例談“方差”模型在求解數學競賽題中的妙用

江蘇省靖江高級中學 (214500) 倪 偉

數據方差公式是統計中的重要公式,除了用于判斷數據的波動程度的大小外,在解決數學問題時具有極其廣泛的運用價值.對于數學中的其它一些問題,若能根據特點,巧妙應用或構造“方差”模型來求解,則思路清晰、明快簡捷,常常會有出其不意的解題之效.本文從競賽視角談談“方差”模型在數學解題中的妙用.

例1 (2023年全國高中數學聯賽浙江預賽第7題改編)已知a,b,c∈R,且a+b+c=a2+b2+c2=3,則(a-1)2023+(b-1)2023+(c-1)2023=.

例6 (2011年全國高中數學聯賽一試B卷第9題)已知實數x,y,z滿足x≥y≥z,x+y+z=1,x2+y2+z2=3,求實數x的取值范圍.

從上述例子可以看出,對于問題中含有“一組數據的平均數及它們的平方和”的一類競賽題,通過構造“方差模型”求解,思路清晰、方便快捷,有著出人意料的解題效果,因此重視對“方差模型”解題應用的發掘和研究實屬必要.這對于培養學生的創新意識和探索精神,啟迪學生思維和開拓學生視野也頗有裨益.