以本原性問題促進學生自然生長的單元教學探索

陳亮 張蕾

[摘 要] 單元教學不是單元中所有知識的簡單羅列過程，而是學科知識自然生成的過程、學生思維發展的過程、學生學科素養養成的過程.以解一元二次方程為例，基于學生已有的知識經驗，通過對不同的一元二次方程求解的探究，讓學生在經歷探究方法過程中感受知識的自然生長過程，建立單元學習脈絡，形成經驗，感受數學思想，養成了數學素養.在單元教學的課堂中，學生感受到“先見森林，后見樹木”.

[關鍵詞]單元教學；本原性問題；一元二次方程；數學素養

基金項目：淄博高新區教育規劃2021年度課題“初中數學本原性問題的設計與應用研究”（2021GJY003），淄博市教育規劃2023年度“基于PBL的初中數學大單元教學實踐研究”（2023ZJY010）.

單元教學不是單元中所有知識的簡單羅列過程，而是學科知識自然生成的過程、學生思維發展的過程、學生學科素養養成的過程.課時教學如果生硬地把連貫的知識進行分割，那么學生可能無法感悟和體會知識系統性的生長過程，也不能了解知識在單元中、學科體系中的地位和作用.本原性問題是鮑建生教授在“江蘇省新修訂普通高中課程方案和課程標準（高中數學）培訓”中所做報告《高中數學核心素養的教學與評價》中提到的，鮑教授認為數學核心素養的教學，應“加強單元教學，通過本原性問題的探討，聚焦本單元的大觀念”.本原性問題即能反映數學教育的根源、基礎、大觀念、最重要部分的問題[1].在單元教學中運用本原性問題可以很好地解決這個問題，筆者以“解一元二次方程”為例，先后進行兩次教學實踐，探索知識的自然生成、學生的思維發展和學生數學學科素養的養成.

單元教學基于學生知識體系的自然生成

受課堂時間限制，課時教學可能把知識內容進行生硬的分割，或者按照某種知識產生的順序進行分割，在學生眼中“只有一棵棵樹，沒有成片的森林”，不利于學生感受知識和方法的整體性、系統性、一致性.

單元教學可以幫助學生在已有知識體系的基礎上，在探究數學問題過程中，體會知識生長、方法生長、思維生長、數學思想和核心素養的發展.教學中教師應呈現層層遞進的大單元知識聯系，在潛移默化中提升學生的思維品質[2].在探索過程中，學生感受知識的整體性、系統性、前后一致性，體驗“先見森林，再見樹木”知識之間的宏觀脈絡.

單元教學基于學生的思維發展

2022年版的《義務教育課程方案》和《義務教育數學課程標準》指出：“學生在數學學習過程中體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題.”[3]

每單元的內容是一個整體、一個系統，知識是生長的，探究思路是一貫的，思維發展是系統的.單單一節一節課的細致學習，不利于學生感悟數學問題思維系統的生長.同時，這也不利于教師個人的專業成長，不少教師往往鉆進研究題目和題目變形的“牛角尖”，而忽略感知單元整體思維的生長.

單元教學基于學生數學學科素養的養成

北京師范大學組成專家團隊在研究核心素養時是這樣定義的，核心素養是指學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.

史寧中教授更形象地用“三會”闡述數學核心素養，數學核心素養有助于學生學習數學，但影響范圍大于數學學習，可以幫助學生在日常生活和其他學習中潛移默化地運用數學經驗、能力、思想和品質等.在單元教學中教師講授的不僅僅是知識、方法，更重要的是通過所設計的問題、數學活動等讓學生在數學學習中形成學習數學的經驗、能力、方法、思想、品質等，促進學生數學學科素養的養成，進而對學生終身學習有潛移默化的幫助.

【課程標準的要求】理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程.

【教學目標】

1.通過經歷探索求解一元二次方程的過程，初步了解探索數學問題的分析方法和過程，初步理解利用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法解簡單的一元二次方程.

2.體會求解一元二次方程方法的生成過程，初步感知“化繁為簡”的數學思想，聯系已學的開方、配方、因式分解等內容，培養學生學習的遷移能力.

3.體會數學探索過程，感受科學探索過程的艱苦和成功的喜悅.

【重點和難點】重點：初步理解利用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法等解一元二次方程.難點：滲透“化繁為簡”的數學思想.

第一次教學嘗試：

【環節一】復習回顧

問題1 我們學過哪些方程？

問題2 二元一次方程組是如何求解的？

追問：體現了什么數學思想？

設計意圖 學生通過回顧已學內容，在已學知識的基礎上對新知識進行建構生長.復習回顧除了對知識、方法的學習，更重要的是對“化簡”數學思想的滲透.問題導學有利于促進學生創新思維、形象思維和邏輯思維的發展，引導學生深入挖掘知識的內在聯系[1].

【環節二】層層遞進，建立學習線索

問題1 首先大家來思考求解方程x2=25.

學生：獨立思考解決，并展示.

師生歸納：（1）利用平方根的知識，對等式兩邊進行開方，從而解出了該方程. （2）開方是降次的一種方法，方程通過開方由x2=25變成x=5或x=-5.

鞏固練習：①2x2-8=0，②（x-2）2=5，③（x+2）2=5.

學生活動：先獨立思考，小組討論求解困難的題目，然后展示解題過程.

師生歸納：（1）形如x2=a，x2-a=0或（x+b）2=a（適用范圍）的方程，可用直接開平方法.（2）體現了整體思想.（3）沒有一次項.

問題2 觀察x2-4x+4=5和x2-4x-1=0這兩個方程.

學生活動：先獨立思考，然后小組討論，如何求出它們的解？

教師巡視，如學生存在障礙，教師可以點撥.

學生展示：（1）x2-4x+4=5較容易解決，學生能快速地發現它隱含了完全平方公式，從而寫成完全平方的形式.

（2）對于x2-4x-1=0，有的學生沒有想出來如何求解，教師引導學生類比x2-4x+4=5，轉化成完全平方式.

師生歸納：（1）有一次項的，可將常數項移到等式右側，然后進行配方，再開平方.（2）思想方法：①轉化與化歸；②整體思想.（3）適用范圍：所有一元二次方程.

鞏固練習：x2-8x+1=0.

預留問題：既然配方法能適用于所有的一元二次方程，那么字母系數不為1的、一般形式的一元二次方程，能否解決？在后面的學習中我們會用1課時來推導公式法，并用1課時加以練習.

問題3 x2+x=0，4x2-121=0，x2-2x-15=0這三個方程如果不用配方法和直接開平方法該如何求解？

學生獨立思考.

教師點撥：注意觀察方程左側整式的形式.

學生小組討論、展示.

師生歸納：（1）三個方程的左邊分別可以利用提公因式法、平方差公式、十字相乘法等轉化為乘積的形式，這樣就變成a×b=0的形式，得到a=0或者b=0.（2）次數的轉化：二次變為一次.

設計意圖 通過對不同方程如何求解的探究，在學生腦海里形成一個單元脈絡，降次分為開方和因式分解兩個方法.開方又可形成直接開平方法、配方法以及公式法這三種方法.

預留問題：對于用因式分解法去解一元二次方程我們在后面的學習中會拿出2課時來加以練習.

【環節三】總結

通過本節課你學到了哪些解一元二次方程的方法？

第一次教學嘗試的反思：

教師設計解一元二次方程的思路是層層遞進的：先通過求解方程x2=25，引出直接開平方法，然后通過求解x2-4x+4=5和x2-4x-1=0這兩個方程引導學生探索配方法，最后通過3個題目初步探索提公因式法、平方差公式、十字相乘法.

不足之處：在教學設計中有教師牽著學生思路走的感覺，學生被老師的思路領著走，不利于學生感受知識的生成過程，不利于發展學生的主動探索能力.學生學完后對解一元二次方程的整體感知缺失，遇到一元二次方程不知道應該怎么想、怎么求解.同樣，遇到數學問題，學生不知道如何思考，不利于學生數學核心素養的養成.另外，在總結環節，只是就知識、方法而言，沒有從數學思想上進行總結，缺乏提升.

第二次教學實踐：經過反思，對于環節二和總結環節進行重新調整.

【環節二】

設計意圖 基于學生已有經驗，問題引領，學生自主探索，建立大單元整體學習的學習脈絡.

問題1 觀察以下方程，有什么共同特點？（1）x2=25，（2）2x2-8=0，（3）（x-2）2=5，（4）x2-4x+4=5，（5）x2-4x-1=0，（6）x2+x=0，（7）4x2-121=0，（8）x2-2x-15=0.

學生自主思考.

學生：這8個方程中都有一個未知數，未知數的最高次數都是2.

教師預設：如果學生不能發現都是“一元二次方程”，教師可以再給出一元一次方程的例子，讓學生觀察比較與以上方程的不同.

設計意圖 數學本原性問題是最基本的問題，是指向數學本質、觸動學生數學素養的問題.“有什么共同特點”正是數學本原性問題，引導學生思考8個方程的共性，揭示“一元二次方程”的概念形成，能讓學生思考數學本質，幫助學生數學素養的養成.這正是史寧中教授所說的“三會”.

問題2 上面的方程你能自主解決哪些，嘗試求解.

學生自主完成，交流展示.

設計意圖 在大單元教學理念下，把不同層次、不同難度、不同解法的題目一起呈現出來，讓學生嘗試解決，尊重學情，體現學生的主體地位，體現學生對知識的整體建構過程，幫助學生感受知識的生成性過程.學生根據自己情況解決能獨立解決的題目，教師可以少講或者不講，課堂留出時間解決學生的問題，使課堂更高效.學生感受直接開平方、配方法、因式分解等數學方法的遷移，感受解一元二次方程從簡單解法到轉化我們在已有經驗基礎上的新方法.經歷探索新的、更深層次的問題，讓學生積累把新問題轉化成已有的知識學習經驗.通過問題引領，整個過程滲透轉化與化歸的數學思想，發展學生思維，養成數學素養.

預設學情：學生能直接求解的方程有：（1）（2）（3）（7）.

學生先獨立思考，有困難的小組討論，然后學生展示解法.

教師：學生展示時，注意暴露學生的問題，如直接開平方法只有正數解，沒有負數解.

師生歸納：（1）利用了平方根的知識，對等式兩邊進行開平方，從而解出了該方程.（2）開平方是降次的一種方法，方程通過開方由x2=25變成了x=5或x=-5.（3）易錯點：開平方時注意有正、負兩種情況.

跟蹤練習：略.

師生歸納：略.

問題3 哪些方程存在求解困難？

預設存在困難的有：（4）（5）（6）（8）.

設計意圖 引導學生主動發現問題，主動分析、解決問題，有利于學生感受元認知，為后續的教師引導提供“腳手架”.

問題4 觀察x2-4x+4=5等號的左邊，有什么特點？

教師追問：觀察比較x2-4x+4=5與（x-2）2=5.

設計意圖 引導學生把等式的左邊先化成平方形式，再求解.當學生遇到困難時，教師不是直接展示答案，而是適當設計“腳手架”幫助學生思維發展，幫助學生對方法的理解. x2-4x+4=5較容易解決，在復習了乘法公式的知識后，學生能快速地發現隱含其中的完全平方公式，從而寫成完全平方的形式.

問題5 x2-4x-1=0的左邊，我們能把它轉化為類似于（4）左邊的形式嗎？利用配方法求解x2-4x-1=0.

預設：如果有學生想出來，由學生展示；如果沒有學生想出來，教師引導學生類比x2-4x+4=5的形式，通過常數的加減把左邊化成完全平方式.

師生歸納：（1）方法歸納，有一次項的，將常數項移到等式右側，然后進行配方，再開平方.（2）思想提升，①轉化形式上，從復雜到簡單，從一般到特殊，從未知到已知；②整體思想.

鞏固練習：x2-8x+1=0.

問題6 對于（6）（7）（8），能用剛才的方法嗎？試一試.

問題：這三個方程如果不用配方法和直接開平方法該如何求解？

追問：注意觀察方程左側整式的形式和我們學過的什么知識經驗有關？

設計意圖 為用因式分解法設計典型題目，先讓學生自主思考，學生通過體驗解題過程，感受原來方法的煩瑣，為簡單的新方法做好對比鋪墊.類比學習有利于拓展學生思維的深度；發散學習有利于拓寬學生思維的廣度.

學生獨立思考后小組討論，展示交流.

學生回答：等式的左邊可用因式分解法，即提公因式法、平方差公式、十字相乘法.

師生歸納：（1）形式的轉化，和變為積；（2）次數的轉化，二次變為一次.

預留問題：對于用因式分解法解一元二次方程我們在后面的學習中會拿出2課時來加以練習.

【總結環節】問題：你學到了什么，有什么收獲？你認為下面的課時會學習哪些內容？你還有哪些困惑？

設計意圖 引導學生從新學的知識、方法上進行總結，更引導學生從數學思想、知識生長上進行總結，讓學生在腦海里建立一個單元整體脈絡. 在學生充分表達的基礎上，教師引導學生解決問題時先從簡單的開始，可以把困難問題轉化為簡單問題，把新知識、新方法轉化為原知識、原方法，滲透“化繁為簡”的數學思想，促使學生數學核心素養的養成.設置“你還有哪些困惑”的問題，讓學生從自身反思，感受元認知的本原性問題，評價自己，發展自己.

【教學思考】 自由，是創造力生長最好的土壤.單元教學的目的不僅僅是把知識呈現給學生，更重要的是把知識之間的關系、知識的生長過程呈現給學生，培養學生數學的眼光、數學的思維.知識系統建構能力是數學學習中一種重要的能力，可以在單元起始課中進行培養和發展[3].在“解一元二次方程”單元教學中，我們把不同的一元二次方程呈現出來，充分相信學生，讓學生在已有知識經驗基礎上，自主思考看看哪些可以自主做出來，學生自己能解決的先自己解決.顯而易見，學生對簡單的一元二次方程可以用直接開平方法.學生存在困難不能直接開平方的，教師可以再引導其對方程進行分類，滲透分類討論的數學思想.學生通過獨立思考、交流表達來解決問題.對于可以轉化成平方形式的，引導學生先把方程轉化為平方的形式，再用開平方的方法求解；對于不能開平方的，可以引導學生利用因式分解的方法將其轉化成ab=0的形式，滲透發散思維，培養化繁為簡的數學思想.層層遞進的代數大單元知識聯系，在潛移默化中提升學生的思維品質[3].

在單元教學的課堂中，雖然不能讓學生經歷大量的習題練習，但是能讓學生產生“先見森林，后見樹木”的感覺.學生經歷解一元二次方程的方法，對本原性問題的思考，感受到探索數學生成過程，積累數學經驗，感受數學思想，養成了數學素養，為終身發展的培育提供了數學的土壤.

參考文獻：

[1] 韋鳳蓮. 點評：設計本原性問題，培養學生核心素養[J]. 中學數學教學參考，2019 （20）：35-37.

[2] 周韌. 基于大單元視角的乘法公式綜合課教學及思考[J]. 中學數學教學參考，2021（26）：14-16.

[3] 中華人民共和國教育部. 義務教育課程方案（2022 年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2022.

[ 4] 江繼娟. 跳一跳，夠更高——談基于“最近發展區”理論的初三數學復習教學設計[J]. 數學教學通訊，2019 （29）：12-14.