單選題與填空題來說,特殊化法有時省時又省力,值得嘗試.

思路4應用特殊化思想

為了更好的研究這類問題,我們不妨將上述高考真題加以變式后再作研究.

圖1

點評:本題考查向量模的取值范圍的求解,對于較為復雜的題型,一般可以考慮將向量特殊化、坐標化來處理,利用解析法結合平面幾何的相關知識、向量模的三角不等式來求解.